コンデンサーと電気容量｜高校物理

学習指導要領物理 (3) ア (ｱ) ㋒「コンデンサーの性質を理解するとともに，電気容量を電界や電位差と関連付けて理解すること。」。

0. どういうまとまりか

コンデンサーは、2 枚の導体（極板）を向かい合わせて、電荷を蓄える素子です。
電池につなぐと、一方の極板に $+ Q$ 、もう一方に $- Q$ の電荷がたまり、極板のあいだに電位差 $V$ ができます。
たまる電気量は電位差に比例し、その比例定数が電気容量 $C$ です。

量	式	単位
蓄えられる電気量	$Q = C V$	$C$ （クーロン）
電気容量	$C = ε \frac{S}{d}$ （平行板コンデンサー）	$F$ （ファラド）
極板間の電界の強さ	$E = \frac{V}{d}$	$V/m$

極板間隔 $d$ を 2 倍に広げたとき、何が変わるかは、電池をつないだままか、切り離したあとかで違います。

	電池をつないだまま	電池を切り離したあと
一定に保たれる量	電位差 $V$	電気量 $Q$
電気容量 $C$	$\frac{1}{2}$ 倍	$\frac{1}{2}$ 倍
電気量 $Q$	$\frac{1}{2}$ 倍	変わらない
電位差 $V$	変わらない	2 倍
電界の強さ $E$	$\frac{1}{2}$ 倍	変わらない

分かれ目は次の 3 つ。

$Q$ は一方の極板の電気量の大きさ。2 枚の極板には $+ Q$ と $- Q$ がたまり、合わせると 0 である
電気容量 $C$ は、極板の形と極板のあいだの物質で決まる。 $Q$ や $V$ を変えても $C$ は変わらない
電池をつないだままなら $V$ が一定、切り離したあとは $Q$ が一定。どちらが一定かを先に決めてから、ほかの量を追う

1. 充電と放電

根拠: 学習指導要領物理-(3)-ア-(ア)-㋒

コンデンサーの極板のあいだは絶縁されていて、電荷は極板のあいだを通り抜けません。それでも、電池につなぐと導線には一時的に電流が流れます。

コンデンサーとは、どんな素子か？

向かい合わせた 2 枚の導体（極板）に、正と負の等しい量の電荷を蓄える素子

極板のあいだは、空気や絶縁体でへだてられている。正と負の電荷が引きあうので、電池を外しても電荷は極板にとどまる。

電荷を蓄えていないコンデンサーを電池につなぐと、何が起こるか？

電池の正極につないだ極板に正の電荷 $+ Q$ 、負極につないだ極板に負の電荷 $- Q$ がたまる（充電）

電池が、正極側の極板から電子を運び去り、負極側の極板へ送りこむ。電荷は極板のあいだを通り抜けないが、導線にはそのあいだ電流が流れる。

コンデンサーの充電は、いつ終わるか？

極板間の電位差が、電池の電圧と等しくなったとき。そのあと電流は流れない

電荷がたまるにつれて極板間の電位差が大きくなり、電池の電圧に並ぶと、電荷を動かすはたらきがなくなる。

コンデンサーの放電とは？

充電したコンデンサーの両極板を導線や抵抗でつなぎ、蓄えていた電荷を流し出すこと

正の極板から負の極板へ向かって電流が流れ、極板の電荷がなくなると止まる。放電の電流と時間のグラフで、グラフと時間軸が囲む面積が、蓄えられていた電気量にあたる。

2. 電気容量

根拠: 学習指導要領物理-(3)-ア-(ア)-㋒

蓄えられる電気量は、極板間の電位差に比例します。その比例定数が電気容量で、「電荷のためやすさ」を表します。

コンデンサーに蓄えられる電気量 $Q$ と、極板間の電位差 $V$ の関係は？比例定数の名前と単位も答えよ。

$Q = C V$ 。 $C$ を電気容量といい、単位はファラド（ $F$ ）

$1 V$ の電位差で $1 C$ の電気量を蓄えるときの電気容量が $1 F$ 。実際の素子では $1 μ F = 1 0^{- 6} F$ や $1 pF = 1 0^{- 12} F$ を使うことが多い。

$Q = C V$ の $Q$ は、何の電気量か？

一方の極板に蓄えられた電気量の大きさ

2 枚の極板の電気量は $+ Q$ と $- Q$ で、合計は 0。合計を $Q$ としたり、 $2 Q$ としたりしない。

コンデンサーにかける電圧を 2 倍にすると、電気容量 $C$ と電気量 $Q$ はそれぞれどうなるか？

$C$ は変わらない。 $Q$ は 2 倍になる

電気容量は極板の形と極板のあいだの物質で決まり、かける電圧や蓄えた電気量にはよらない。

3. 平行板コンデンサー

根拠: 学習指導要領物理-(3)-ア-(ア)-㋒

2 枚の平らな極板を平行に向かい合わせたものを、平行板コンデンサーといいます。極板間の電界が一様になるので、電気容量を式で表せます。

極板の面積 $S$ 、極板間隔 $d$ の平行板コンデンサーの電気容量 $C$ は？

$C = ε \frac{S}{d}$ （ $ε$ は極板のあいだの物質の誘電率）

面積に比例し、間隔に反比例する。極板のあいだが真空のときは、真空の誘電率 $ε_{0}$ を使って $C = ε_{0} \frac{S}{d}$ 。誘電率の単位は $F/m$ 。

平行板コンデンサーの極板間の電界は、どんな電界か？電位差 $V$ 、極板間隔 $d$ で強さを表せ。

どこでも強さと向きが同じ、一様な電界。強さは $E = \frac{V}{d}$ で、向きは正の極板から負の極板へ向かう

極板の端の近くを除く。一様な電界では、電位差は「電界の強さ × 距離」なので $V = E d$ である。

平行板コンデンサーの電気容量の式 $C = ε \frac{S}{d}$ は、どう導かれるか？

極板間の電界の強さ $E = \frac{Q}{εS}$ と $V = E d$ から $Q = ε \frac{S}{d} V$ 。これを $Q = C V$ と比べる

極板のあいだが真空のとき、正の極板の電気量 $Q$ から出る電気力線は $4 π k Q$ 本（ $k$ は真空中のクーロンの法則の比例定数）で、すべてが面積 $S$ の極板のあいだを通るから、 $1 m^{2}$ あたりの本数、つまり電界の強さは $E = \frac{4 π k Q}{S}$ 。 $ε_{0} = \frac{1}{4 π k}$ とおくと $E = \frac{Q}{ε _{0} S}$ で、極板の単位面積あたりの電気量 $\frac{Q}{S}$ に比例する。極板のあいだを物質で満たしたときは、 $ε_{0}$ がその物質の誘電率 $ε$ に置きかわる。面積が大きいほど同じ電界でたくさんの電荷がたまり、間隔がせまいほど同じ電界で電位差が小さくてすむ。

4. 極板間隔を変える

根拠: 学習指導要領物理-(3)-ア-(ア)-㋒

充電したコンデンサーの極板間隔を変える問題は、「何が一定に保たれるか」を先に決めます。電池をつないだままか、切り離したあとかで、一定な量が入れかわります。

コンデンサーを電池につないだまま極板間隔を変えるとき、一定に保たれる量は何か？その理由は？

極板間の電位差 $V$ 。電池が、極板間の電位差を自分の電圧と同じに保ちつづけるから

電気容量が変わると、電池を通って電荷が出入りするので、電気量 $Q$ は変わる。

充電したコンデンサーを電池から切り離してから極板間隔を変えるとき、一定に保たれる量は何か？その理由は？

極板の電気量 $Q$ 。極板がどこにもつながっていないので、電荷の逃げ道も入り口もないから

電気容量が変わると、 $V = \frac{Q}{C}$ にしたがって電位差 $V$ のほうが変わる。

電池をつないだまま、平行板コンデンサーの極板間隔を 2 倍に広げた。 $C$ 、 $Q$ 、 $V$ 、 $E$ はそれぞれ何倍になるか？

$C$ は $\frac{1}{2}$ 倍、 $Q$ は $\frac{1}{2}$ 倍、 $V$ は変わらない、 $E$ は $\frac{1}{2}$ 倍

$V$ が一定。 $C = ε \frac{S}{d}$ が半分になるので $Q = C V$ も半分になり、 $E = \frac{V}{d}$ も半分になる。減った分の電荷は電池へ戻る。

電池から切り離したあと、平行板コンデンサーの極板間隔を 2 倍に広げた。 $C$ 、 $Q$ 、 $V$ 、 $E$ はそれぞれ何倍になるか？

$C$ は $\frac{1}{2}$ 倍、 $Q$ は変わらない、 $V$ は 2 倍、 $E$ は変わらない

$Q$ が一定。 $C$ が半分になるので $V = \frac{Q}{C}$ は 2 倍になる。 $E = \frac{V}{d}$ は分子も分母も 2 倍で変わらない（ $E = \frac{Q}{εS}$ に $d$ が入っていないことからも分かる）。

練習問題

根拠: 学習指導要領物理-(3)-ア-(ア)-㋒

問 1　電気容量 $2.0 μ F$ のコンデンサーに、 $6.0 V$ の電池をつないで十分に時間がたった。コンデンサーに蓄えられた電気量を求めよ。

$1.2 \times 1 0^{- 5} C$

方針　十分に時間がたつと充電が終わり、極板間の電位差は電池の電圧と等しくなる。あとは $Q = C V$ に入れるだけ。 $μ F$ を $F$ に直してから計算する。

電気容量を $F$ で表すと、 $C = 2.0 \times 1 0^{- 6} F$
充電が終わったときの極板間の電位差は、 $V = 6.0 V$
$Q = C V$ に入れると、 $2.0 \times 1 0^{- 6} \times 6.0 = 1.2 \times 1 0^{- 5} C$

ここで間違えやすい　 $μ$ （マイクロ）を直さずに $2.0 \times 6.0 = 12 C$ としてしまうこと。

問 2　面積 $2.0 \times 1 0^{- 2} m^{2}$ の金属板 2 枚を、真空中で $1.0 \times 1 0^{- 3} m$ へだてて平行に向かい合わせ、平行板コンデンサーをつくった。真空の誘電率を $8.85 \times 1 0^{- 12} F/m$ とする。(1) 電気容量を求めよ。(2) このコンデンサーに $1.0 \times 1 0^{2} V$ の電圧をかけたとき、蓄えられる電気量と、極板間の電界の強さを求めよ。

(1) $1.8 \times 1 0^{- 10} F$ 　(2) 電気量 $1.8 \times 1 0^{- 8} C$ 、電界の強さ $1.0 \times 1 0^{5} V/m$

方針　電気容量は形だけで決まるので、先に $C = ε_{0} \frac{S}{d}$ で求める。電圧をかけたあとの電気量は $Q = C V$ 、極板間の電界は一様なので $E = \frac{V}{d}$ を使う。

(1) $C = ε_{0} \frac{S}{d}$ に値を入れる。 $\frac{S}{d}$ は $\frac{2.0 \times 1 0 ^{- 2}}{1.0 \times 1 0 ^{- 3}} = 20 m$
電気容量は $8.85 \times 1 0^{- 12} \times 20 = 1.77 \times 1 0^{- 10} ≒ 1.8 \times 1 0^{- 10} F$
(2) $Q = C V$ に入れると、 $1.77 \times 1 0^{- 10} \times 1.0 \times 1 0^{2} = 1.77 \times 1 0^{- 8} ≒ 1.8 \times 1 0^{- 8} C$
$E = \frac{V}{d}$ に入れると、 $\frac{1.0 \times 1 0 ^{2}}{1.0 \times 1 0 ^{- 3}} = 1.0 \times 1 0^{5} V/m$

問 3　電気容量 $4.0 μ F$ の平行板コンデンサーを $12 V$ の電池につなぎ、十分に時間がたった。電池をつないだまま、極板間隔を 2 倍に広げた。(1) 広げる前に蓄えられていた電気量を求めよ。(2) 広げたあとの電気量を求めよ。(3) 極板間の電界の強さは、広げる前の何倍になるか。

(1) $4.8 \times 1 0^{- 5} C$ 　(2) $2.4 \times 1 0^{- 5} C$ 　(3) $\frac{1}{2}$ 倍

方針　電池をつないだままなので、極板間の電位差は $12 V$ のまま変わらない。電気容量は間隔に反比例するので半分になり、そこから $Q = C V$ と $E = \frac{V}{d}$ を追う。

(1) 広げる前の電気量は $Q = C V$ から、 $4.0 \times 1 0^{- 6} \times 12 = 4.8 \times 1 0^{- 5} C$
(2) 間隔を 2 倍にすると、 $C = ε \frac{S}{d}$ は $\frac{1}{2}$ 倍の $2.0 \times 1 0^{- 6} F$ になる
電位差は $12 V$ のままなので、 $2.0 \times 1 0^{- 6} \times 12 = 2.4 \times 1 0^{- 5} C$
(3) $E = \frac{V}{d}$ で、 $V$ は変わらず $d$ が 2 倍になるので、 $E$ は $\frac{1}{2}$ 倍

ここで間違えやすい　電気量が変わらないとして計算してしまうこと。電池がつながっているあいだは、電荷が電池を通って出入りできる。

問 4　電気容量 $4.0 μ F$ の平行板コンデンサーを $12 V$ の電池で充電し、電池から切り離した。そのあと、極板間隔を 2 倍に広げた。(1) 広げたあとの極板間の電位差を求めよ。(2) 極板間の電界の強さは、広げる前の何倍になるか。

(1) $24 V$ 　(2) 1 倍（変わらない）

方針　電池から切り離したので、極板の電気量が変わらない。電気容量が半分になったぶん、 $V = \frac{Q}{C}$ で電位差のほうが変わる。問 3 と同じコンデンサーで、一定な量だけが違う。

切り離す前の電気量は $Q = C V$ から、 $4.0 \times 1 0^{- 6} \times 12 = 4.8 \times 1 0^{- 5} C$ 。切り離したあとも、この値のまま
間隔を 2 倍にすると、電気容量は $\frac{1}{2}$ 倍の $2.0 \times 1 0^{- 6} F$ になる
(1) $V = \frac{Q}{C}$ に入れると、 $\frac{4.8 \times 1 0 ^{- 5}}{2.0 \times 1 0 ^{- 6}} = 24 V$
(2) $E = \frac{V}{d}$ で、 $V$ が 2 倍、 $d$ も 2 倍なので、 $E$ は変わらない

ここで間違えやすい　「間隔を広げたのだから電界は弱くなる」と考えてしまうこと。電気量が一定なら、極板間の電界の強さ $E = \frac{Q}{εS}$ は間隔によらない。

問 5　 $9.0 V$ の電池で充電したコンデンサーを、抵抗を通して放電させ、流れる電流を時間を追って測った。電流と時間のグラフをかくと、グラフと時間軸が囲む面積は $4.5 \times 1 0^{- 4} C$ にあたった。このコンデンサーの電気容量を求めよ。

$5.0 \times 1 0^{- 5} F$ （ $50 μ F$ ）

方針　電流は「1 秒あたりに流れる電気量」なので、電流と時間のグラフの面積は、流れ出た電気量の合計になる。これが、はじめに蓄えられていた電気量 $Q$ である。あとは $C = \frac{Q}{V}$ で求める。

グラフの面積から、蓄えられていた電気量は $Q = 4.5 \times 1 0^{- 4} C$
放電をはじめる前の極板間の電位差は、充電に使った電池の電圧と同じ $V = 9.0 V$
$Q = C V$ を $C$ について解くと $C = \frac{Q}{V}$
値を入れると、 $\frac{4.5 \times 1 0 ^{- 4}}{9.0} = 5.0 \times 1 0^{- 5} F$