電界と電位の関係｜高校物理

学習指導要領物理 (3) ア (ｱ) ㋑「電界と電位との関係を静電気力による位置エネルギーと関連付けて理解すること。」。

0. どういうまとまりか

電界は「力」の見方、電位は「エネルギー」の見方でした。同じ空間を 2 通りに表しているので、一方が分かればもう一方も分かります。
地図にたとえると、電位は土地の高さ、等電位面は等高線、電界は斜面の傾きと下る向きにあたります。等高線が込んでいるところほど坂が急で、坂を下る向きは等高線と垂直です。
このノートでは、その関係を一様な電界で式にし、導体と、電界の中を動く荷電粒子に当てはめます。

項目	中身
一様な電界と電位差	$V = E d$ （ $d$ は電界の向きにそって測った距離）
電界の向き	電位の高いほうから低いほうへ向かう
電界の強さ	距離あたりの電位の下がり方。 $E = \frac{V}{d}$ 、単位は $V/m$
等電位面	電位の等しい点をつないだ面。電気力線と垂直に交わる
導体	内部の電界は 0。導体全体が等電位
一様な電界の中の荷電粒子	加速度 $\frac{q E}{m}$ の等加速度運動。電界に垂直に入射すれば放物線

分かれ目は次の 3 つ。

$V = E d$ の $d$ は、電界の向きにそって測った距離。斜めに移動したときは、移動の、電界の向きの成分だけを使う
電界は、電位の高いほうから低いほうへ向かう。電位が高いところに電界が向かうのではない
電界に垂直に入射した荷電粒子は、水平投射と同じ形で解く。電界に垂直な方向は等速、電界の方向は等加速度に分ける

1. 一様な電界と電位差

根拠: 学習指導要領物理-(3)-ア-(ア)-㋑

一様な電界では、電荷が受ける力がどこでも同じなので、仕事が「力 × 距離」で求まります。これを電位差と結びつけます。

強さ $E$ の一様な電界の中で、電界の向きにそって距離 $d$ だけ離れた 2 点のあいだの電位差 $V$ は？

$V = E d$

$d$ は、電界の向きにそって測った距離である。電界に対して斜めに離れた 2 点では、2 点を結ぶ線分の、電界の向きの成分を $d$ とする。電界に垂直な方向に離れた 2 点のあいだの電位差は 0。

一様な電界で $V = E d$ が成り立つことは、どう導くか？

電気量 $q$ の正電荷を電界の向きに $d$ だけ動かすとき、静電気力がする仕事を 2 通りに書く。力 × 距離で $q E d$ 、電位差で $q V$ 。2 つが等しいので $V = E d$

静電気力の大きさは $q E$ で一定。仕事と電位差の関係 $W = q (V_{A} - V_{B})$ の $V_{A} - V_{B}$ を $V$ と置いている。

電界の向きと、電位の高低は、どういう関係にあるか？

電界は、電位の高いほうから低いほうへ向かう。電界の向きに進むと、電位は下がる

正の電荷は電界の向きに力を受け、電位の低いほうへ動く。平行な 2 枚の金属板では、正に帯電した板のほうが電位が高く、電界は正の板から負の板へ向かう。

電界の強さの単位は $N/C$ のほかに、どう書けるか。電界の強さは、電位の何を表しているか？

$V/m$ （ボルト毎メートル）。電界の強さは、電界の向きに $1 m$ 進むあいだに電位が下がる量を表す

$E = \frac{V}{d}$ から。 $1 V/m$ と $1 N/C$ は同じ単位である。電位の変わり方が急なところほど、電界が強い。

2. 等電位面

根拠: 学習指導要領物理-(3)-ア-(ア)-㋑

電界のようすを電気力線で表したように、電位のようすは等電位面で表します。平面の図では等電位線になります。

等電位面とは何か。点電荷のまわりと、一様な電界の中では、それぞれどんな形になるか？

電位の等しい点をつないでできる面。点電荷のまわりでは、点電荷を中心とする球面。一様な電界の中では、電界に垂直な平面

点電荷のまわりの電位 $k \frac{Q}{r}$ は距離 $r$ だけで決まるので、同じ距離の点は同じ電位になる。地図の等高線にあたる。

等電位面と電気力線は、どう交わるか。なぜか？

垂直に交わる。等電位面にそって電荷を動かしても静電気力は仕事をしないので、静電気力（電界）は等電位面にそった成分をもたないから

電界が等電位面にそった成分をもつなら、その向きに動かすと仕事をして、電位が変わってしまう。等電位面が分かれば、それに垂直な線として電気力線が引ける。

電荷を、同じ等電位面の上の点から点へ運ぶ。静電気力がする仕事は？

$W = q (V_{A} - V_{B})$ で $V_{A} = V_{B}$ だから。途中で等電位面を離れても、はじめと終わりが同じ等電位面の上なら、仕事は 0 である。

等電位面を一定の電位差ごとに描いた。面の間隔が狭いところと広いところでは、電界の強さはどう違うか？

間隔が狭いところほど、電界が強い

同じ電位差 $V$ に対して間隔 $d$ が小さいので、 $E = \frac{V}{d}$ が大きい。点電荷のまわりの等電位面は、電荷に近いほど間隔が狭くなる。

3. 導体と電界・電位

根拠: 学習指導要領物理-(3)-ア-(ア)-㋑

導体の中には自由電子があるので、電界があれば電子が動きます。電子の移動が止まった状態（電流が流れていない状態）の導体について、電界と電位を考えます。建物の上に立てた金属の棒を導線で大地につないだ避雷針は、雷の電気を導体づたいに大地へ逃がすしくみです。

電荷の移動が止まった状態の導体の内部で、電界はどうなっているか。なぜか？

0 になっている。電界が残っていれば自由電子が力を受けて動き続けるので、移動が止まったときには、内部の電界が打ち消されているはずだから

外から電界をかけると、静電誘導で導体の表面に電荷が現れる。この電荷がつくる電界が、導体の内部で外からの電界をちょうど打ち消す。

電荷の移動が止まった状態の導体では、電位はどうなっているか。導体の表面で、電気力線はどう出入りするか？

導体全体が等電位。電気力線は、導体の表面に垂直に出入りする

内部の電界が 0 なので、導体の中のどの 2 点のあいだも電位差が 0 になる。導体の表面は 1 つの等電位面で、電気力線は等電位面に垂直である。

導体に電荷を与えると、その電荷は導体のどこに分布するか？

導体の表面

同符号の電荷は反発し合うので、互いに離れようとして表面に集まる。導体の内部は電界が 0 で、導体で囲まれた空洞の中も、外の電界の影響を受けない（静電遮蔽）。

4. 一様な電界の中の荷電粒子の運動

根拠: 学習指導要領物理-(3)-ア-(ア)-㋑

一様な電界の中では、荷電粒子は一定の力を受け続けます。一定の重力を受ける物体の運動と同じ形になるので、落下運動や放物運動の式がそのまま使えます。電子などの小さな粒子では、重力は静電気力に比べてはるかに小さいので、無視します。

質量 $m$ 、電気量の大きさ $q$ の荷電粒子が、強さ $E$ の一様な電界の中にある。静電気力だけを受けるとき、加速度の大きさは？どんな運動をするか？

$a = \frac{q E}{m}$ 。加速度が一定の等加速度運動

運動方程式 $ma = q E$ から。加速度の向きは、正の電荷なら電界の向き、負の電荷なら電界と逆向き。重力のもとでの運動の $g$ を $\frac{q E}{m}$ に置きかえたものになる。

一様な電界に対して垂直に、荷電粒子が速さ $v_{0}$ で入射した。どんな運動をするか。どう分けて式を立てるか？

放物線を描く。電界に垂直な方向は速さ $v_{0}$ の等速直線運動、電界の方向は初速度 0・加速度 $\frac{q E}{m}$ の等加速度直線運動に分ける

水平投射と同じ形である。電界に垂直な方向の式から電界の中にいる時間を求め、それを電界の方向の式に入れる。

静止していた電気量 $q$ （正）、質量 $m$ の荷電粒子を、電位差 $V$ で加速した。得る運動エネルギーと速さは？

運動エネルギーは $\frac{1}{2} m v^{2} = q V$ 。速さは $v = \frac{2 q V}{m}$

静電気力がした仕事 $q V$ が、そのまま運動エネルギーになる。電界が一様でなくても、電位差だけで決まる。電気素量 $e$ の電荷をもつ粒子が $1 V$ の電位差で加速されて得るエネルギーを 1 電子ボルト（記号 eV）といい、原子や電子のエネルギーの単位に使う。

練習問題

根拠: 学習指導要領物理-(3)-ア-(ア)-㋑

以下、荷電粒子にはたらく重力は無視します。座標の単位は m です。

問 1　広い 2 枚の金属板を $0.10 m$ 離して平行に置き、板のあいだに $200 V$ の電位差を与えた。板のあいだの電界は一様であるとする。(1) 板のあいだの電界の強さを求めよ。(2) 板のあいだに置いた電気量 $+ 3.0 \times 1 0^{- 6} C$ の点電荷が受ける力の大きさを求めよ。(3) 電位の低いほうの板の電位を $0 V$ とする。電位の高いほうの板から $0.040 m$ 離れた点の電位を求めよ。

(1) $2.0 \times 1 0^{3} V/m$ 　(2) $6.0 \times 1 0^{- 3} N$ 　(3) $1.2 \times 1 0^{2} V$

方針　一様な電界なので $V = E d$ が使える。電界は電位の高い板から低い板へ向かい、その向きに進むと、距離に比例して電位が下がる。

(1) $E = \frac{V}{d}$ に値を入れると、 $\frac{200}{0.10} = 2000 = 2.0 \times 1 0^{3} V/m$
(2) 力の大きさは $q E$ で、 $3.0 \times 1 0^{- 6} \times 2.0 \times 1 0^{3} = 6.0 \times 1 0^{- 3} N$
(3) 電位の高い板の電位は $200 V$ 。そこから電界の向きに $0.040 m$ 進むあいだに下がる電位は、 $E d$ から $2.0 \times 1 0^{3} \times 0.040 = 80 V$
求める電位は $200 - 80 = 120 V$ 。有効数字 2 桁で $1.2 \times 1 0^{2} V$

ここで間違えやすい　(3) で $2.0 \times 1 0^{3} \times 0.040 = 80 V$ をそのまま答えにしてしまうこと。これは高い板からの電位の下がりである。低い板から測るなら、距離は $0.10 - 0.040 = 0.060 m$ で、 $2.0 \times 1 0^{3} \times 0.060 = 120 V$ になる。

問 2　 $x$ 軸の正の向きに、強さ $5.0 \times 1 0^{2} V/m$ の一様な電界がある。 $x y$ 平面上に、点 A $(0, 0)$ 、点 B $(0.40, 0.30)$ 、点 C $(0, 0.30)$ をとる。(1) A と B の電位差を求めよ。どちらの電位が高いか。(2) 電気量 $+ 2.0 \times 1 0^{- 6} C$ の点電荷が A から B へ移動するとき、静電気力がする仕事を求めよ。(3) 同じ点電荷が A から C へ移動するとき、静電気力がする仕事を求めよ。

(1) $2.0 \times 1 0^{2} V$ 、A のほうが高い　(2) $4.0 \times 1 0^{- 4} J$ 　(3) $0 J$

方針　 $V = E d$ の $d$ は、電界の向き（ $x$ 軸の向き）にそって測った距離。2 点の $x$ 座標の差だけを使い、 $y$ 座標の差は使わない。

(1) A と B の $x$ 座標の差は $0.40 m$ 。電位差は $E d$ から $5.0 \times 1 0^{2} \times 0.40 = 2.0 \times 1 0^{2} V$
電界の向き（ $x$ 軸の正の向き）に進むと電位は下がる。B のほうが $x$ 座標が大きいので、A のほうが電位が高い。
(2) 静電気力がする仕事は $q (V_{A} - V_{B})$ で、 $2.0 \times 1 0^{- 6} \times 2.0 \times 1 0^{2} = 4.0 \times 1 0^{- 4} J$
(3) A と C は $x$ 座標が等しいので、電界に垂直な同じ等電位面の上にある。電位差が 0 なので、仕事は 0。

ここで間違えやすい　(1) で、A から B までの直線距離 $0.50 m$ を $d$ に使ってしまうこと。斜めに進んだぶんのうち、電界に垂直な $y$ 方向の移動では電位は変わらない。

問 3　質量 $1.0 \times 1 0^{- 26} kg$ 、電気量 $+ 3.2 \times 1 0^{- 19} C$ の荷電粒子が静止している。この粒子を $2.5 \times 1 0^{3} V$ の電位差で加速した。電気素量を $1.6 \times 1 0^{- 19} C$ とする。(1) 粒子が得た運動エネルギーは何 J か。また、何 eV か。(2) 加速されたあとの粒子の速さを求めよ。

(1) $8.0 \times 1 0^{- 16} J$ 、 $5.0 \times 1 0^{3} eV$ 　(2) $4.0 \times 1 0^{5} m/s$

方針　静電気力がした仕事 $q V$ が、そのまま運動エネルギーになる。 $1 eV$ は、電気素量の電荷が $1 V$ で加速されて得るエネルギーなので、J で表した値を電気素量の値で割れば eV になる。

(1) 運動エネルギーは $q V$ で、 $3.2 \times 1 0^{- 19} \times 2.5 \times 1 0^{3} = 8.0 \times 1 0^{- 16} J$
$1 eV$ は $1.6 \times 1 0^{- 19} J$ にあたるので、 $\frac{8.0 \times 1 0 ^{- 16}}{1.6 \times 1 0 ^{- 19}} = 5.0 \times 1 0^{3} eV$
(2) $\frac{1}{2} m v^{2} = q V$ から、 $v^{2} = \frac{2 q V}{m}$ 。値を入れると $\frac{2 \times 8.0 \times 1 0 ^{- 16}}{1.0 \times 1 0 ^{- 26}} = 1.6 \times 1 0^{11}$
速さは $1.6 \times 1 0^{11} = 4.0 \times 1 0^{5} m/s$

ここで間違えやすい　eV への換算で、粒子の電気量 $3.2 \times 1 0^{- 19} C$ で割ってしまうこと。割るのは電気素量である。この粒子の電気量は電気素量の 2 倍なので、 $2.5 \times 1 0^{3} V$ で加速すると、その 2 倍の $5.0 \times 1 0^{3} eV$ を得る。

問 4　 $y$ 軸の正の向きに、強さ $5.0 \times 1 0^{2} V/m$ の一様な電界が、 $x$ 方向の幅 $0.20 m$ の範囲にだけある。質量 $2.0 \times 1 0^{- 26} kg$ 、電気量 $+ 3.2 \times 1 0^{- 19} C$ の荷電粒子が、 $x$ 軸の正の向きに速さ $4.0 \times 1 0^{5} m/s$ で、この電界に入射した。(1) 電界の中での粒子の加速度の大きさと向きを求めよ。(2) 粒子が電界の中にいる時間を求めよ。(3) 電界を出るまでに、粒子が $y$ 方向に移動する距離を求めよ。(4) 電界を出るときの、粒子の速度の $y$ 成分を求めよ。

(1) $8.0 \times 1 0^{9} m/ s^{2}$ 、 $y$ 軸の正の向き　(2) $5.0 \times 1 0^{- 7} s$ 　(3) $1.0 \times 1 0^{- 3} m$ 　(4) $4.0 \times 1 0^{3} m/s$

方針　水平投射と同じ形。 $x$ 方向（電界に垂直）には力を受けないので等速、 $y$ 方向（電界の向き）には一定の力を受けるので等加速度。 $x$ 方向の式で時間を求め、 $y$ 方向の式に入れる。

(1) 粒子が受ける力は静電気力 $q E$ だけ。正の電荷なので、電界と同じ $y$ 軸の正の向き。
運動方程式 $ma = q E$ から $a = \frac{q E}{m}$ 。値を入れると、 $\frac{3.2 \times 1 0 ^{- 19} \times 5.0 \times 1 0 ^{2}}{2.0 \times 1 0 ^{- 26}} = 8.0 \times 1 0^{9} m/ s^{2}$
(2) $x$ 方向は等速なので、幅 $0.20 m$ を通り抜ける時間は $\frac{0.20}{4.0 \times 1 0 ^{5}} = 5.0 \times 1 0^{- 7} s$
(3) $y$ 方向は初速度 0 の等加速度直線運動なので、移動する距離は $\frac{1}{2} a t^{2}$
値を入れると、 $\frac{1}{2} \times 8.0 \times 1 0^{9} \times (5.0 \times 1 0^{- 7})^{2} = 1.0 \times 1 0^{- 3} m$
(4) 速度の $y$ 成分は $a t$ で、 $8.0 \times 1 0^{9} \times 5.0 \times 1 0^{- 7} = 4.0 \times 1 0^{3} m/s$

ここで間違えやすい　電界の中にいる時間を、 $y$ 方向の運動から求めようとすること。時間を決めるのは、力を受けない $x$ 方向の等速運動である。

問 5　強さ $2.0 \times 1 0^{3} V/m$ の一様な電界の中に、 $10 V$ ごとの等電位面を描いた。(1) となり合う等電位面の間隔を求めよ。(2) 電界の強さを 2 倍にすると、 $10 V$ ごとの等電位面の間隔はどうなるか。

(1) $5.0 \times 1 0^{- 3} m$ 　(2) 半分になる

方針　一様な電界の等電位面は、電界に垂直な平面で、等間隔に並ぶ。となり合う面のあいだの電位差が $10 V$ なので、 $V = E d$ から間隔 $d$ を求める。

(1) $V = E d$ から $d = \frac{V}{E}$
値を入れると、 $\frac{10}{2.0 \times 1 0 ^{3}} = 5.0 \times 1 0^{- 3} m$
(2) $d = \frac{V}{E}$ で $V$ が同じなので、 $d$ は $E$ に反比例する。 $E$ が 2 倍になれば、間隔は半分になる。等電位面の間隔が狭いほど電界が強い、ということである。