電位｜高校物理 — みならいノート

学習指導要領物理 (3) ア (ｱ) ㋑「電界と電位との関係を静電気力による位置エネルギーと関連付けて理解すること。」。

0. どういうまとまりか

重力がする仕事は通った道すじによらないので、重力による位置エネルギーが決められました。静電気力も同じ性質をもつ保存力なので、静電気力による位置エネルギーが決められます。
電界が「 $+ 1 C$ あたりの力」だったのと同じように、 $+ 1 C$ あたりの位置エネルギーを考えたものが電位です。
電界はベクトルで、足し合わせに手間がかかりました。電位は向きをもたない量（スカラー）なので、足し合わせはただの足し算です。そのかわり、符号を落とさないことが大事になります。

	力の見方	エネルギーの見方
電荷 $q$ がもつ量	静電気力 $F = q E$	静電気力による位置エネルギー $U = q V$
$+ 1 C$ あたりの量	電界 $E$ （単位 $N/C$ ）	電位 $V$ （単位 $V$ ）
量の種類	ベクトル（向きがある）	スカラー（向きがない。正負の符号はある）
点電荷 $Q$ のまわり	強さ $k \frac{Q}{r ^{2}}$	$V = k \frac{Q}{r}$ （無限遠を基準）
重ね合わせ	ベクトルの和	符号を付けたままの、ただの和

分かれ目は次の 3 つ。

電位の式には、電気量を符号ごと入れる。負の電荷のまわりの電位は負になる。電界の強さの式に大きさを入れたのとは扱いが違う
静電気力がする仕事は $q (V_{A} - V_{B})$ 、外力がゆっくり運ぶ仕事は $q (V_{B} - V_{A})$ 。「はじめ − あと」か「あと − はじめ」かを、誰がする仕事かで決める
電位は $\frac{1}{r}$ 、電界の強さは $\frac{1}{r ^{2}}$ 。距離が 2 倍になると、電位は $\frac{1}{2}$ 倍、電界の強さは $\frac{1}{4}$ 倍になる

1. 静電気力による位置エネルギーと電位

根拠: 学習指導要領物理-(3)-ア-(ア)-㋑

位置エネルギーを決められるのは、力のする仕事が道すじによらないときだけです。静電気力はこの条件を満たします。

静電気力が保存力であるとは、どういうことか？

電荷を 2 点のあいだで動かすとき、静電気力のする仕事が、途中の道すじによらず、はじめの位置と終わりの位置だけで決まること

重力や弾性力と同じ性質である。この性質があるので、静電気力による位置エネルギーを決めることができ、力学的エネルギー保存の法則も使える。

電位とは何か。電位 $V$ の点に置いた電気量 $q$ の電荷がもつ、静電気力による位置エネルギー $U$ は？単位は？

電位は、その点に置いた $+ 1 C$ の電荷がもつ、静電気力による位置エネルギー。 $U = q V$ 。電位の単位はボルト（記号 V）で、 $1 V = 1 J/C$

$q$ も $V$ も符号つきで入れる。電位は場所で決まる量で、そこに置く電荷にはよらない。

電位が高い場所に置いた負の電荷の位置エネルギーは、電位が低い場所に置いたときと比べて、大きいか小さいか？

小さい

$U = q V$ で $q$ が負なので、 $V$ が大きいほど $U$ は小さくなる。負の電荷にとっては、電位の高いところが「エネルギーの低いところ」である。

電位の基準（電位 0 の場所）は、どう決めるか？

どこに選んでもよい。点電荷のまわりを考えるときは無限遠を、実用の電気回路などでは大地（地面）を、電位 0 の基準にすることが多い

意味をもつのは 2 点のあいだの電位の差（電位差、電圧）で、基準を変えても電位差は変わらない。電気器具を導線で大地につなぐことを接地（アース）といい、つないだ部分の電位は大地と同じになる。

2. 電位差と仕事

根拠: 学習指導要領物理-(3)-ア-(ア)-㋑

電位は、電荷を動かすときの仕事と結びつけて使います。仕事の式は、位置エネルギーの差を書きかえたものです。

電気量 $q$ の電荷が、電位 $V_{A}$ の点 A から電位 $V_{B}$ の点 B へ移動する。このあいだに静電気力がする仕事 $W$ は？

$W = q (V_{A} - V_{B})$

静電気力がする仕事は、位置エネルギーの減少ぶん $q V_{A} - q V_{B}$ に等しい。「はじめの電位 − あとの電位」の順である。途中の道すじにはよらない。

電気量 $q$ の電荷を、電位 $V_{A}$ の点 A から電位 $V_{B}$ の点 B へ、外力を加えてゆっくり運ぶ。外力がする仕事は？

$q (V_{B} - V_{A})$

ゆっくり運ぶとき、外力は静電気力とつり合っているので、外力がする仕事は静電気力がする仕事の符号を逆にしたもの。位置エネルギーの増加ぶん $q V_{B} - q V_{A}$ に等しい。「あとの電位 − はじめの電位」の順である。

静電気力だけを受けて静かに動きはじめる電荷は、電位の高いほうと低いほうのどちらへ動くか。正の電荷と負の電荷で答えよ。

正の電荷は電位の低いほうへ、負の電荷は電位の高いほうへ動く

どちらも、自分の位置エネルギー $q V$ が減るほうへ動く。正の電荷は $V$ が下がると、負の電荷は $V$ が上がると、位置エネルギーが減る。

質量 $m$ 、電気量 $q$ の荷電粒子が、静電気力だけを受けて運動する。電位 $V$ の点での速さを $v$ とすると、どんな保存の式が成り立つか？

$\frac{1}{2} m v^{2} + q V =$ 一定（力学的エネルギー保存の法則）

静電気力は保存力なので、運動エネルギーと静電気力による位置エネルギーの和が保たれる。2 点 A、B について書けば $\frac{1}{2} m v_{A}^{2} + q V_{A} = \frac{1}{2} m v_{B}^{2} + q V_{B}$ 。

3. 点電荷のまわりの電位

根拠: 学習指導要領物理-(3)-ア-(ア)-㋑

点電荷のまわりの電位は、無限遠を基準にして 1 本の式で表せます。電界の式と形が似ているので、違いを並べて押さえます。

電気量 $Q$ の点電荷から、距離 $r$ だけ離れた点の電位 $V$ は？基準はどこか？

$V = k \frac{Q}{r}$ 。基準（電位 0）は無限遠

$Q$ は符号ごと入れる。正の点電荷のまわりの電位は正で、近づくほど高い。負の点電荷のまわりの電位は負で、近づくほど低い。

複数の点電荷があるとき、ある点の電位はどう求めるか？

それぞれの点電荷が単独でその点につくる電位を、符号を付けたまま足し合わせる

電位はスカラーなので、向きを考える必要がない。成分に分ける手間がいらないぶん、電界より計算しやすい。正の電荷による電位と負の電荷による電位は、打ち消し合う。

点電荷のまわりの「電界の強さ」と「電位」は、距離 $r$ への依存のしかたと、量の種類がどう違うか？

電界の強さは $k \frac{Q}{r ^{2}}$ で距離の 2 乗に反比例し、ベクトル。電位は $k \frac{Q}{r}$ で距離に反比例し、スカラー

電界の強さの式には電気量の大きさを入れて、向きは別に決める。電位の式には電気量を符号ごと入れる。分母の $r$ と $r^{2}$ を取り違えやすい。

同じ大きさの電気量をもつ 2 つの点電荷を結ぶ線分の中点で、電位と電界はどうなるか。2 つが異符号のときと同符号のときで答えよ。

異符号のとき: 電位は 0、電界は 0 でない。同符号のとき: 電界は 0、電位は 0 でない

電位は符号つきの和、電界はベクトルの和なので、打ち消し合う条件が違う。「電位が 0 なら電界も 0」「電界が 0 なら電位も 0」は、どちらも成り立たない。

電気量 $q_{1}$ 、 $q_{2}$ の 2 つの点電荷が、距離 $r$ だけ離れている。無限遠を基準にした、静電気力による位置エネルギー $U$ は？

$U = k \frac{q _{1} q _{2}}{r}$

$q_{1}$ がつくる電位 $k \frac{q _{1}}{r}$ の点に $q_{2}$ を置いたと考えて、 $U = q_{2} V$ に入れたもの。同符号なら正（無限遠から近づけるのに外力の仕事が要る）、異符号なら負になる。

練習問題

根拠: 学習指導要領物理-(3)-ア-(ア)-㋑

以下、クーロンの法則の比例定数を $k = 9.0 \times 1 0^{9} N \cdot m^{2} / C^{2}$ とし、点電荷のまわりの電位は無限遠を基準とします。座標の単位は m です。

問 1　電位が $300 V$ の点 A と、電位が $100 V$ の点 B がある。(1) 電気量 $+ 2.0 \times 1 0^{- 6} C$ の電荷が A から B へ移動するとき、静電気力がする仕事を求めよ。(2) 電気量 $- 2.0 \times 1 0^{- 6} C$ の電荷を、A から B へ外力を加えてゆっくり運ぶとき、外力がする仕事を求めよ。

(1) $4.0 \times 1 0^{- 4} J$ 　(2) $4.0 \times 1 0^{- 4} J$

方針　静電気力がする仕事は $q (V_{A} - V_{B})$ 、外力がゆっくり運ぶ仕事は $q (V_{B} - V_{A})$ 。電気量は符号ごと入れる。

(1) A と B の電位の差は $300 - 100 = 200 V$
静電気力がする仕事は $q (V_{A} - V_{B})$ なので、 $2.0 \times 1 0^{- 6} \times 200 = 4.0 \times 1 0^{- 4} J$
(2) 外力がする仕事は $q (V_{B} - V_{A})$ 。 $V_{B} - V_{A}$ は $- 200 V$ 、電気量は $- 2.0 \times 1 0^{- 6} C$
負の数どうしの積なので正になる。大きさは (1) と同じで、 $4.0 \times 1 0^{- 4} J$

ここで間違えやすい　(2) を負としてしまうこと。負の電荷は、電位の高い A のほうへ引かれている。それに逆らって電位の低い B へ運ぶので、外力は正の仕事をする。

問 2　電気量 $+ 2.0 \times 1 0^{- 6} C$ の点電荷 Q が固定されている。(1) Q から $0.30 m$ 離れた点 A の電位と、 $0.60 m$ 離れた点 B の電位を求めよ。(2) 電気量 $+ 1.0 \times 1 0^{- 6} C$ の点電荷を、B から A へ外力を加えてゆっくり運ぶ。外力がする仕事を求めよ。

(1) A は $6.0 \times 1 0^{4} V$ 、B は $3.0 \times 1 0^{4} V$ 　(2) $3.0 \times 1 0^{- 2} J$

方針　点電荷のまわりの電位は $V = k \frac{Q}{r}$ 。外力がゆっくり運ぶ仕事は、「電気量 ×（あとの電位 − はじめの電位）」。

(1) A の電位は $9.0 \times 1 0^{9} \times \frac{2.0 \times 1 0 ^{- 6}}{0.30} = 6.0 \times 1 0^{4} V$
B の電位は $9.0 \times 1 0^{9} \times \frac{2.0 \times 1 0 ^{- 6}}{0.60} = 3.0 \times 1 0^{4} V$
(2) はじめが B、あとが A。電位の差は $6.0 \times 1 0^{4} - 3.0 \times 1 0^{4} = 3.0 \times 1 0^{4} V$
外力がする仕事は $1.0 \times 1 0^{- 6} \times 3.0 \times 1 0^{4} = 3.0 \times 1 0^{- 2} J$

ここで間違えやすい　電位を $\frac{1}{r ^{2}}$ で計算してしまうこと。距離が 2 倍になると、電位は $\frac{1}{2}$ 倍になる（ $\frac{1}{4}$ 倍になるのは電界の強さ）。

問 3　 $x$ 軸上の原点に電気量 $+ 4.0 \times 1 0^{- 6} C$ の点電荷 A を、 $x = 0.60$ の点に電気量 $- 2.0 \times 1 0^{- 6} C$ の点電荷 B を固定した。(1) $x = 0.30$ の点の電位を求めよ。(2) A と B のあいだの $x$ 軸上で、電位が 0 になる点の $x$ 座標を求めよ。

(1) $6.0 \times 1 0^{4} V$ 　(2) $x = 0.40$

方針　電位はスカラーなので、A による電位と B による電位を、符号を付けたまま足す。向きは考えなくてよい。

(1) $x = 0.30$ の点は、A からも B からも $0.30 m$ 。電位の和は $k \frac{Q _{A}}{r} + k \frac{Q _{B}}{r}$ で、距離が等しいので、電気量を先に足してまとめられる。
値を入れると、 $9.0 \times 1 0^{9} \times \frac{4.0 \times 1 0 ^{- 6} - 2.0 \times 1 0 ^{- 6}}{0.30} = 6.0 \times 1 0^{4} V$
(2) 求める点の座標を $x$ とする（ $0 < x < 0.60$ ）。A からの距離は $x$ 、B からの距離は $0.60 - x$
電位の和が 0 になる条件は、 $k \frac{4.0 \times 1 0 ^{- 6}}{x} + k \frac{- 2.0 \times 1 0 ^{- 6}}{0.60 - x} = 0$
両辺を $k \times 1 0^{- 6}$ で割って移項すると、 $\frac{4.0}{x} = \frac{2.0}{0.60 - x}$
分母を払うと、 $4.0 (0.60 - x) = 2.0 x$
展開して $2.4 - 4.0 x = 2.0 x$ 。 $x$ について解くと $x = 0.40$

ここで間違えやすい　電位が 0 の点では電界も 0、と考えること。 $x = 0.40$ の点では、A の電界も B の電界も $x$ 軸の正の向きで、電界は 0 にならない。

問 4　質量 $2.0 \times 1 0^{- 4} kg$ 、電気量 $+ 4.0 \times 1 0^{- 6} C$ の小球を、電位 $500 V$ の点 A に静かに置いたところ、小球は静電気力だけを受けて動きはじめ、電位 $100 V$ の点 B を通過した。B を通過するときの小球の速さを求めよ。

$4.0 m/s$

方針　静電気力は保存力なので、力学的エネルギー保存の法則 $\frac{1}{2} m v^{2} + q V =$ 一定を使う。A では速さが 0 なので、位置エネルギーの減少ぶんが、そのまま B での運動エネルギーになる。

A と B について、 $0 + q V_{A} = \frac{1}{2} m v^{2} + q V_{B}$
運動エネルギーについて解くと、 $\frac{1}{2} m v^{2} = q (V_{A} - V_{B})$
電位の差は $500 - 100 = 400 V$ なので、右辺は $4.0 \times 1 0^{- 6} \times 400 = 1.6 \times 1 0^{- 3} J$
$v^{2} = \frac{2 \times 1.6 \times 1 0 ^{- 3}}{m}$ なので、値を入れると $\frac{2 \times 1.6 \times 1 0 ^{- 3}}{2.0 \times 1 0 ^{- 4}} = 16$
速さは $16 = 4.0 m/s$

問 5　 $x y$ 平面上の点 A $(0, 0.30)$ と点 B $(0, - 0.30)$ に、それぞれ電気量 $+ 3.0 \times 1 0^{- 6} C$ の点電荷を固定した。(1) 点 P $(0.40, 0)$ の電位と、原点 O の電位を求めよ。(2) 電気量 $+ 1.0 \times 1 0^{- 6} C$ の点電荷を、P から O へ外力を加えてゆっくり運ぶ。外力がする仕事を求めよ。

(1) P は $1.1 \times 1 0^{5} V$ 、O は $1.8 \times 1 0^{5} V$ 　(2) $7.2 \times 1 0^{- 2} J$

方針　電位はスカラーなので、成分に分けずに、A による電位と B による電位をそのまま足す。A と B は電気量も P（または O）までの距離も等しいので、1 つぶんを 2 倍すればよい。

(1) A から P までの距離は、三平方の定理から $0.4 0^{2} + 0.3 0^{2} = 0.50 m$ 。B から P までも同じ。
P の電位は $2 \times 9.0 \times 1 0^{9} \times \frac{3.0 \times 1 0 ^{- 6}}{0.50} = 1.08 \times 1 0^{5} V$ 。有効数字 2 桁で $1.1 \times 1 0^{5} V$
O は、A からも B からも $0.30 m$ 。O の電位は $2 \times 9.0 \times 1 0^{9} \times \frac{3.0 \times 1 0 ^{- 6}}{0.30} = 1.80 \times 1 0^{5} V$
(2) はじめが P、あとが O。電位の差は、丸める前の値を使って $1.80 \times 1 0^{5} - 1.08 \times 1 0^{5} = 0.72 \times 1 0^{5} V$
外力がする仕事は $1.0 \times 1 0^{- 6} \times 0.72 \times 1 0^{5} = 7.2 \times 1 0^{- 2} J$

ここで間違えやすい　電界のときと同じように成分に分けて、 $\frac{0.40}{0.50}$ を掛けてしまうこと。電位には向きがないので、成分は無い。同じ配置で電界を求めると $y$ 成分が打ち消し合うが、電位は打ち消し合わない。