電流が磁界から受ける力｜高校物理

学習指導要領物理 (3) ア (ｲ) ㋑「電流が磁界から受ける力について理解すること。」。

0. どういうまとまりか

磁界の中に置いた導線に電流を流すと、導線は磁界から力を受けます。モーターが回るのは、この力のためです。
このノートでは、力の大きさの式 $F = I B l$ と、向きを決める手順（フレミングの左手の法則）を扱い、それを平行な 2 本の電流とモーターに当てはめます。この力のもとは、導線の中を動く電子の 1 個 1 個が受けるローレンツ力で、次のノートで扱います。

磁束密度 $B$ の一様な磁界の中にある、長さ $l$ の導線に電流 $I$ を流したとき、導線が受ける力は次のとおりです。

電流と磁界のなす角	力の大きさ	力の向き
垂直（ $9 0^{\circ}$ ）	$F = I B l$	電流にも磁界にも垂直
角 $θ$	$F = I B l sin θ$	電流にも磁界にも垂直
平行（ $0^{\circ}$ 、 $18 0^{\circ}$ ）	$0$	（力を受けない）

向きを言葉で書くために、互いに垂直な $x$ 軸・ $y$ 軸・ $z$ 軸（ $x$ 軸の正の向きから $y$ 軸の正の向きへ右ねじを回すと、ねじが $z$ 軸の正の向きに進む、ふつうの座標軸）と、紙面（右向き・上向き・裏から表へ・表から裏へ）を使います。

分かれ目は次の 3 つ。

力の向きは、電流の向きでも磁界の向きでもない。その両方に垂直な向きで、左手の 3 本の指で決める（中指が電流、人差し指が磁界、親指が力）
式に入るのは磁束密度 $B$ 。磁界の強さ $H$ が与えられたら、 $B = μ H$ に直してから使う。電流が磁界に平行なら、力は 0
平行な 2 本の電流は、同じ向きなら引き合い、逆向きなら反発する。電荷や磁極の「同じ種類は反発」とは逆になる

1. 力の大きさ

根拠: 学習指導要領物理-(3)-ア-(イ)-㋑

力の大きさは、電流・磁束密度・磁界の中にある導線の長さの 3 つで決まります。

磁束密度 $B$ の一様な磁界の中に、磁界と垂直に長さ $l$ の導線を置き、電流 $I$ を流した。導線が受ける力の大きさは？

$F = I B l$

電流、磁束密度、導線の長さのそれぞれに比例する。 $l$ は、磁界の中にある部分の長さ。磁界の強さ $H$ で書けば $F = μ I H l$ になる。

電流の向きと磁界の向きが垂直でなく、角 $θ$ をなすとき、導線が受ける力の大きさは？

$F = I B l sin θ$ 。電流が磁界に平行（ $θ = 0^{\circ}$ または $18 0^{\circ}$ ）なら、力は 0

力に効くのは、磁束密度のうち電流に垂直な成分 $B sin θ$ だけ。 $θ = 9 0^{\circ}$ のとき最大で、 $F = I B l$ になる。

磁束密度の単位 T（テスラ）を、力の式 $F = I B l$ から言いかえると？

$1 T = 1 N/ (A \cdot m)$ 。磁界に垂直な $1 A$ の電流が、長さ $1 m$ あたり $1 N$ の力を受けるときの磁束密度が $1 T$

$B = \frac{F}{I l}$ と書きかえると単位が読める。磁束密度は、電流が受ける力の大きさを決める量である。

2. 力の向き

根拠: 学習指導要領物理-(3)-ア-(イ)-㋑

力の向きは、電流の向きと磁界の向きの両方に垂直です。垂直な向きは 2 つあるので、どちらになるかを手で決めます。

電流が磁界から受ける力の向きを、フレミングの左手の法則で決める手順は？

左手の中指・人差し指・親指を、互いに垂直になるように開く。中指を電流の向き、人差し指を磁界の向きに合わせると、親指の向きが力の向き

中指から順に「電・磁・力」と覚える。使うのは左手。右手でやると力の向きが逆になる。

電流が磁界から受ける力の向きを、右ねじで決める手順は？

電流の向きから磁界の向きへ、角の小さい側を通って右ねじを回す。そのとき、ねじが進む向きが力の向き

フレミングの左手の法則と同じ結果になる。座標で向きが与えられた問題では、こちらのほうが使いやすい。

$x$ 軸の正の向きに電流が流れ、 $y$ 軸の正の向きに磁界がある。電流が受ける力の向きは？

$z$ 軸の正の向き

$x$ 軸の正の向きから $y$ 軸の正の向きへ右ねじを回すと、ねじは $z$ 軸の正の向きに進む。同じように、電流が $y$ 軸の正の向き・磁界が $z$ 軸の正の向きなら、力は $x$ 軸の正の向きになる。

紙面の表から裏へ向かう磁界の中で、紙面の右向きに電流を流した。電流が受ける力の向きは？

紙面の上向き

左手の人差し指を紙面の奥へ、中指を右へ向けると、親指は上を向く。磁界が裏から表へ向かうときは、逆の下向きになる。

電流の向きだけを逆にすると、電流が磁界から受ける力の向きはどうなるか？　電流と磁界の両方を逆にすると？

電流だけ、または磁界だけを逆にすると、力の向きは逆になる。両方を逆にすると、力の向きは元と同じ

1 つ逆にするたびに力が逆になるので、2 つ逆にすると元に戻る。

3. 平行電流が及ぼし合う力

根拠: 学習指導要領物理-(3)-ア-(イ)-㋑

平行な 2 本の導線に電流を流すと、導線どうしが力を及ぼし合います。「一方の電流がつくる磁界から、もう一方の電流が力を受ける」と、2 段に分けて考えます。

平行な 2 本の直線電流は、互いにどんな向きの力を及ぼし合うか？

電流が同じ向きなら引き合い、逆向きなら反発し合う

電荷や磁極では「同じ種類どうしが反発」だったが、電流では同じ向きどうしが引き合う。逆なので取り違えやすい。

平行な 2 本の直線電流 A、B が及ぼし合う力の向きは、どんな手順で求めるか？

①A の電流が B の位置につくる磁界の向きを、右ねじの法則で求める　②その磁界から B の電流が受ける力の向きを、フレミングの左手の法則で求める

A が受ける力は、A と B を入れかえて同じ手順で求める。結果は、B が受ける力と逆向きで同じ大きさになる。

距離 $r$ だけ離れた平行な 2 本の直線電流 $I_{1}$ 、 $I_{2}$ が、長さ $l$ の部分に及ぼし合う力の大きさは？

$F = \frac{μ _{0} I _{1} I _{2}}{2 π r} l$ （真空中・空気中）

$I_{1}$ が距離 $r$ の位置につくる磁束密度は $B = μ_{0} H = \frac{μ _{0} I _{1}}{2 π r}$ 。これを $F = I_{2} B l$ に入れた式である。

平行な 2 本の直線電流の大きさが違うとき、2 本の導線が受ける力の大きさは、どちらが大きいか？

同じ大きさ。向きは互いに逆

2 本が及ぼし合う力は、作用・反作用の関係にある。式 $F = \frac{μ _{0} I _{1} I _{2}}{2 π r} l$ も、 $I_{1}$ と $I_{2}$ を入れかえて変わらない。

4. モーターの原理

根拠: 学習指導要領物理-(3)-ア-(イ)-㋑

磁界の中に長方形のコイルを置いて電流を流すと、コイルは回ります。直流モーターはこの回転を取り出す装置です。

磁界の中に置いた長方形のコイルに電流を流すと、コイルが回るのはなぜか？

コイルの向かい合う 2 辺では、電流の向きが逆なので、磁界から受ける力の向きも逆になる。この 2 つの力が、コイルを回転軸のまわりに同じ向きに回す

例えば、磁界が $x$ 軸の正の向きで、回転軸が $z$ 軸のとき、電流が $z$ 軸の正の向きの辺は $y$ 軸の正の向きに、負の向きの辺は $y$ 軸の負の向きに力を受ける。

直流モーターの整流子は、何をしているか？

コイルの面が磁界に垂直になるところを通るたびに（半回転ごとに）、コイルに流れる電流の向きを逆にして、コイルを回す向きがいつも同じになるようにしている

整流子が無いと、コイルの面が磁界に垂直になるところを過ぎたあと、力がコイルを回す向きが逆になり、コイルは回り続けられない。

練習問題

根拠: 学習指導要領物理-(3)-ア-(イ)-㋑

重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ 、真空の透磁率を $μ_{0} = 4 π \times 1 0^{- 7} N/ A^{2}$ とします。導線は空気中にあり、空気の透磁率は $μ_{0}$ に等しいとします。

問 1　 $y$ 軸の正の向きに、磁束密度 $0.50 T$ の一様な磁界がある。この中に、 $x$ 軸に平行に長さ $0.30 m$ の導線を置き、 $x$ 軸の正の向きに $2.0 A$ の電流を流した。導線が受ける力の大きさと向きを求めよ。

$0.30 N$ 、 $z$ 軸の正の向き

方針　電流と磁界が垂直なので、大きさは $F = I B l$ 。向きはフレミングの左手の法則（または、電流の向きから磁界の向きへ右ねじを回す）で決める。

$F = I B l$ に値を入れると、 $2.0 \times 0.50 \times 0.30 = 0.30 N$
向き。左手の中指を $x$ 軸の正の向き（電流）、人差し指を $y$ 軸の正の向き（磁界）に合わせる。
親指は $z$ 軸の正の向きを指す。 $x$ 軸の正の向きから $y$ 軸の正の向きへ右ねじを回しても、ねじは $z$ 軸の正の向きに進む。

問 2　 $x$ 軸の正の向きに、磁束密度 $0.25 T$ の一様な磁界がある。この中に、 $x y$ 平面内で、 $x$ 軸の正の向きから $y$ 軸の正の向きの側へ $3 0^{\circ}$ だけ回した向きに、長さ $0.20 m$ の導線を置き、その向きに $4.0 A$ の電流を流した。導線が受ける力の大きさと向きを求めよ。 $sin 3 0^{\circ} = 0.50$ とする。

$0.10 N$ 、 $z$ 軸の負の向き

方針　電流と磁界が垂直でないので、 $F = I B l sin θ$ を使う。向きは、電流の向きから磁界の向きへ右ねじを回して決める。

電流と磁界のなす角は $θ = 3 0^{\circ}$
$F = I B l sin θ$ に値を入れると、 $4.0 \times 0.25 \times 0.20 \times 0.50 = 0.10 N$
向き。電流も磁界も $x y$ 平面内にあるので、力は $x y$ 平面に垂直。 $z$ 軸の正の向きか負の向きのどちらかである。
電流の向きから磁界の向き（ $x$ 軸の正の向き）へ回すには、 $y$ 軸の正の側から $x$ 軸の正の向きへ $3 0^{\circ}$ もどすことになる。これは、 $z$ 軸の正の側から見て時計回り。
$z$ 軸の正の側から見て時計回りに右ねじを回すと、ねじは見ている側から遠ざかる。力の向きは $z$ 軸の負の向き。

ここで間違えやすい　 $sin 3 0^{\circ}$ を掛け忘れて $0.20 N$ とすること。電流に垂直な磁束密度の成分だけが力に効く。

問 3　鉛直上向きを $z$ 軸の正の向きとする。水平な $y$ 軸の正の向きに、磁束密度 $0.20 T$ の一様な磁界がある。この中に、質量 $0.010 kg$ 、長さ $0.50 m$ のまっすぐな導線を、水平な $x$ 軸に平行に置いた。導線に電流を流して、磁界から受ける力だけで導線を支えたい。電流の向きと大きさを求めよ。

$x$ 軸の正の向きに $0.98 A$

方針　導線が受ける力は、重力（鉛直下向き）と磁界から受ける力の 2 つ。磁界から受ける力が鉛直上向きで、大きさが重力と等しければつり合う。大きさの式 $I B l = m g$ と、向きの条件を別々に考える。

向き。力が $z$ 軸の正の向き、磁界が $y$ 軸の正の向きになるような電流の向きを探す。電流は $x$ 軸に平行なので、正の向きか負の向きのどちらかである。
電流が $x$ 軸の正の向きなら、 $x$ 軸の正の向きから $y$ 軸の正の向きへ右ねじを回して、力は $z$ 軸の正の向き。求める向きはこちら。
大きさ。つり合いの式は $I B l = m g$ なので、 $I = \frac{m g}{B l}$
分子は $0.010 \times 9.8 = 0.098$ 、分母は $0.20 \times 0.50 = 0.10$
$I = \frac{0.098}{0.10} = 0.98 A$

問 4　2 本の導線 A、B が、どちらも $z$ 軸に平行に張ってある。A は $z$ 軸上にあり、B は $x$ 軸上の $x = 0.10 m$ の点を通る。A に $2.0 A$ 、B に $3.0 A$ の電流を、どちらも $z$ 軸の正の向きに流した。(1) A の電流が、B の位置につくる磁束密度の大きさと向きを求めよ。(2) B の長さ $0.50 m$ の部分が受ける力の大きさと向きを求めよ。(3) A の長さ $0.50 m$ の部分が受ける力の大きさと向きを求めよ。

(1) $4.0 \times 1 0^{- 6} T$ 、 $y$ 軸の正の向き　(2) $6.0 \times 1 0^{- 6} N$ 、 $x$ 軸の負の向き（A に近づく向き）　(3) $6.0 \times 1 0^{- 6} N$ 、 $x$ 軸の正の向き（B に近づく向き）

方針　2 段に分ける。まず A の電流が B の位置につくる磁束密度を求め、次にその磁界から B の電流が受ける力を $F = I B l$ で求める。A が受ける力は、作用・反作用の関係から決まる。

(1) A がつくる磁束密度は $B = \frac{μ _{0} I _{1}}{2 π r}$ 。値を入れると、 $\frac{4 π \times 1 0 ^{- 7} \times 2.0}{2 π \times 0.10}$
分子と分母の $π$ を約分し、4 を 2 で割ると、 $\frac{2 \times 1 0 ^{- 7} \times 2.0}{0.10} = 4.0 \times 1 0^{- 6} T$
向き。A の電流は $z$ 軸の正の向きなので、磁界は $z$ 軸の正の側から見て反時計回り。B は A から見て $x$ 軸の正の側にあるので、そこでの磁界は $y$ 軸の正の向き。
(2) $F = I_{2} B l$ に値を入れると、 $3.0 \times 4.0 \times 1 0^{- 6} \times 0.50 = 6.0 \times 1 0^{- 6} N$
向き。B の電流は $z$ 軸の正の向き、磁界は $y$ 軸の正の向き。 $z$ 軸の正の向きから $y$ 軸の正の向きへ右ねじを回すと、ねじは $x$ 軸の負の向きに進む。A に近づく向きである。
(3) A が受ける力は、B が受ける力と作用・反作用の関係にある。大きさは同じ $6.0 \times 1 0^{- 6} N$ で、向きは逆の $x$ 軸の正の向き。B に近づく向きである。

ここで間違えやすい　(3) で「A のほうが電流が小さいから、受ける力も小さい」と考えてしまうこと。2 本が受ける力の大きさは等しい。

問 5　 $x$ 軸の正の向きに、磁束密度 $0.40 T$ の一様な磁界がある。この中に、導線を $20$ 回巻いた長方形のコイル PQRS を、 $z$ 軸を回転軸として置いた。いま、コイルの面は磁界に平行で、辺 PQ と辺 RS は $z$ 軸に平行で長さ $0.10 m$ 、辺 QR と辺 SP は $x$ 軸に平行である。辺 PQ は回転軸より $x$ 軸の負の側に、辺 RS は正の側にある。コイルに $0.50 A$ の電流を流したところ、辺 PQ では $z$ 軸の正の向きに、辺 RS では $z$ 軸の負の向きに電流が流れた。(1) 辺 PQ が受ける力の大きさと向きを求めよ。(2) 辺 RS が受ける力の大きさと向きを求めよ。(3) 辺 QR と辺 SP が受ける力の大きさを求めよ。(4) コイルは、 $z$ 軸の正の側から見てどちら回りに回りはじめるか。

(1) $0.40 N$ 、 $y$ 軸の正の向き　(2) $0.40 N$ 、 $y$ 軸の負の向き　(3) $0 N$ 　(4) 時計回り

方針　辺ごとに、電流の向きと磁界の向きから力を求める。 $20$ 回巻きなので、1 つの辺には同じ向きの電流が $20$ 本ぶん流れていて、力は $20$ 倍になる。回る向きは、それぞれの辺がどちら側にあって、どちら向きに押されるかから決める。

(1) 辺 PQ の電流は磁界に垂直。1 つの辺が受ける力の大きさは $F = N I B l$ 。値を入れると、 $20 \times 0.50 \times 0.40 \times 0.10 = 0.40 N$
向き。 $z$ 軸の正の向き（電流）から $x$ 軸の正の向き（磁界）へ右ねじを回すと、ねじは $y$ 軸の正の向きに進む。
(2) 辺 RS は、長さも電流の大きさも辺 PQ と同じなので、力の大きさは同じ $0.40 N$ 。電流の向きだけが逆なので、力の向きは逆の $y$ 軸の負の向き。
(3) 辺 QR と辺 SP の電流は、磁界に平行。 $sin θ = 0$ なので、力は $0 N$
(4) $x$ 軸の負の側にある辺 PQ が $y$ 軸の正の向きに、 $x$ 軸の正の側にある辺 RS が $y$ 軸の負の向きに押される。 $z$ 軸の正の側から見て、 $x$ 軸を右向き・ $y$ 軸を上向きにとると、左側が上へ、右側が下へ押されるので、時計回りに回りはじめる。

ここで間違えやすい　辺 PQ と辺 RS の力が逆向きで同じ大きさなので「打ち消し合って回らない」と考えてしまうこと。2 つの力は作用する位置が違うので、合力は 0 でも、コイルを回すはたらきは残る。