ローレンツ力

$1.6\times 10^{-13}\mathrm{N}$、$z$ 軸の負の向き

方針　速度と磁界が垂直なので、大きさは $f=evB$。向きは、まず正電荷として求め、電子は負電荷なので最後に逆にする。

1. $f=evB$ に値を入れると、$1.6\times 10^{-19}\times 2.0\times 10^6\times 0.50=1.6\times 10^{-13}\mathrm{N}$
2. 向き。正電荷なら、$x$ 軸の正の向き（速度）から $y$ 軸の正の向き（磁界）へ右ねじを回して、$z$ 軸の正の向き。
3. 電子は負電荷なので、その逆の $z$ 軸の負の向き。

ここで間違えやすい　電子の速度の向きをそのまま電流の向きとして、$z$ 軸の正の向きと答えてしまうこと。

(1) $3.4\times 10^{-2}\mathrm{m}$　(2) $6.7\times 10^{-7}\mathrm{s}$

方針　ローレンツ力が向心力になる。運動方程式 $m\frac{v^2}{r}=evB$ から半径を出し、周期は $T=\frac{2\pi m}{eB}$ で求める。

1. (1) 運動方程式 $m\frac{v^2}{r}=evB$ を $r$ について解くと、$r=\frac{mv}{eB}$
2. 分子は $1.7\times 10^{-27}\times 3.2\times 10^5=5.44\times 10^{-22}$
3. 分母は $1.6\times 10^{-19}\times 0.10=1.6\times 10^{-20}$
4. $r=\frac{5.44\times 10^{-22}}{1.6\times 10^{-20}}=3.4\times 10^{-2}\mathrm{m}$
5. (2) $T=\frac{2\pi r}{v}$ に $r=\frac{mv}{eB}$ を入れると、$T=\frac{2\pi m}{eB}$
6. 分子は $2\times 3.14\times 1.7\times 10^{-27}=1.0676\times 10^{-26}$。分母は (1) と同じ $1.6\times 10^{-20}$
7. $T=\frac{1.0676\times 10^{-26}}{1.6\times 10^{-20}}=6.6725\times 10^{-7}\fallingdotseq 6.7\times 10^{-7}\mathrm{s}$

(1) 半径 3 倍、周期 1 倍（変わらない）　(2) 半径 $\frac{1}{2}$ 倍、周期 $\frac{1}{2}$ 倍　(3) 半径 2 倍、周期 2 倍

方針　$r=\frac{mv}{qB}$ と $T=\frac{2\pi m}{qB}$ で、変えた量が分子にあるか分母にあるか、そもそも式に入っているかを見る。

1. (1) $v$ は $r$ の分子にあるので、半径は 3 倍。$T$ の式には $v$ が無いので、周期は変わらない。
2. (2) $B$ は $r$ と $T$ のどちらでも分母にあるので、半径も周期も $\frac{1}{2}$ 倍。
3. (3) $m$ は分子、$q$ は分母にある。$r$ も $T$ も $\frac{m}{q}$ に比例するので、$\frac{4}{2}=2$ 倍。半径も周期も 2 倍。

ここで間違えやすい　(1) で「速くなったから周期は短くなる」と考えてしまうこと。速さが 3 倍になると円周も 3 倍になるので、1 周の時間は変わらない。

(1) 紙面の上向き　(2) 反時計回り　(3) $1.8\times 10^{-2}\mathrm{m}$　(4) 紙面の上向きに $3.6\times 10^{-2}\mathrm{m}$

方針　向きは、正電荷として求めてから逆にする。力は円の中心を向くので、力の向きから回る向きと円の中心の位置が決まる。半周すると、出発点から直径ぶんだけ離れる。

1. (1) 正電荷が紙面の右向きに進むなら、右向き（速度）から「裏から表へ」の向き（磁界）へ右ねじを回して、力は紙面の下向き。電子は負電荷なので、その逆の紙面の上向き。
2. (2) 力は円の中心を向く。右向きに進んでいる電子の上側に中心があるので、電子は上へ曲がっていく。右へ進みながら上へ曲がるのは、反時計回り。
3. (3) $r=\frac{mv}{eB}$。分子は $9.1\times 10^{-31}\times 3.2\times 10^6=2.912\times 10^{-24}$、分母は $1.6\times 10^{-19}\times 1.0\times 10^{-3}=1.6\times 10^{-22}$
4. $r=\frac{2.912\times 10^{-24}}{1.6\times 10^{-22}}=1.82\times 10^{-2}\fallingdotseq 1.8\times 10^{-2}\mathrm{m}$
5. (4) 円の中心は、点 O から紙面の上向きに $r$ だけ離れたところにある。半周すると、中心をはさんで点 O の反対側に来るので、点 O から紙面の上向きに $2r$ のところ。
6. $2r=2\times 1.82\times 10^{-2}=3.64\times 10^{-2}\fallingdotseq 3.6\times 10^{-2}\mathrm{m}$

ここで間違えやすい　(4) で、電子が進んでいた右向きに離れると考えてしまうこと。半周したときの位置は、打ち出した向きに垂直な、力を受けた側にある。

(1) $8.0\times 10^{-24}\mathrm{N}$　(2) $8.5\times 10^{21}$ 個　(3) $6.8\times 10^{-2}\mathrm{N}$　(4) 電流は $1.36\mathrm{A}$（2 桁で $1.4\mathrm{A}$）。$F=IBl$ も $6.8\times 10^{-2}\mathrm{N}$ になり、一致する

方針　電子 1 個が受ける力 $f=evB$ に、導線の中にある電子の数を掛けると、導線全体が受ける力になる。これが $F=IBl$ と同じ値になることを、数値で確かめる。

1. (1) $f=evB$ に値を入れると、$1.6\times 10^{-19}\times 1.0\times 10^{-4}\times 0.50=8.0\times 10^{-24}\mathrm{N}$
2. (2) 長さ $l$ の部分の体積は $Sl$ なので、電子の数は $nSl$。値を入れると、$8.5\times 10^{28}\times 1.0\times 10^{-6}\times 0.10=8.5\times 10^{21}$
3. (3) 電子 1 個の力に個数を掛けると、$8.0\times 10^{-24}\times 8.5\times 10^{21}=6.8\times 10^{-2}\mathrm{N}$
4. (4) $I=envS$ に値を入れると、$1.6\times 10^{-19}\times 8.5\times 10^{28}\times 1.0\times 10^{-4}\times 1.0\times 10^{-6}=1.36\mathrm{A}$
5. 丸める前の値で $F=IBl$ を計算すると、$1.36\times 0.50\times 0.10=6.8\times 10^{-2}\mathrm{N}$。(3) と一致する。

磁界に平行な方向には等速で進みながら、磁界に垂直な面内では等速円運動をする。合わせると、らせんを描いて進む（らせん運動）

速度を、磁界に平行な成分と垂直な成分に分けて考えます。平行な成分はローレンツ力に関わらないので、そのまま変わりません。垂直な成分 $v_{\perp }$ は円運動を生み、半径は $r=\frac{m{v}_{\perp }}{qB}$ です。周期は速さによらず $T=\frac{2\pi m}{qB}$ のままです。

サイクロトロンは「周期が速さによらない」ことを、質量分析器は「半径が質量に比例する」ことを使っている

• サイクロトロン　荷電粒子を加速する装置。磁界の中で粒子に半円を描かせ、半周するごとに電極のあいだの電界で加速します。加速されて速くなると半径は大きくなりますが、周期 $T=\frac{2\pi m}{qB}$ は変わりません。だから、電極にかける電圧の向きを一定の時間ごとに入れかえるだけで、粒子が電極のあいだを通るたびに加速し続けられます。粒子の速さを増すのは電界で、磁界は粒子を曲げて戻す役目です。
• 質量分析器　粒子の質量を調べる装置。電気量と速さをそろえた粒子を磁界に垂直に入射させると、半径 $r=\frac{mv}{qB}$ は質量に比例します。半周して届く位置は入射点から $2r$ だけ離れるので、届いた位置の違いから質量の違いが分かります。

板の中を動く荷電粒子が、ローレンツ力で一方の面のほうへ押し寄せられ、その面にたまるから

$x$ 軸の正の向きに電流が流れている板に、$z$ 軸の正の向きの磁界をかけた場合で考えます。

• 電流の担い手が電子なら、電子は $x$ 軸の負の向きに動いていて、ローレンツ力を $y$ 軸の負の向きに受けます。$y$ 軸の負の側の面に電子がたまって負に帯電し、$y$ 軸の正の側の面のほうが電位が高くなります。
• 電流の担い手が正の電荷なら、$x$ 軸の正の向きに動いていて、ローレンツ力はやはり $y$ 軸の負の向きです。こんどは $y$ 軸の負の側の面が正に帯電し、こちらの電位が高くなります。

どちらの面の電位が高くなるかで、電流の担い手の電荷の正負が分かります。たまった電荷がつくる電界 $E$ から受ける力とローレンツ力がつり合うと、それ以上はたまらなくなります。担い手の電気量の大きさを $q$、速さを $v$ とすると $qE=qvB$ で、面の間隔を $d$ とすれば、電位差は $V=Ed=vBd$ です。