電流がつくる磁界｜高校物理

学習指導要領物理 (3) ア (ｲ) ㋐「電流がつくる磁界の様子を理解すること。」。

0. どういうまとまりか

磁界をつくるのは磁石だけではありません。電流のまわりにも磁界ができます。
このノートでは、形の違う 3 つの電流（直線電流・円電流・ソレノイド）について、磁界の向きを決める手順と強さの式を扱います。向きはどれも右ねじ（右手）で決まり、強さの式は形ごとに違います。

電流の形	どこの磁界か	強さ	向きの決め方
直線電流	導線から距離 $r$ の点	$H = \frac{I}{2 π r}$	右ねじの進む向きを電流に合わせると、ねじを回す向き
円電流（半径 $r$ ）	円の中心	$H = \frac{I}{2 r}$	右手の 4 本の指を電流の向きに沿わせると、親指の向き
ソレノイド（単位長さあたり $n$ 巻き）	内部	$H = n I$	円電流と同じ

$I$ は電流 [A]、 $H$ は磁界の強さ [A/m] です。磁束密度が必要なときは $B = μ H$ で直します（空気中なら $μ = μ_{0}$ ）。

向きを言葉で書くために、このノートでは次の 2 つの表し方を使います。

互いに垂直な $x$ 軸・ $y$ 軸・ $z$ 軸。 $x$ 軸の正の向きから $y$ 軸の正の向きへ右ねじを回すと、ねじが $z$ 軸の正の向きに進む、ふつうの座標軸です。
紙面。紙面の右向き・上向きと、紙面に垂直な「裏から表へ」（手前へ出てくる向き）・「表から裏へ」（奥へ入っていく向き）。

分かれ目は次の 3 つ。

直線電流と円電流の式は、分母に $π$ があるかどうかが違う。直線電流は $2 π r$ 、円電流の中心は $2 r$ 。文字 $r$ の意味も違う（導線からの距離と、円の半径）
ソレノイドの $n$ は「1 m あたりの巻数」。全体の巻数 $N$ を長さ $l$ で割って $n = \frac{N}{l}$ にしてから使う
磁界はベクトルとして足す。平行な 2 本の直線電流のあいだでは、電流が同じ向きなら磁界は弱め合い、逆向きなら強め合う

1. 直線電流がつくる磁界

根拠: 学習指導要領物理-(3)-ア-(イ)-㋐

まっすぐな導線を流れる電流（直線電流）のまわりには、導線を取り巻くように磁界ができます。

直線電流のまわりの磁力線は、どんな形になるか？

導線に垂直な平面内で、導線を中心とする同心円になる

磁界の向きは、この円の接線の向き。導線に向かう向きでも、導線から遠ざかる向きでもない。

直線電流がつくる磁界の向きを、右ねじの法則で決める手順は？

右ねじが進む向きを電流の向きに合わせる。そのとき、ねじを回す向きが磁界の向き

右手でも決められる。右手の親指を電流の向きに向けて導線を握ると、残りの 4 本の指が巻きつく向きが磁界の向きになる。

紙面の表から裏へ流れる直線電流がある。紙面を表から見たとき、磁界はどちら回りか？　電流が裏から表へ流れるときは？

表から裏へ流れるときは時計回り。裏から表へ流れるときは反時計回り

ねじを奥へ進めるときは時計回りに回す、と覚えればよい。表から裏への電流なら、導線の右側の点で磁界は紙面の下向き、導線の上側の点で磁界は紙面の右向きになる。

十分に長い直線電流 $I$ から、距離 $r$ だけ離れた点の磁界の強さは？

$H = \frac{I}{2 π r}$

電流に比例し、導線からの距離に反比例する。距離が 2 倍になれば、磁界の強さは $\frac{1}{2}$ 倍になる。分母の $2 π r$ は、半径 $r$ の円周の長さ。

2. 円電流がつくる磁界

根拠: 学習指導要領物理-(3)-ア-(イ)-㋐

導線を円形に巻いて流した電流（円電流）では、円の内側を磁力線がまとまって通り抜けます。式で扱うのは、円の中心の磁界です。

円電流の中心にできる磁界の向きを決める手順は？

右手の 4 本の指を、電流の流れる向きに沿わせて握る。そのとき、伸ばした親指の向きが、円の中心の磁界の向き

磁界は、円を含む平面に垂直になる。円の各部分を短い直線電流とみて右ねじの法則を使っても、円の内側ではどの部分の磁界も同じ向きになり、同じ結果になる。

紙面上の円電流が、表から見て反時計回りに流れている。円の中心の磁界の向きは？　時計回りのときは？

反時計回りのときは、紙面の裏から表への向き。時計回りのときは、紙面の表から裏への向き

座標でいえば、 $x y$ 平面内の円電流を $z$ 軸の正の側から見て反時計回りなら、中心の磁界は $z$ 軸の正の向き。

半径 $r$ の円電流 $I$ が、円の中心につくる磁界の強さは？　導線を $N$ 回巻いた円形コイルのときは？

1 巻きで $H = \frac{I}{2 r}$ 。 $N$ 回巻きなら $N$ 倍になって $H = \frac{N I}{2 r}$

電流に比例し、円の半径に反比例する。 $N$ 回巻きのコイルは、同じ円電流が $N$ 個重なったものとみる。

3. ソレノイドがつくる磁界

根拠: 学習指導要領物理-(3)-ア-(イ)-㋐

導線を円筒状に、すきまなく何回も巻いたコイルをソレノイドといいます。円電流を軸の方向に並べたものにあたります。

十分に長いソレノイドに電流を流したとき、内部の磁界はどんな様子になるか？

軸に平行で、どこでも同じ向き・同じ強さの一様な磁界になる

外側には、棒磁石とよく似た形の磁界ができる。外側の磁界は内部に比べてずっと弱い。

単位長さあたりの巻数が $n$ のソレノイドに、電流 $I$ を流した。内部の磁界の強さは？

$H = n I$

$n$ は「1 m あたり何回巻いてあるか」で、単位は 1/m。式にはソレノイドの半径が入らない。巻き方を密にするか、電流を大きくすると磁界は強くなる。

ソレノイドの内部の磁界の向きは、どう決めるか？　どちらの端が N 極にあたるか？

右手の 4 本の指を電流の流れる向きに沿わせてソレノイドを握ると、親指の向きが内部の磁界の向き。親指の指す側の端が N 極にあたる

磁力線は、親指の指す側の端から外へ出て、反対側の端に入る。磁力線が出ていく端が N 極、入る端が S 極である。

4. 3 つの式の取り違え

根拠: 学習指導要領物理-(3)-ア-(イ)-㋐

3 つの式は形が似ているので、入れ替わりやすいところを先に確かめておきます。

直線電流の式と円電流の式は、どこが違うか？

直線電流は $H = \frac{I}{2 π r}$ で、分母に $π$ がある。円電流の中心は $H = \frac{I}{2 r}$ で、 $π$ が無い。 $r$ の意味も違い、直線電流では導線からの距離、円電流では円の半径

直線電流の $2 π r$ は「導線を取り巻く円周の長さ」と覚えると、 $π$ が付くほうを取り違えない。

ソレノイドの式 $H = n I$ の $n$ と、全体の巻数 $N$ の関係は？

長さ $l$ のソレノイドに全部で $N$ 回巻いてあるとき、 $n = \frac{N}{l}$

$H = n I$ に全体の巻数 $N$ をそのまま入れない。円形コイルの $H = \frac{N I}{2 r}$ の $N$ は巻数そのものなので、ここが入れ替わりやすい。

5. 磁界の重ね合わせ

根拠: 学習指導要領物理-(3)-ア-(イ)-㋐

電流が 2 つ以上あるときは、それぞれの電流が単独でつくる磁界を、ベクトルとして足し合わせます。平行な 2 本の直線電流は、その代表的な場面です。

平行な 2 本の直線電流が、同じ向きに流れている。2 本のあいだの点では、それぞれがつくる磁界の向きはどうなるか？

互いに逆向きになり、弱め合う。2 本の電流の大きさが等しければ、ちょうど中間の点で磁界は 0 になる

あいだの点は、一方の導線から見れば右側、もう一方から見れば左側にある。直線電流の磁界は導線の両側で逆向きなので、同じ向きの電流どうしでは打ち消し合う。

平行な 2 本の直線電流が、互いに逆向きに流れている。2 本のあいだの点では、それぞれがつくる磁界の向きはどうなるか？

同じ向きになり、強め合う。磁界の強さは、それぞれの強さの和になる

電流の向きを逆にすると、その電流がつくる磁界の向きも逆になる。同じ向きの電流のときに打ち消し合っていた 2 つが、今度はそろう。

練習問題

根拠: 学習指導要領物理-(3)-ア-(イ)-㋐

導線はすべて空気中にあり、十分に長いものとします。真空の透磁率は $μ_{0} = 4 π \times 1 0^{- 7} N/ A^{2}$ で、空気の透磁率もこれに等しいとします。

問 1　 $z$ 軸上の導線に、 $z$ 軸の正の向きに $3.0 A$ の電流が流れている。 $x$ 軸上の点 P（ $x = 0.15 m$ ）について、次の問いに答えよ。(1) 点 P の磁界の向きを求めよ。(2) 点 P の磁界の強さを求めよ。 $π = 3.14$ とする。(3) 点 P の磁束密度の大きさを求めよ。

(1) $y$ 軸の正の向き　(2) $3.2 A/m$ 　(3) $4.0 \times 1 0^{- 6} T$

方針　向きは右ねじの法則で、強さは直線電流の式 $H = \frac{I}{2 π r}$ で求める。磁束密度は $B = μ_{0} H$ だが、丸めた (2) の値を使わず、文字式に戻って $π$ を約分する。

(1) 右ねじが進む向きを $z$ 軸の正の向きに合わせる。 $z$ 軸の正の側から見ると、ねじを回す向きは反時計回り。
点 P は導線から見て $x$ 軸の正の側にある。そこで反時計回りに進む向きは、 $y$ 軸の正の向き。
(2) $H = \frac{I}{2 π r}$ に値を入れると、 $\frac{3.0}{2 \times 3.14 \times 0.15} = \frac{3.0}{0.942} ≒ 3.2 A/m$
(3) $B = μ_{0} H = \frac{μ _{0} I}{2 π r}$ 。値を入れると、 $\frac{4 π \times 1 0 ^{- 7} \times 3.0}{2 π \times 0.15}$
分子と分母の $π$ を約分し、4 を 2 で割ると、 $\frac{2 \times 1 0 ^{- 7} \times 3.0}{0.15} = 4.0 \times 1 0^{- 6} T$

ここで間違えやすい　磁界の向きを「導線から遠ざかる向き（ $x$ 軸の正の向き）」としてしまうこと。直線電流の磁界は、導線を取り巻く円の接線の向きである。

問 2　 $x y$ 平面内に、原点を中心とする半径 $0.10 m$ の円形の導線がある。この導線に、 $z$ 軸の正の側から見て時計回りに $2.0 A$ の電流を流した。(1) 円の中心の磁界の向きを求めよ。(2) 円の中心の磁界の強さを求めよ。(3) 同じ半径で導線を $50$ 回巻いた円形コイルにして、同じ電流を流すと、中心の磁界の強さはいくらになるか。

(1) $z$ 軸の負の向き　(2) $10 A/m$ 　(3) $5.0 \times 1 0^{2} A/m$

方針　向きは右手で、強さは円電流の式 $H = \frac{I}{2 r}$ で求める。 $N$ 回巻きなら $N$ 倍になる。

(1) 右手の 4 本の指を、 $z$ 軸の正の側から見て時計回りに沿わせて握る。親指は、見ている側から遠ざかる向き、つまり $z$ 軸の負の向きを指す。
(2) $H = \frac{I}{2 r}$ に値を入れると、 $\frac{2.0}{2 \times 0.10} = 10 A/m$
(3) $50$ 回巻きなので $H = \frac{N I}{2 r}$ 。値を入れると、 $\frac{50 \times 2.0}{2 \times 0.10} = 500$
有効数字 2 桁で書くと、 $5.0 \times 1 0^{2} A/m$

ここで間違えやすい　直線電流の式と混ぜて、分母を $2 π r$ にしてしまうこと。円電流の中心の式に $π$ は無い。

問 3　長さ $0.20 m$ の円筒に、導線を一様に $400$ 回巻いたソレノイドがある。これに $0.50 A$ の電流を流した。(1) 単位長さあたりの巻数を求めよ。(2) 内部の磁界の強さを求めよ。(3) 内部の磁束密度の大きさを求めよ。 $π = 3.14$ とする。

(1) $2.0 \times 1 0^{3} /m$ 　(2) $1.0 \times 1 0^{3} A/m$ 　(3) $1.3 \times 1 0^{- 3} T$

方針　ソレノイドの式 $H = n I$ の $n$ は 1 m あたりの巻数なので、先に全体の巻数を長さで割る。磁束密度は $B = μ_{0} H$ 。

(1) $n = \frac{N}{l}$ に値を入れると、 $\frac{400}{0.20} = 2000$ 。有効数字 2 桁で書くと $2.0 \times 1 0^{3} /m$
(2) $H = n I$ に値を入れると、 $2000 \times 0.50 = 1000$ 。有効数字 2 桁で書くと $1.0 \times 1 0^{3} A/m$
(3) $B = μ_{0} H$ に値を入れると、 $4 \times 3.14 \times 1 0^{- 7} \times 1000 = 1.256 \times 1 0^{- 3}$
有効数字 2 桁にすると、 $1.256 \times 1 0^{- 3} ≒ 1.3 \times 1 0^{- 3} T$

ここで間違えやすい　 $H = n I$ に全体の巻数 $400$ をそのまま入れて、 $400 \times 0.50$ としてしまうこと。

問 4　2 本の導線 A、B が、どちらも $z$ 軸に平行に張ってある。A は $z$ 軸上にあり、B は $x$ 軸上の $x = 0.20 m$ の点を通る。A と B のちょうど中間の点 M（ $x = 0.10 m$ ）の磁界について、次の問いに答えよ。答えは $π$ を残した形と、 $π = 3.14$ として計算した値の両方で答えよ。(1) A にも B にも、 $z$ 軸の正の向きに $2.0 A$ の電流を流したときの、磁界の強さ。(2) A には $z$ 軸の正の向きに、B には $z$ 軸の負の向きに、それぞれ $2.0 A$ の電流を流したときの、磁界の強さと向き。

(1) $0 A/m$ 　(2) $\frac{20}{π} A/m$ （ $6.4 A/m$ ）、 $y$ 軸の正の向き

方針　A がつくる磁界と B がつくる磁界を別々に求め、ベクトルとして足す。点 M はどちらの導線からも $0.10 m$ なので、1 本ぶんの強さは等しい。あとは向きがそろうか逆になるかで決まる。

1 本ぶんの強さは $H = \frac{I}{2 π r}$ 。値を入れると、 $\frac{2.0}{2 π \times 0.10} = \frac{10}{π} A/m$
A がつくる磁界の向き。電流は $z$ 軸の正の向きなので、 $z$ 軸の正の側から見て反時計回り。点 M は A から見て $x$ 軸の正の側にあるので、 $y$ 軸の正の向き。
(1) B の電流も $z$ 軸の正の向きなので、B のまわりでも反時計回り。点 M は B から見て $x$ 軸の負の側にあるので、B がつくる磁界は $y$ 軸の負の向き。
2 つは同じ強さで逆向きなので、打ち消し合って $0 A/m$
(2) B の電流は $z$ 軸の負の向きなので、 $z$ 軸の正の側から見て時計回り。点 M は B から見て $x$ 軸の負の側にあるので、B がつくる磁界は $y$ 軸の正の向き。
2 つは同じ向きなので、強さは 2 倍になって $\frac{20}{π} A/m$ 。向きは $y$ 軸の正の向き。
$π = 3.14$ とすると、 $\frac{20}{3.14} ≒ 6.4 A/m$

ここで間違えやすい　「同じ向きの電流だから磁界も強め合う」と考えてしまうこと。2 本のあいだでは、同じ向きの電流の磁界は逆向きになる。

問 5　 $0.40 m$ 離れた平行な 2 本の導線 A、B に、同じ向きに電流が流れている。A の電流は $1.0 A$ 、B の電流は $3.0 A$ である。2 本の導線を含む平面内で、2 本のあいだにあって磁界が 0 になる点は、A から何 m のところか。

A から $0.10 m$ のところ

方針　同じ向きの電流のあいだでは、2 つの磁界は逆向きになる。だから、2 つの磁界の強さが等しい点で、合成した磁界が 0 になる。A からの距離を $s$ とおいて、強さが等しいという式を立てる。

求める点の A からの距離を $s$ とすると、B からの距離は $0.40 - s$
A がつくる磁界の強さは $\frac{1.0}{2 π s}$ 、B がつくる磁界の強さは $\frac{3.0}{2 π ( 0.40 - s )}$
2 つが等しいので、 $\frac{1.0}{2 π s} = \frac{3.0}{2 π ( 0.40 - s )}$
両辺に $2 π s (0.40 - s)$ を掛けると、 $0.40 - s = 3.0 s$
$s$ を右辺に集めると、 $0.40 = 4.0 s$
$s$ について解くと、 $s = \frac{0.40}{4.0} = 0.10 m$

ここで間違えやすい　電流の大きいほうの導線の近くだと考えてしまうこと。電流の大きい B の磁界は遠くまで強いので、0 になる点は、電流の小さい A のほうに寄る。