磁界と磁力線｜高校物理 — みならいノート

学習指導要領物理 (3) ア (ｲ) ㋐「電流がつくる磁界の様子を理解すること。」。

0. どういうまとまりか

直線電流・円電流がつくる磁界を式で扱う前に、磁界を表す道具をそろえるノートです。
磁石の磁極どうしは、離れていても力を及ぼし合います。電気で「電荷が電界から力を受ける」と考えたのと同じように、「磁極が磁界から力を受ける」と考えます。磁界は磁場ともいいます。

磁界を表す量は 2 つあります。磁界の強さ $H$ と、磁束密度 $B$ です。 $H$ は磁極が受ける力から決めた量、 $B$ はそれに透磁率 $μ$ を掛けた量で、このあとのノートで電流や荷電粒子が受ける力を決めるのは $B$ のほうです。

電気と磁気の対応は次のとおりです。

	電気	磁気
力のもと	電荷 $q$ [C]	磁極の磁気量 $m$ [Wb]
力の法則	$F = k \frac{q _{1} q _{2}}{r ^{2}}$	$F = k_{m} \frac{m _{1} m _{2}}{r ^{2}}$
場	電界 $E$ [N/C]	磁界 $H$ [N/Wb = A/m]
場から受ける力	$F = q E$	$F = m H$
場の向きの約束	正電荷が受ける力の向き	N 極が受ける力の向き
場を表す線	電気力線（正電荷から出て負電荷に入る）	磁力線（N 極から出て S 極に入る）
単独で取り出せるか	正電荷・負電荷を別々に取り出せる	N 極・S 極を別々には取り出せない

分かれ目は次の 3 つ。

磁界の向きは「N 極が受ける力の向き」。S 極が受ける力は磁界と逆向きになる
$H$ と $B$ は別の量。 $B = μ H$ で結ばれ、単位も違う（ $H$ は A/m、 $B$ は T）。電流や荷電粒子が受ける力の式に入るのは $B$
磁束 $Φ = B S$ は、面を垂直に貫くぶんだけを数える。面が磁界に平行なら、磁束は 0

1. 磁極と磁気力

根拠: 学習指導要領物理-(3)-ア-(イ)-㋐

磁石の両端の、鉄を強く引きつける部分を磁極といいます。磁極どうしが及ぼし合う力（磁気力）は、静電気力とよく似た形の法則に従います。

磁極の種類と、磁極どうしが及ぼし合う力の向きは？

N 極と S 極の 2 種類。同じ種類の磁極は反発し合い、異なる種類の磁極は引き合う

電荷の「同符号は反発、異符号は引き合う」と同じ形。磁極の強さを磁気量といい、単位はウェーバ（Wb）。

2 つの磁極が及ぼし合う磁気力の大きさは、磁気量と距離にどう関係するか？

それぞれの磁気量 $m_{1}$ 、 $m_{2}$ の積に比例し、距離 $r$ の 2 乗に反比例する。 $F = k_{m} \frac{m _{1} m _{2}}{r ^{2}}$

磁気力に関するクーロンの法則。静電気力の $F = k \frac{q _{1} q _{2}}{r ^{2}}$ と同じ形で、距離を 2 倍にすると力は $\frac{1}{4}$ 倍になる。

棒磁石を真ん中で 2 つに切ると、N 極だけの磁石と S 極だけの磁石に分かれるか？

分かれない。切り口に新しい磁極が現れ、どちらの破片も N 極と S 極をもつ磁石になる

磁極は、N 極と S 極が必ず対になって現れる。正電荷と負電荷を別々に取り出せる電気とは、ここが違う。

2. 磁界

根拠: 学習指導要領物理-(3)-ア-(イ)-㋐

磁極は、まわりの空間を「ほかの磁極に力を及ぼす状態」に変えています。この空間を磁界といい、向きと強さをもつ量 $H$ で表します。

磁界の向きと強さは、どう決めるか？

向きは、その点に置いた N 極が受ける力の向き。強さ $H$ は、 $1 Wb$ の N 極が受ける力の大きさ

方位磁針を置くと、N 極の指す向きがその点の磁界の向きになる。電界を「 $+ 1 C$ の電荷が受ける力」で決めたのと同じ決め方。

磁界 $H$ の中に磁気量 $m$ の磁極を置いたとき、受ける力は？　磁界の強さの単位は？

$F = m H$ 。大きさは $F = m H$ 。磁界の強さの単位は N/Wb で、A/m（アンペア毎メートル）と同じ

電界の $F = q E$ にあたる式。A/m という単位は、次のノートで電流がつくる磁界の式（ $H = \frac{I}{2 π r}$ など）を書くとそのまま出てくる。

磁界の中に S 極を置くと、どの向きに力を受けるか？

磁界の向きと逆向き

磁界の向きは N 極が受ける力の向きと約束したので、S 極はその逆になる。負電荷が電界と逆向きに力を受けるのと同じ。

2 つ以上の磁極や電流が、同じ点につくる磁界は、どう求めるか？

それぞれが単独でつくる磁界を、ベクトルとして足し合わせる（磁界の重ね合わせ）

同じ向きなら強さの和、逆向きなら強さの差、垂直なら三平方の定理で合成する。強さの数値だけを足してはいけない。

3. 磁力線

根拠: 学習指導要領物理-(3)-ア-(イ)-㋐

磁界の様子を、線で表したものが磁力線です。電気力線と同じ約束で引きます。

磁力線とは何か？　その向きは？

磁界の向きに沿って引いた線。線上の各点での接線の向きが、その点の磁界の向きになる。磁石の外では N 極から出て S 極に入る

磁石のまわりに方位磁針を次々に置いて、N 極の指す向きをつないでいくと磁力線になる。

磁力線の性質を 2 つ言うと？

①途中で交わったり、枝分かれしたりしない　②磁力線が密なところほど、磁界が強い

1 つの点で磁界の向きは 1 つに決まるので、磁力線は交わらない。磁極の近くで磁力線が込み合うのは、そこで磁界が強いから。

方位磁針の N 極が北を指すことから、地球の北極の近くにあるのは、磁石の何極にあたるか？

S 極にあたる

N 極は磁界の向きに力を受け、異なる種類の磁極に引かれる。地球は全体が大きな磁石になっていて、その磁界を地磁気という。地表では、磁力線はおおよそ南から北へ向かう。

4. 磁束密度と磁束

根拠: 学習指導要領物理-(3)-ア-(イ)-㋐

電流や荷電粒子が磁界から受ける力は、まわりの物質によって変わります。そこで、磁界の強さ $H$ に物質ごとの定数を掛けた磁束密度 $B$ を使います。

磁束密度 $B$ は、磁界の強さ $H$ とどう結ばれるか？　単位は？

$B = μ H$ （ $μ$ は透磁率）。向きは磁界 $H$ と同じ。単位はテスラ（T）で、 $1 T = 1 Wb/ m^{2} = 1 N/ (A \cdot m)$

透磁率 $μ$ は、まわりの物質で決まる定数（単位は $N/ A^{2}$ ）。真空の透磁率を $μ_{0}$ と書き、空気の透磁率は $μ_{0}$ とほぼ等しい。

磁界の強さ $H$ と磁束密度 $B$ は、どう使い分けるか？

$H$ は、電流がつくる磁界を表す式（ $H = \frac{I}{2 π r}$ など）に出てくる。 $B$ は、電流や荷電粒子が受ける力の式（ $F = I B l$ 、 $f = q v B$ ）と、磁束 $Φ = B S$ に出てくる

$H$ で求めた磁界から力を出すときは、先に $B = μ H$ で磁束密度に直す。空気中なら $μ = μ_{0}$ としてよい。

磁束 $Φ$ とは何か？　式と単位は？

磁束密度 $B$ の一様な磁界に垂直な、面積 $S$ の面を貫く磁束は $Φ = B S$ 。単位はウェーバ（Wb）

磁束密度は「磁界に垂直な面 $1 m^{2}$ あたりを貫く磁束」なので、単位が $Wb/ m^{2}$ になる。磁束は、次のフォルダの電磁誘導で主役になる量。

面が磁界に垂直でないとき、面を貫く磁束はどうなるか？

面に垂直な向き（面の法線）と磁界のなす角を $θ$ として、 $Φ = B S cos θ$ 。面が磁界に平行（ $θ = 9 0^{\circ}$ ）なら 0

数えるのは、面を垂直に貫く成分だけ。面を傾けるほど、貫く磁束は減る。

透磁率は物質によって大きく違います。鉄・コバルト・ニッケルのように、磁界の中に置くと強く磁石の性質を帯びる（磁化される）物質を強磁性体といい、透磁率が非常に大きくなります。電磁石のコイルに鉄心を入れるのは、同じ電流でも磁束密度 $B = μ H$ をはるかに大きくできるからです。

練習問題

根拠: 学習指導要領物理-(3)-ア-(イ)-㋐

向きは、互いに垂直な $x$ 軸・ $y$ 軸で表します。

問 1　 $x$ 軸の正の向きに、強さ $50 A/m$ の一様な磁界がある。(1) この磁界の中に磁気量 $2.0 \times 1 0^{- 4} Wb$ の N 極を置いた。N 極が受ける力の大きさと向きを求めよ。(2) 同じ磁気量の S 極を置いたとき、受ける力の大きさと向きを求めよ。

(1) $1.0 \times 1 0^{- 2} N$ 、 $x$ 軸の正の向き　(2) $1.0 \times 1 0^{- 2} N$ 、 $x$ 軸の負の向き

方針　磁極が磁界から受ける力は $F = m H$ 。向きは、N 極なら磁界と同じ向き、S 極なら逆向き。

力の大きさは $F = m H$
値を入れると、 $2.0 \times 1 0^{- 4} \times 50 = 1.0 \times 1 0^{- 2} N$
(1) N 極が受ける力の向きは、磁界の向きと同じ。 $x$ 軸の正の向き。
(2) 磁気量の大きさが同じなので、力の大きさも同じ。S 極が受ける力の向きは、磁界と逆向き。 $x$ 軸の負の向き。

問 2　空気中のある点の磁界の強さが $50 A/m$ であった。この点の磁束密度の大きさを求めよ。空気の透磁率は真空の透磁率 $μ_{0} = 4 π \times 1 0^{- 7} N/ A^{2}$ に等しいとし、 $π = 3.14$ とする。

$6.3 \times 1 0^{- 5} T$

方針　磁束密度と磁界の強さは $B = μ H$ で結ばれる。空気中なので $μ = μ_{0}$ とする。

$B = μ_{0} H$
$μ_{0}$ に $π = 3.14$ を入れて掛けると、 $4 \times 3.14 \times 1 0^{- 7} \times 50 = 6.28 \times 1 0^{- 5}$
有効数字 2 桁にすると、 $6.28 \times 1 0^{- 5} ≒ 6.3 \times 1 0^{- 5} T$

ここで間違えやすい　 $50 A/m$ をそのまま磁束密度だと思って、 $F = I B l$ などの $B$ に入れてしまうこと。 $H$ と $B$ は単位の違う別の量である。

問 3　磁束密度 $0.40 T$ の一様な磁界の中に、面積 $5.0 \times 1 0^{- 3} m^{2}$ の平らな面がある。次のそれぞれの場合について、面を貫く磁束を求めよ。 $cos 6 0^{\circ} = 0.50$ とする。(1) 面が磁界に垂直なとき。(2) 面に垂直な向き（面の法線）が、磁界と $6 0^{\circ}$ の角をなすとき。(3) 面が磁界に平行なとき。

(1) $2.0 \times 1 0^{- 3} Wb$ 　(2) $1.0 \times 1 0^{- 3} Wb$ 　(3) $0 Wb$

方針　磁束は、面を垂直に貫く成分だけを数える。面の法線と磁界のなす角を $θ$ として $Φ = B S cos θ$ を使う。

(1) 面が磁界に垂直なとき、面の法線は磁界と平行なので $θ = 0^{\circ}$ 。 $Φ = B S$
値を入れると、 $0.40 \times 5.0 \times 1 0^{- 3} = 2.0 \times 1 0^{- 3} Wb$
(2) $θ = 6 0^{\circ}$ なので $Φ = B S cos 6 0^{\circ}$ 。値を入れると、 $0.40 \times 5.0 \times 1 0^{- 3} \times 0.50 = 1.0 \times 1 0^{- 3} Wb$
(3) 面が磁界に平行なとき、面の法線は磁界と垂直なので $θ = 9 0^{\circ}$ 。 $cos 9 0^{\circ} = 0$ なので、磁束は $0 Wb$

ここで間違えやすい　角 $θ$ を「面と磁界のなす角」で測ってしまうこと。測るのは面の法線と磁界のなす角で、面が磁界に垂直なときが $θ = 0^{\circ}$ である。

問 4　点 P に、磁石 A だけを置いたときにできる磁界は、 $x$ 軸の正の向きに強さ $30 A/m$ である。(1) 磁石 B だけを置いたときに点 P にできる磁界が $y$ 軸の正の向きに $40 A/m$ であるとき、A と B の両方を置いたときの点 P の磁界の強さを求めよ。(2) 磁石 B の位置を変えて、B だけが点 P につくる磁界を $x$ 軸の負の向きに $40 A/m$ にした。A と B の両方を置いたときの点 P の磁界の強さと向きを求めよ。

(1) $50 A/m$ 　(2) $10 A/m$ 、 $x$ 軸の負の向き

方針　磁界はベクトルとして足し合わせる。垂直な 2 つは三平方の定理で、一直線上で逆向きの 2 つは引き算で合成する。

(1) A の磁界は $x$ 成分だけ、B の磁界は $y$ 成分だけをもつ。2 つは垂直なので、合成した強さは $3 0^{2} + 4 0^{2}$
根号の中は $3 0^{2} + 4 0^{2} = 900 + 1600 = 2500$
$2500 = 50$ なので、強さは $50 A/m$ 。向きは、 $x$ 成分が $30$ 、 $y$ 成分が $40$ のベクトルの向き（ $x$ 軸の正の向きから、 $y$ 軸の正の向きの側へ傾いた向き）。
(2) 2 つの磁界は一直線上で逆向き。 $x$ 軸の正の向きを正とすると、合成した磁界は $30 - 40 = - 10$
符号が負なので、向きは $x$ 軸の負の向き。強さは $10 A/m$

ここで間違えやすい　(1) で $30 + 40$ としてしまうこと。強さをそのまま足せるのは、2 つの磁界が同じ向きのときだけである。

問 5　2 つの磁極が、ある距離だけ離れて置かれ、磁気力を及ぼし合っている。次のようにすると、磁気力の大きさはそれぞれ何倍になるか。(1) 磁気量はそのままで、距離を 2 倍にする。(2) 距離はそのままで、2 つの磁極の磁気量をどちらも 3 倍にする。(3) 2 つの磁極の磁気量をどちらも 3 倍にし、距離も 2 倍にする。

(1) $\frac{1}{4}$ 倍　(2) $9$ 倍　(3) $\frac{9}{4}$ 倍（ $2.25$ 倍）

方針　磁気力に関するクーロンの法則 $F = k_{m} \frac{m _{1} m _{2}}{r ^{2}}$ から、磁気力は磁気量の積に比例し、距離の 2 乗に反比例する。比例定数は変わらないので、比だけで考える。

(1) 距離の 2 乗に反比例するので、距離が 2 倍なら $\frac{1}{2 ^{2}} = \frac{1}{4}$ 倍
(2) 磁気量の積に比例するので、どちらも 3 倍なら $3 \times 3 = 9$ 倍
(3) 両方を合わせると、 $9 \times \frac{1}{4} = \frac{9}{4}$ 倍
小数で書くと、 $\frac{9}{4} = 2.25$ 倍