電池の起電力と内部抵抗｜高校物理

学習指導要領物理 (3) ア (ｱ) ㋓「電気回路に関する実験などを行い，電気回路における基本的な法則を理解すること。」。

0. どういうまとまりか

ここまでの回路では、電池を「いつも決まった電圧を出すもの」として扱ってきました。
実際の電池は、電流を流すと、両端の電圧が少し下がります。電池そのものの中にも抵抗（内部抵抗）があるからです。

量	意味	式
起電力 $E$	電池が電位差をつくりだすはたらきの大きさ。電流が流れていないときの端子電圧	電池ごとに決まった値
内部抵抗 $r$	電池の内部にある抵抗	電池ごとに決まった値
端子電圧 $V$	電池の両極のあいだの、実際の電位差	$V = E - r I$
回路を流れる電流 $I$	外部に抵抗値 $R$ の抵抗をつないだとき	$I = \frac{E}{R + r}$

分かれ目は次の 3 つ。

起電力と端子電圧は別のもの。電流を流すと、端子電圧は起電力より $r I$ だけ小さくなる。等しいのは電流が 0 のときだけ
端子電圧 $V$ と電流 $I$ のグラフは右下がりの直線で、縦軸の切片が起電力 $E$ 、傾きの大きさが内部抵抗 $r$
電流計は内部抵抗が小さいほど、電圧計は内部抵抗が大きいほど、つないだことによる回路の変化が小さい

1. 起電力・内部抵抗・端子電圧

根拠: 学習指導要領物理-(3)-ア-(ア)-㋓

内部抵抗のある電池は、「起電力 $E$ の、抵抗の無い電池」と「抵抗値 $r$ の抵抗」を直列につないだものと同じはたらきをします。こう置きかえれば、あとはこれまでの回路と同じに扱えます。

電池の起電力とは？

電池が、両極のあいだに電位差をつくりだすはたらきの大きさ。電流が流れていないときの両極間の電位差に等しい

単位はボルト（ $V$ ）。電池の種類で決まり、つなぐ回路によって変わらない。

電池の内部抵抗とは？回路を考えるときは、どう扱うか？

電池の内部にある抵抗。起電力 $E$ の抵抗の無い電池に、抵抗値 $r$ の抵抗が直列につながっているものとして扱う

電流は電池の中も通るので、電池の中でも電圧降下 $r I$ が起こり、ジュール熱が発生する。

起電力 $E$ 、内部抵抗 $r$ の電池から電流 $I$ が流れ出ているとき、端子電圧 $V$ は？

$V = E - r I$

端子電圧は、電池の両極のあいだの実際の電位差。起電力から、内部抵抗での電圧降下 $r I$ を引いたものになる。

電池の端子電圧が、起電力と等しくなるのはどんなときか？

電池に電流が流れていないとき（ $I = 0$ ）

$V = E - r I$ で $r I$ が 0 になる。電流を取り出しているあいだは、端子電圧は必ず起電力より小さい。

起電力 $E$ 、内部抵抗 $r$ の電池に、抵抗値 $R$ の抵抗をつないだ。流れる電流 $I$ は？

$I = \frac{E}{R + r}$

内部抵抗 $r$ と外部の抵抗 $R$ が直列になっている。キルヒホッフの第 2 法則で 1 周すると $E = R I + r I$ 。端子電圧は外部の抵抗にかかる電圧 $R I$ に等しい。

起電力 $E$ 、内部抵抗 $r$ の電池に、ほかの電源から、正極から負極へ向かう向きの電流 $I$ を流しこんでいる（充電している）。このときの端子電圧 $V$ は？

$V = E + r I$ 。起電力より大きくなる

電流の向きが逆なので、内部抵抗での電圧降下の向きも逆になる。 $V = E - r I$ は、電池が電流を送り出しているときの式である。

内部抵抗のある電池が電流 $I$ を流しているとき、電池が供給する電力 $E I$ は、どこで消費されるか？

外部の抵抗で $R I^{2}$ 、電池の内部抵抗で $r I^{2}$ 。 $E I = R I^{2} + r I^{2}$

$E = R I + r I$ の両辺に $I$ を掛けた式。内部抵抗で消費される分は電池の中で熱になり、外では使えない。

2. 起電力と内部抵抗の測定

根拠: 学習指導要領物理-(3)-ア-(ア)-㋓

起電力と内部抵抗は、電池につなぐ抵抗を変えながら端子電圧と電流を測ると、グラフから求められます。

電池の端子電圧 $V$ を縦軸、電流 $I$ を横軸にとったグラフは、どんな形になるか？起電力 $E$ と内部抵抗 $r$ は、グラフのどこに現れるか？

右下がりの直線。縦軸の切片が起電力 $E$ 、傾きの大きさが内部抵抗 $r$

$V = E - r I$ は、 $I$ の一次関数である。 $I = 0$ のとき $V = E$ で、 $I$ が 1 増えるごとに $V$ は $r$ ずつ減る。

電流が $I_{1}$ のとき端子電圧が $V_{1}$ 、電流が $I_{2}$ のとき端子電圧が $V_{2}$ だった。内部抵抗 $r$ と起電力 $E$ は、どう求めるか？

$r = \frac{V _{1} - V _{2}}{I _{2} - I _{1}}$ （電圧の減った分 ÷ 電流の増えた分）。求めた $r$ を $E = V_{1} + r I_{1}$ に入れる

$V_{1} = E - r I_{1}$ と $V_{2} = E - r I_{2}$ の連立方程式を解いている。辺々を引くと $E$ が消える。

内部抵抗のある電池から取り出せる電流には、上限があるか？

ある。外部の抵抗を 0 に近づけても、電流は $\frac{E}{r}$ を超えない

$I = \frac{E}{R + r}$ で $R = 0$ としたときの値。このとき端子電圧は 0 になる。実際に電池の両極を導線でじかにつなぐと、大きな電流が流れて発熱し、危険である。

使い古した電池で豆電球が暗くなるのは、主に、電池の何が変わったからか？

内部抵抗が大きくなったから。電流を流したときの端子電圧が大きく下がる

電流を流さずに測った電圧（ほぼ起電力）はあまり下がっていなくても、電流を取り出そうとすると $r I$ の分だけ端子電圧が落ちる。

3. 電流計と電圧計の内部抵抗

根拠: 学習指導要領物理-(3)-ア-(ア)-㋓

電流計と電圧計にも内部抵抗があります。計器をつなぐと回路が少し変わるので、その変化が小さくなるようにつくられています。

電流計は、測りたい部分にどうつなぐか？電流計の内部抵抗は、大きいほうがよいか小さいほうがよいか？その理由は？

直列につなぐ。内部抵抗は小さいほうがよい。直列に入れた電流計の抵抗の分だけ回路の抵抗が増え、流れる電流が減ってしまうから

内部抵抗が小さいほど、つなぐ前の電流に近い値が測れる。

電圧計は、測りたい部分にどうつなぐか？電圧計の内部抵抗は、大きいほうがよいか小さいほうがよいか？その理由は？

並列につなぐ。内部抵抗は大きいほうがよい。電圧計のほうへ電流が分かれて流れ、測りたい部分の電圧が変わってしまうから

内部抵抗が大きいほど、電圧計へ分かれる電流が小さく、つなぐ前の電圧に近い値が測れる。

練習問題

根拠: 学習指導要領物理-(3)-ア-(ア)-㋓

問 1　起電力 $1.5 V$ 、内部抵抗 $0.30 Ω$ の電池に、 $1.2 Ω$ の抵抗をつないだ。(1) 流れる電流を求めよ。(2) 電池の端子電圧を求めよ。

(1) $1.0 A$ 　(2) $1.2 V$

方針　内部抵抗を、電池に直列につながった抵抗として扱う。電流は $I = \frac{E}{R + r}$ 、端子電圧は $V = E - r I$ で求める。端子電圧は外部の抵抗にかかる電圧でもあるので、 $R I$ で確かめられる。

(1) 回路全体の抵抗は、外部の抵抗と内部抵抗の和で、 $1.2 + 0.30 = 1.5 Ω$
電流は $I = \frac{E}{R + r}$ から、 $\frac{1.5}{1.5} = 1.0 A$
(2) 内部抵抗での電圧降下は $r I$ なので、 $0.30 \times 1.0 = 0.30 V$
端子電圧は $V = E - r I$ から、 $1.5 - 0.30 = 1.2 V$
確かめ。外部の抵抗にかかる電圧は $1.2 \times 1.0 = 1.2 V$ で、一致する

ここで間違えやすい　端子電圧を起電力と同じ $1.5 V$ としてしまうこと。電流が流れているあいだは、内部抵抗での電圧降下の分だけ小さい。

問 2　ある電池につなぐ抵抗を変えて、端子電圧と電流を測った。電流が $0.20 A$ のとき端子電圧は $1.40 V$ 、電流が $0.60 A$ のとき端子電圧は $1.20 V$ であった。この電池の内部抵抗と起電力を求めよ。

内部抵抗 $0.50 Ω$ 、起電力 $1.50 V$

方針　2 つの測定値はどちらも $V = E - r I$ をみたす。グラフでいえば、2 点を通る直線の傾きの大きさが内部抵抗、縦軸の切片が起電力である。先に傾きから $r$ を出し、それを一方の式に入れて $E$ を求める。

電流の増えた分は、 $0.60 - 0.20 = 0.40 A$
端子電圧の減った分は、 $1.40 - 1.20 = 0.20 V$
内部抵抗は「電圧の減った分 ÷ 電流の増えた分」なので、 $\frac{0.20}{0.40} = 0.50 Ω$
起電力は $E = V + r I$ 。1 つ目の測定値を入れると、 $1.40 + 0.50 \times 0.20 = 1.50 V$
確かめ。2 つ目の測定値を入れると、 $1.20 + 0.50 \times 0.60 = 1.50 V$ で、一致する

問 3　ある電池に $5.0 Ω$ の抵抗をつなぐと $0.50 A$ の電流が流れ、 $2.0 Ω$ の抵抗につなぎかえると $1.0 A$ の電流が流れた。この電池の起電力と内部抵抗を求めよ。

起電力 $3.0 V$ 、内部抵抗 $1.0 Ω$

方針　起電力 $E$ と内部抵抗 $r$ は、つなぐ抵抗を変えても変わらない。 $E = (R + r) I$ の式を 2 つの場合について書き、連立方程式として解く。

$5.0 Ω$ をつないだとき、 $E = (5.0 + r) \times 0.50$
$2.0 Ω$ をつないだとき、 $E = (2.0 + r) \times 1.0$
手順 1 と手順 2 の右辺は等しいので、 $2.5 + 0.50 r = 2.0 + 1.0 r$
$r$ をまとめると $0.50 r = 0.50$ なので、 $r = 1.0 Ω$
手順 2 に入れると、 $E$ は $(2.0 + 1.0) \times 1.0 = 3.0 V$
確かめ。手順 1 に入れると $(5.0 + 1.0) \times 0.50 = 3.0 V$ で、一致する

ここで間違えやすい　内部抵抗を考えずに $5.0 \times 0.50 = 2.5 V$ を起電力としてしまうこと。これは端子電圧で、もう一方の場合の $2.0 \times 1.0 = 2.0 V$ と合わない。端子電圧が電流によって変わるのが、内部抵抗のあるしるしである。

問 4　ある電池の端子電圧 $V$ と電流 $I$ の関係をグラフにしたところ、点（ $0 A$ 、 $3.0 V$ ）と点（ $2.0 A$ 、 $2.0 V$ ）を通る直線になった。(1) この電池の起電力と内部抵抗を求めよ。(2) この電池に $2.5 Ω$ の抵抗をつないだときの、電流と端子電圧を求めよ。(3) (2) のとき、外部の抵抗で消費される電力と、内部抵抗で消費される電力を求めよ。

(1) 起電力 $3.0 V$ 、内部抵抗 $0.50 Ω$ 　(2) 電流 $1.0 A$ 、端子電圧 $2.5 V$ 　(3) 外部の抵抗で $2.5 W$ 、内部抵抗で $0.50 W$

方針　グラフの縦軸の切片が起電力、傾きの大きさが内部抵抗。それが分かれば、あとは $I = \frac{E}{R + r}$ と $V = E - r I$ を使う。電力は、物理基礎で学んだ $P = R I^{2}$ をそれぞれの抵抗に使う。

(1) 電流が 0 のときの端子電圧が起電力なので、 $E = 3.0 V$
電流が $2.0 A$ 増えるあいだに、端子電圧は $3.0 - 2.0 = 1.0 V$ 減っている。内部抵抗は $\frac{1.0}{2.0} = 0.50 Ω$
(2) 回路全体の抵抗は $2.5 + 0.50 = 3.0 Ω$ なので、電流は $\frac{3.0}{3.0} = 1.0 A$
端子電圧は $V = E - r I$ から、 $3.0 - 0.50 \times 1.0 = 2.5 V$
(3) 外部の抵抗で消費される電力は、 $2.5 \times 1. 0^{2} = 2.5 W$
内部抵抗で消費される電力は、 $0.50 \times 1. 0^{2} = 0.50 W$
確かめ。合わせて $3.0 W$ で、電池が供給する電力 $E I$ の $3.0 \times 1.0 = 3.0 W$ と一致する

問 5　起電力 $6.0 V$ の電池（内部抵抗は無視）に、 $2.0 \times 1 0^{3} Ω$ の抵抗 $R_{1}$ と $2.0 \times 1 0^{3} Ω$ の抵抗 $R_{2}$ を直列につないだ。(1) $R_{2}$ の両端の電圧を求めよ。(2) $R_{2}$ の両端に、内部抵抗 $2.0 \times 1 0^{3} Ω$ の電圧計をつないだ。電圧計の読みを求めよ。

(1) $3.0 V$ 　(2) $2.0 V$

方針　電圧計は、内部抵抗と同じ値の抵抗として扱う。電圧計をつなぐと、 $R_{2}$ と電圧計が並列になって、その部分の抵抗が小さくなる。読みは、その並列部分にかかる電圧である。

(1) 同じ抵抗値の 2 つの抵抗の直列なので、電圧は半分ずつにかかる。 $R_{2}$ の両端の電圧は $3.0 V$
(2) $R_{2}$ と電圧計の並列部分の合成抵抗は、 $\frac{2.0 \times 1 0 ^{3} \times 2.0 \times 1 0 ^{3}}{2.0 \times 1 0 ^{3} + 2.0 \times 1 0 ^{3}} = 1.0 \times 1 0^{3} Ω$
回路全体の抵抗は、 $2.0 \times 1 0^{3} + 1.0 \times 1 0^{3} = 3.0 \times 1 0^{3} Ω$
電池から流れる電流は、 $\frac{6.0}{3.0 \times 1 0 ^{3}} = 2.0 \times 1 0^{- 3} A$
並列部分にかかる電圧は、 $1.0 \times 1 0^{3} \times 2.0 \times 1 0^{- 3} = 2.0 V$ 。これが電圧計の読み

ここで間違えやすい　電圧計をつないでも回路は変わらないと考えて、読みを $3.0 V$ としてしまうこと。電圧計の内部抵抗が、測りたい抵抗と比べて十分に大きくないと、読みは本来の値より小さくなる。

【発展】電流計や電圧計の測れる範囲を広げるには、どうするか（分流器と倍率器）

電流計には小さな抵抗（分流器）を並列につなぎ、電圧計には大きな抵抗（倍率器）を直列につなぐ。測れる範囲を $n$ 倍にするには、分流器は電流計の内部抵抗の $\frac{1}{n - 1}$ 倍、倍率器は電圧計の内部抵抗の $(n - 1)$ 倍の抵抗値にする

内部抵抗 $r_{A}$ の電流計で $n$ 倍の電流まで測るには、電流計に流れる分の $(n - 1)$ 倍を分流器へ逃がします。並列では電圧が共通なので、流れる電流は抵抗値に反比例し、分流器の抵抗値は $\frac{r _{A}}{n - 1}$ です。たとえば内部抵抗 $0.90 Ω$ の電流計の範囲を 10 倍にするには、 $\frac{0.90}{10 - 1} = 0.10 Ω$ の分流器を並列につなぎます。内部抵抗 $r_{V}$ の電圧計で $n$ 倍の電圧まで測るには、電圧計にかかる分の $(n - 1)$ 倍の電圧を倍率器に受けもたせます。直列では電流が共通なので、かかる電圧は抵抗値に比例し、倍率器の抵抗値は $(n - 1) r_{V}$ です。