鏡｜高校物理 — みならいノート

学習指導要領物理 (2) ア (ｳ) ㋐「光の伝わり方について理解すること。」。

0. どういうまとまりか

鏡は、反射を利用して像をつくります。使う法則は反射の法則 1 つだけです。
平面鏡は、鏡の向こう側に物体と同じ大きさの虚像をつくります。球面の一部を鏡にした球面鏡は、レンズと同じように焦点をもち、レンズと同じ形の写像公式が成り立ちます。
レンズと違うのは、光が鏡で折り返すので、実像が物体と同じ側にできることです。

このノートでは、鏡に対して物体のある側（光を反射する側）を「前方」、鏡の裏側を「後方」と呼びます。
物体から鏡までの距離を $a$ 、鏡から像までの距離を $b$ 、焦点距離を $f$ として、写像公式は $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}$ です。
符号の約束は、次の表の 1 つに決めます。

量	正の値にするとき	負の値にするとき
$a$ （物体までの距離）	鏡の前方に物体がある（このノートではいつも正）	（扱わない）
$b$ （像までの距離）	像が鏡の前方にできる（実像）	像が鏡の後方にできる（虚像）
$f$ （焦点距離）	凹面鏡	凸面鏡

鏡の種類と像の関係は次のとおりです。

鏡	物体の位置	像の種類	向き	大きさ
平面鏡	どこでも	虚像	正立	物体と同じ
凹面鏡	焦点より外側	実像	倒立	位置によって変わる
凹面鏡	焦点より内側	虚像	正立	物体より大きい
凸面鏡	どこでも	虚像	正立	物体より小さい

分かれ目は次の 3 つ。

光を集めるのは凹面鏡。レンズでは凸レンズが光を集めたが、鏡では凹面のほうである
実像は鏡の前方、虚像は鏡の後方。レンズとは前後が逆になる
凸面鏡の焦点距離は負の値として公式に入れる。凹レンズと同じ扱いである

1. 平面鏡

根拠: 学習指導要領物理-(2)-ア-(ウ)-㋐

物体の 1 点から出て平面鏡で反射した光は、鏡の向こう側の 1 点から出たかのように広がって進みます。目は、その点に物体があるように受けとります。

平面鏡がつくる像は、どこに、どんな像としてできるか？

鏡の面に対して物体と対称な位置（鏡の後方で、鏡からの距離が物体と等しいところ）に、物体と同じ大きさの正立の虚像ができる

光が実際に鏡の後方へ進むわけではないので、虚像である。反射の法則（入射角と反射角が等しい）から導かれる。

2. 球面鏡の焦点

根拠: 学習指導要領物理-(2)-ア-(ウ)-㋐

球面の一部を反射面にした鏡を球面鏡といいます。球面の中心（球心）と鏡の面の中心を結ぶ直線が光軸です。

凹面鏡と凸面鏡は、形と、光に対するはたらきがどう違うか？

凹面鏡は球面の内側が反射面で、光軸に平行な光を集める。凸面鏡は球面の外側が反射面で、光軸に平行な光を広げる

物体のある側から見て、面がへこんでいるのが凹面鏡、ふくらんでいるのが凸面鏡である。

凹面鏡の焦点と、凸面鏡の焦点は、それぞれどんな点か？

凹面鏡の焦点は、光軸に平行な光が反射したあとに集まる、鏡の前方の点。凸面鏡の焦点は、光軸に平行な光が反射したあと、そこから出たかのように広がっていく、鏡の後方の点

凸面鏡の焦点には、光は実際には集まらない。凹レンズの焦点と同じ考え方である。

球面鏡の焦点距離 $f$ の大きさは、球面の半径 $R$ とどんな関係にあるか？

$f = \frac{R}{2}$ （焦点は、球心と鏡の面の中心とのちょうど中間にある）

光軸の近くを通る光について成り立つ。凸面鏡では、写像公式に入れるときに負の符号を付けて $- \frac{R}{2}$ とする。

3. 代表的な光線の進み方

根拠: 学習指導要領物理-(2)-ア-(ウ)-㋐

レンズと同じように、反射したあとの進み方がすぐ分かる光線があります。このうち 2 本を追えば、像の位置が決まります。

凹面鏡で、反射後の進み方がすぐ分かる 3 本の光線とは？

①光軸に平行に進んできた光線は、反射後に焦点を通る　②焦点を通ってきた光線は、反射後に光軸に平行に進む　③球心を通ってきた光線は、反射後にもとの道を逆向きに戻る

③は、球心を通る直線が球面に垂直に当たる（入射角が $0^{\circ}$ になる）ためである。

凸面鏡で、反射後の進み方がすぐ分かる 3 本の光線とは？

①光軸に平行に進んできた光線は、鏡の後方の焦点から出たかのように反射する　②鏡の後方の焦点に向かって進んできた光線は、反射後に光軸に平行に進む　③鏡の後方の球心に向かって進んできた光線は、反射後にもとの道を逆向きに戻る

凸面鏡では焦点も球心も鏡の後方にあるので、光線は実際にはそこを通らない。

4. 写像公式と符号の約束

根拠: 学習指導要領物理-(2)-ア-(ウ)-㋐

球面鏡でも、レンズと同じ形の式が成り立ちます。違うのは、どちら側の像を正とするかです。

球面鏡の写像公式と、像の倍率の式は？（物体から鏡までの距離 $a$ 、鏡から像までの距離 $b$ 、焦点距離 $f$ ）

写像公式は $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}$ 。倍率は $\frac{b}{a}$

どちらもレンズの式と同じ形である。 $b$ を求めるときは、 $\frac{1}{b} = \frac{1}{f} - \frac{1}{a}$ を計算してから逆数をとる。

球面鏡の写像公式で、 $b$ と $f$ の符号はどう約束するか？

$b$ は、像が鏡の前方にできる実像なら正、後方にできる虚像なら負。 $f$ は、凹面鏡なら正、凸面鏡なら負

計算の結果 $b$ が正なら倒立の実像、負なら正立の虚像と読みとる。

実像ができる側は、レンズと鏡でどう違うか？

レンズでは、物体と反対側（後方）にできる。鏡では、物体と同じ側（前方）にできる

実像は光が実際に集まるところにできる。レンズでは光が通りぬけた先に、鏡では光が折り返した先に集まる。

5. 物体の位置と像

根拠: 学習指導要領物理-(2)-ア-(ウ)-㋐

凹面鏡は凸レンズと、凸面鏡は凹レンズと、像のでき方がよく似ています。

凹面鏡の前方に物体を置くとき、焦点の外側と内側とで、像はどう違うか？

焦点の外側なら、鏡の前方に倒立の実像ができる。焦点の内側なら、鏡の後方に正立で物体より大きい虚像ができる

境目が焦点であることは、凸レンズと同じ。顔を近づけて使う拡大鏡は、焦点の内側での虚像を利用している。

凸面鏡の前方に物体を置くと、どんな像ができるか。この性質は何に利用されているか？

物体をどこに置いても、鏡の後方に、正立で物体より小さい虚像ができる。広い範囲が小さく映るので、道路のカーブミラーなどに利用されている

写像公式で $f$ が負なので、 $\frac{1}{b} = \frac{1}{f} - \frac{1}{a}$ は負にしかならない。

練習問題

根拠: 学習指導要領物理-(2)-ア-(ウ)-㋐

符号の約束は、冒頭の表のとおりとします。

問 1　球面の半径が $40 cm$ の凹面鏡がある。この鏡の前方 $60 cm$ の光軸上に、物体を置いた。(1) 焦点距離を求めよ。(2) 像ができる位置と、像の種類を答えよ。(3) 倍率を求めよ。

(1) $20 cm$ 　(2) 鏡の前方 $30 cm$ に、倒立の実像　(3) $0.50$ 倍

方針　まず $f = \frac{R}{2}$ で焦点距離を求める。凹面鏡なので $f$ は正。写像公式に $a$ と $f$ を入れて $b$ を求め、符号から像の種類を読みとる。

(1) 焦点距離は球面の半径の半分なので、 $\frac{40}{2} = 20 cm$
写像公式を $\frac{1}{b}$ について解くと、 $\frac{1}{b} = \frac{1}{f} - \frac{1}{a}$
$f = 20 cm$ 、 $a = 60 cm$ を入れると、右辺は $\frac{1}{20} - \frac{1}{60} = \frac{3}{60} - \frac{1}{60} = \frac{2}{60} = \frac{1}{30}$
逆数をとって $b = 30 cm$ 。(2) 正なので、鏡の前方 $30 cm$ に倒立の実像ができる。
(3) 倍率は $\frac{b}{a}$ 。値を入れると、 $\frac{30}{60} = 0.50$ 倍

ここで間違えやすい　球面の半径 $40 cm$ を、そのまま焦点距離として公式に入れてしまうこと。

問 2　焦点距離 $20 cm$ の凹面鏡の前方 $10 cm$ の光軸上に、物体を置いた。(1) 像ができる位置と、像の種類を答えよ。(2) 倍率を求めよ。

(1) 鏡の後方 $20 cm$ に、正立の虚像　(2) $2.0$ 倍

方針　物体が焦点の内側にあるので、虚像ができるはずである。写像公式にそのまま値を入れると、 $b$ が負になって出てくる。

写像公式から、 $\frac{1}{b} = \frac{1}{f} - \frac{1}{a}$
$f = 20 cm$ 、 $a = 10 cm$ を入れると、右辺は $\frac{1}{20} - \frac{1}{10} = \frac{1}{20} - \frac{2}{20} = - \frac{1}{20}$
逆数をとって $b = - 20 cm$ 。(1) 負なので、鏡の後方 $20 cm$ に正立の虚像ができる。
(2) 倍率は $\frac{b}{a}$ 。値を入れると、 $\frac{20}{10} = 2.0$ 倍

ここで間違えやすい　 $b$ が負のとき、像を鏡の「前方」と答えてしまうこと。鏡では、負の $b$ は鏡の後方（裏側）を表す。レンズとは前後が逆である。

問 3　球面の半径が $60 cm$ の凸面鏡がある。この鏡の前方 $30 cm$ の光軸上に、物体を置いた。(1) 像ができる位置と、像の種類を答えよ。(2) 倍率を求めよ。

(1) 鏡の後方 $15 cm$ に、正立の虚像　(2) $0.50$ 倍

方針　焦点距離の大きさは半径の半分で、凸面鏡なので負の符号を付ける。あとは凹面鏡と同じ手順である。

焦点距離の大きさは $\frac{60}{2} = 30 cm$ 。凸面鏡なので $f = - 30 cm$
写像公式から、 $\frac{1}{b} = \frac{1}{f} - \frac{1}{a}$
$f = - 30 cm$ 、 $a = 30 cm$ を入れると、右辺は $- \frac{1}{30} - \frac{1}{30} = - \frac{2}{30} = - \frac{1}{15}$
逆数をとって $b = - 15 cm$ 。(1) 負なので、鏡の後方 $15 cm$ に正立の虚像ができる。
(2) 倍率は $\frac{b}{a}$ 。値を入れると、 $\frac{15}{30} = 0.50$ 倍

ここで間違えやすい　焦点距離を正の $30 cm$ のまま入れてしまうこと。そうすると $\frac{1}{b} = \frac{1}{30} - \frac{1}{30} = 0$ となって、像が求まらなくなる。