レンズ

(1) レンズの後方 $60\mathrm{cm}$　(2) 倒立の実像　(3) $2.0$ 倍

方針　写像公式に $a=30\mathrm{cm}$、$f=20\mathrm{cm}$（凸レンズなので正）を入れて $b$ を求める。$b$ の符号から像の種類が分かる。

1. 写像公式を $\frac{1}{b}$ について解くと、$\frac{1}{b}=\frac{1}{f}-\frac{1}{a}$
2. 値を入れると、右辺は $\frac{1}{20}-\frac{1}{30}=\frac{3}{60}-\frac{2}{60}=\frac{1}{60}$
3. 逆数をとって $b=60\mathrm{cm}$。(1) 正なので、像はレンズの後方 $60\mathrm{cm}$ にできる。
4. (2) $b$ が正なので、倒立の実像。
5. (3) 倍率は $\left|\frac{b}{a}\right|$。値を入れると、$\frac{60}{30}=2.0$ 倍

ここで間違えやすい　$\frac{1}{b}=\frac{1}{60}$ を求めたところで止まり、$b=\frac{1}{60}$ と答えてしまうこと。最後に逆数をとる。

(1) レンズの前方 $30\mathrm{cm}$　(2) 正立の虚像　(3) $2.5$ 倍

方針　物体が焦点の内側にあるので、虚像ができるはずである。写像公式にそのまま値を入れると、$b$ が負になって出てくる。

1. 写像公式から、$\frac{1}{b}=\frac{1}{f}-\frac{1}{a}$
2. 値を入れると、右辺は $\frac{1}{20}-\frac{1}{12}=\frac{3}{60}-\frac{5}{60}=-\frac{2}{60}=-\frac{1}{30}$
3. 逆数をとって $b=-30\mathrm{cm}$。(1) 負なので、像はレンズの前方（物体と同じ側）$30\mathrm{cm}$ にできる。
4. (2) $b$ が負なので、正立の虚像。
5. (3) 倍率は $\left|\frac{b}{a}\right|$。値を入れると、$\frac{30}{12}=2.5$ 倍

ここで間違えやすい　$b$ が負になったのを計算の誤りと考えて、符号を勝手に正に直してしまうこと。負は「虚像」を表している。

(1) レンズの前方 $12\mathrm{cm}$　(2) 正立の虚像　(3) $0.40$ 倍

方針　凹レンズなので、焦点距離を負の値 $f=-20\mathrm{cm}$ として写像公式に入れる。あとは凸レンズと同じ手順である。

1. 写像公式から、$\frac{1}{b}=\frac{1}{f}-\frac{1}{a}$
2. $f=-20\mathrm{cm}$、$a=30\mathrm{cm}$ を入れると、右辺は $-\frac{1}{20}-\frac{1}{30}=-\frac{3}{60}-\frac{2}{60}=-\frac{5}{60}=-\frac{1}{12}$
3. 逆数をとって $b=-12\mathrm{cm}$。(1) 負なので、像はレンズの前方 $12\mathrm{cm}$ にできる。
4. (2) $b$ が負なので、正立の虚像。
5. (3) 倍率は $\left|\frac{b}{a}\right|$。値を入れると、$\frac{12}{30}=0.40$ 倍

ここで間違えやすい　焦点距離を正の $20\mathrm{cm}$ のまま入れてしまうこと。そうすると問 1 と同じ式になり、凸レンズの答え（後方 $60\mathrm{cm}$ の実像）が出てしまう。

(1) $10\mathrm{cm}$　(2) $4.0\mathrm{cm}$

方針　スクリーンに映ったので実像であり、$b=30\mathrm{cm}$（正）である。写像公式に $a$ と $b$ を入れれば $f$ が求まる。像の高さは、物体の高さに倍率を掛ける。

1. $a=15\mathrm{cm}$、$b=30\mathrm{cm}$ を写像公式の左辺に入れると、$\frac{1}{15}+\frac{1}{30}=\frac{2}{30}+\frac{1}{30}=\frac{3}{30}=\frac{1}{10}$
2. これが $\frac{1}{f}$ に等しいので、(1) $f=10\mathrm{cm}$
3. 倍率は $\left|\frac{b}{a}\right|$。値を入れると、$\frac{30}{15}=2.0$ 倍
4. (2) 像の高さは、物体の高さの $2.0$ 倍なので、$2.0\times 2.0=4.0\mathrm{cm}$
5. 確かめ。物体の位置 $15\mathrm{cm}$ は、焦点距離 $10\mathrm{cm}$ とその 2 倍の $20\mathrm{cm}$ との間にある。倒立で拡大の実像ができる位置であり、結果と合う。

(1) $30\mathrm{cm}$　(2) $20\mathrm{cm}$

方針　分からない量は $a$ と $b$ の 2 つ。条件も「$a$ と $b$ の和が $90\mathrm{cm}$」と「倍率が $2.0$」の 2 つあるので、連立して求める。そのあと写像公式で $f$ を出す。

1. スクリーンに映ったので実像で、$b$ は正。物体とスクリーンの間にレンズがあるので、$a+b=90$
2. 倍率が $2.0$ なので $\frac{b}{a}=2.0$。つまり $b=2a$
3. 1 の式に入れると $a+2a=90$、つまり $3a=90$。したがって、(1) $\frac{90}{3}=30\mathrm{cm}$
4. $b=2a$ から、像までの距離は $2\times 30=60\mathrm{cm}$
5. 写像公式の左辺に入れると、$\frac{1}{30}+\frac{1}{60}=\frac{2}{60}+\frac{1}{60}=\frac{3}{60}=\frac{1}{20}$
6. これが $\frac{1}{f}$ に等しいので、(2) $f=20\mathrm{cm}$

ここで間違えやすい　$90\mathrm{cm}$ をそのまま $a$ や $b$ として公式に入れてしまうこと。$90\mathrm{cm}$ は物体から像までの距離で、$a$ と $b$ の和である。