ヤングの実験｜高校物理 — みならいノート

学習指導要領物理 (2) ア (ｳ) ㋑「光の回折と干渉に関する実験などを行い，光の回折と干渉を光波の性質と関連付けて理解すること。」。

0. どういうまとまりか

2 つの波源から出た波が重なると、強め合うところと弱め合うところができます（「07 波の伝わり方」の水面波の干渉）。
ヤングの実験は、これを光でやってみせた実験です。近接した 2 本のスリットを通った光が、スクリーンに明暗のしま模様（干渉じま）をつくります。
水面波と同じ条件式が使え、違うのは、光の波長がとても短いので経路差を近似で求めるところです。

スリットの間隔を $d$ 、スリットからスクリーンまでの距離を $L$ 、光の波長を $λ$ 、スクリーンの中央から測った位置を $x$ とします（ $m = 0, 1, 2, \dots$ ）。

	条件	スクリーン上の位置
経路差	$\frac{d x}{L}$
明線（強め合う）	$\frac{d x}{L} = mλ$	$x = \frac{m L λ}{d}$
暗線（弱め合う）	$\frac{d x}{L} = (m + \frac{1}{2}) λ$	$x = (m + \frac{1}{2}) \frac{L λ}{d}$
隣り合う明線の間隔		$Δ x = \frac{L λ}{d}$

分かれ目は次の 3 つ。

経路差が波長の整数倍なら明線、半波長ずれていれば暗線。水面波の干渉と同じ条件である
明線の間隔は、波長 $λ$ と距離 $L$ に比例し、スリットの間隔 $d$ に反比例する。 $d$ を広げると、しまは細かくなる
長さの単位を m にそろえてから式に入れる。 $d$ は mm、 $λ$ は $1 0^{- 7} m$ の桁、 $L$ は m と、桁がばらばらに与えられる

1. 実験のしくみ

根拠: 学習指導要領物理-(2)-ア-(ウ)-㋑

光源の光を、まず 1 本のスリット（単スリット）に通し、次に近接した 2 本のスリット（複スリット）に通して、その先のスクリーンで観察します。

ヤングの実験で、スクリーンに明暗のしま模様ができるのはなぜか？

2 本のスリットを通った光がそれぞれ回折して広がり、スクリーン上で重なって干渉するから

2 本のスリットが、同じ振動をする 2 つの波源の役目をする。経路差によって、強め合うところ（明線）と弱め合うところ（暗線）が交互に並ぶ。

ヤングの実験で、複スリットの手前に単スリットを置くのは何のためか？

単スリットで回折した 1 つの光を 2 本のスリットに当てることで、2 本のスリットを通る光の振動をそろえる（同位相にする）ため

別々の光源から出た光どうしは、振動のそろい方がたえず変わるので、安定した干渉じまをつくらない。レーザー光は振動がよくそろっているので、単スリットが無くても干渉じまが見える。

ヤングの実験は、光についてどんなことを示したか？

光が波であること

干渉と回折は、波に特有の現象である。光が干渉じまをつくることが、光の波動性の証拠になった。

2. 経路差の求め方

根拠: 学習指導要領物理-(2)-ア-(ウ)-㋑

スクリーン上の点 P が明るいか暗いかは、2 本のスリットから P までの距離の差（経路差）で決まります。この差は光の波長と同じくらいの小さな長さなので、近似を使って求めます。

ヤングの実験で、スクリーンの中央から $x$ の位置の点までの、2 本のスリットからの経路差は？（スリットの間隔 $d$ 、スリットからスクリーンまでの距離 $L$ ）

$\frac{d x}{L}$

$d$ と $x$ が $L$ に比べて十分小さいときに成り立つ近似式である。実験では $L$ が 1 m 程度、 $d$ と $x$ が mm 程度なので、この条件を満たす。

ヤングの実験の経路差 $\frac{d x}{L}$ は、どんな近似から出てくるか？

スリットから点 P へ向かう方向が光軸となす角を $θ$ とすると、経路差は $d sin θ$ 。 $θ$ が小さいので $sin θ$ を $tan θ = \frac{x}{L}$ で置きかえる

2 本のスリットから遠くの点 P へ向かう 2 本の光線は、ほぼ平行とみなせる。その 2 本の進む距離の差が $d sin θ$ である。

3. 明線と暗線の条件

根拠: 学習指導要領物理-(2)-ア-(ウ)-㋑

2 本のスリットを通る光は同位相なので、水面波の 2 つの波源が同位相のときと同じ条件になります。

ヤングの実験で、スクリーン上に明線ができる条件と、暗線ができる条件は？（ $m = 0, 1, 2, \dots$ ）

明線は $\frac{d x}{L} = mλ$ （経路差が波長の整数倍）。暗線は $\frac{d x}{L} = (m + \frac{1}{2}) λ$ （経路差が波長の整数倍から半波長ずれる）

山と山が重なれば強め合い、山と谷が重なれば弱め合う。

ヤングの実験で、スクリーンの中央（2 本のスリットから等しい距離の点）は、明線か暗線か？

明線（ $m = 0$ の明線）

経路差が 0 なので、2 つの光はいつも同位相で重なり、強め合う。この明線を中心に、両側に対称に明線と暗線が並ぶ。

ヤングの実験で、中央から $m$ 番目の明線の位置 $x$ は？（中央の明線を $m = 0$ とする）

$x = \frac{m L λ}{d}$

明線の条件 $\frac{d x}{L} = mλ$ を $x$ について解いた式。暗線は、隣り合う明線のちょうど中間にできる。

4. 明線の間隔

根拠: 学習指導要領物理-(2)-ア-(ウ)-㋑

明線の位置の式で $m$ が 1 増えると、 $x$ は決まった長さだけ増えます。つまり、明線は等しい間隔で並びます。この間隔を測れば、光の波長が求められます。

ヤングの実験で、隣り合う明線の間隔 $Δ x$ は？

$Δ x = \frac{L λ}{d}$

隣り合う暗線の間隔も同じ値である。 $Δ x$ 、 $L$ 、 $d$ を測れば、 $λ = \frac{d Δ x}{L}$ から光の波長が分かる。

ヤングの実験で、①光の波長を長くする　②スリットの間隔を広げる　③スクリーンを遠ざける　と、明線の間隔はそれぞれどうなるか？

①広がる　②せまくなる　③広がる

$Δ x = \frac{L λ}{d}$ で、 $λ$ と $L$ は分子に、 $d$ は分母にある。赤い光は青い光より波長が長いので、同じ装置なら赤い光のほうがしまの間隔が広い。

ヤングの実験の装置全体を、屈折率 $n$ の液体の中に入れると、明線の間隔はどうなるか？

$\frac{1}{n}$ 倍になる（せまくなる）

液体の中では光の波長が $\frac{λ}{n}$ になるので、 $Δ x = \frac{L λ}{n d}$ となる。

ヤングの実験を白色光で行うと、スクリーンにはどんな模様が見えるか？

中央の明線は白く、その両側の明線は色づいて見える。色づいた明線は、中央に近い側が紫、遠い側が赤になる

中央は、どの波長の光も経路差 0 で強め合うので白い。それ以外の明線の位置 $x = \frac{m L λ}{d}$ は波長に比例するので、波長の短い紫ほど中央の近くにできる。

練習問題

根拠: 学習指導要領物理-(2)-ア-(ウ)-㋑

問 1　間隔 $0.20 mm$ の複スリットに、波長 $6.0 \times 1 0^{- 7} m$ の単色光を当て、スリットから $1.0 m$ 離れたスクリーンで干渉じまを観察した。隣り合う明線の間隔は何 mm か。

$3.0 mm$

方針　明線の間隔の式 $Δ x = \frac{L λ}{d}$ を使う。式に入れる前に、スリットの間隔を m に直しておく。

$1 mm$ は $1 0^{- 3} m$ なので、 $d$ は $0.20 \times 1 0^{- 3} = 2.0 \times 1 0^{- 4} m$
$Δ x = \frac{L λ}{d}$ に値を入れると、 $\frac{1.0 \times 6.0 \times 1 0 ^{- 7}}{2.0 \times 1 0 ^{- 4}} = 3.0 \times 1 0^{- 3} m$
mm に直すと、 $3.0 mm$

ここで間違えやすい　 $d$ を $0.20$ のまま入れてしまうこと。 $λ$ と $L$ が m なので、 $d$ も m にそろえる。

問 2　間隔 $0.30 mm$ の複スリットに単色光を当て、スリットから $1.5 m$ 離れたスクリーンで干渉じまを観察したところ、隣り合う明線の間隔は $2.5 mm$ であった。この光の波長を求めよ。

$5.0 \times 1 0^{- 7} m$

方針　 $Δ x = \frac{L λ}{d}$ を波長について解いた $λ = \frac{d Δ x}{L}$ を使う。 $d$ と $Δ x$ の両方を m に直す。

$d$ は $0.30 \times 1 0^{- 3} = 3.0 \times 1 0^{- 4} m$ 、 $Δ x$ は $2.5 \times 1 0^{- 3} m$
$Δ x = \frac{L λ}{d}$ の両辺に $\frac{d}{L}$ を掛けると、 $λ = \frac{d Δ x}{L}$
値を入れると、 $\frac{3.0 \times 1 0 ^{- 4} \times 2.5 \times 1 0 ^{- 3}}{1.5} = 5.0 \times 1 0^{- 7} m$
可視光線の波長の範囲（ $3.8 \times 1 0^{- 7} m$ から $7.7 \times 1 0^{- 7} m$ ）に入っている。

問 3　間隔 $0.50 mm$ の複スリットに、波長 $5.0 \times 1 0^{- 7} m$ の単色光を当て、スリットから $2.0 m$ 離れたスクリーンで干渉じまを観察した。中央の明線を 0 番目として、(1) 3 番目の明線は、中央から何 mm の位置にできるか。(2) 中央の明線に最も近い暗線は、中央から何 mm の位置にできるか。

(1) $6.0 mm$ 　(2) $1.0 mm$

方針　まず明線の間隔 $Δ x = \frac{L λ}{d}$ を求める。 $m$ 番目の明線は中央から $m Δ x$ の位置、中央に最も近い暗線は中央の明線と 1 番目の明線の中間、つまり $\frac{1}{2} Δ x$ の位置にある。

$d$ は $0.50 \times 1 0^{- 3} = 5.0 \times 1 0^{- 4} m$
$Δ x = \frac{L λ}{d}$ に値を入れると、 $\frac{2.0 \times 5.0 \times 1 0 ^{- 7}}{5.0 \times 1 0 ^{- 4}} = 2.0 \times 1 0^{- 3} m$ 。つまり $2.0 mm$
(1) 3 番目の明線は、中央から間隔 3 つぶん離れている。 $3 \times 2.0 = 6.0 mm$
(2) 中央に最も近い暗線は、暗線の条件で $m = 0$ としたもの。位置は間隔の半分なので、 $\frac{1}{2} \times 2.0 = 1.0 mm$

ここで間違えやすい　(2) で、最も近い暗線を「1 番目」と考えて $m = 1$ を入れてしまうこと。暗線の条件 $(m + \frac{1}{2}) λ$ は $m = 0$ から始まる。

問 4　ある複スリットと単色光でヤングの実験を行ったところ、隣り合う明線の間隔は $3.0 mm$ であった。次のように条件を 1 つだけ変えると、明線の間隔は何 mm になるか。(1) スリットの間隔を 2 倍にする。(2) スリットからスクリーンまでの距離を 1.5 倍にする。(3) 装置全体を屈折率 $1.5$ の液体の中に入れる。

(1) $1.5 mm$ 　(2) $4.5 mm$ 　(3) $2.0 mm$

方針　 $Δ x = \frac{L λ}{d}$ で、変えた量が分子にあるか分母にあるかを見る。分子の量を何倍かにすれば間隔も同じ倍になり、分母の量を何倍かにすれば間隔はその逆数倍になる。

(1) $d$ は分母にある。 $d$ を 2 倍にすると、間隔は $\frac{1}{2}$ 倍。 $\frac{3.0}{2} = 1.5 mm$
(2) $L$ は分子にある。 $L$ を 1.5 倍にすると、間隔も 1.5 倍。 $3.0 \times 1.5 = 4.5 mm$
(3) 屈折率 $1.5$ の液体の中では、波長が $\frac{1}{1.5}$ 倍になる。 $λ$ は分子にあるので、間隔も $\frac{1}{1.5}$ 倍。 $\frac{3.0}{1.5} = 2.0 mm$

ここで間違えやすい　(1) で「スリットの間隔を広げたのだから、しまの間隔も広がる」と考えてしまうこと。スリットの間隔としまの間隔は、反比例の関係にある。

問 5　ヤングの実験で、スクリーン上の点 P までの、2 本のスリットからの経路差が $1.5 \times 1 0^{- 6} m$ であった。(1) 波長 $6.0 \times 1 0^{- 7} m$ の光を使うと、点 P は明線になるか、暗線になるか。(2) 波長 $5.0 \times 1 0^{- 7} m$ の光を使うと、点 P は明線になるか、暗線になるか。

(1) 暗線　(2) 明線

方針　経路差が波長の何倍にあたるかを計算する。整数倍なら明線、整数に $\frac{1}{2}$ を加えた倍なら暗線である。

(1) 経路差を波長で割ると、 $\frac{1.5 \times 1 0 ^{- 6}}{6.0 \times 1 0 ^{- 7}} = 2.5$
$2.5$ は $2 + \frac{1}{2}$ なので、暗線の条件で $m = 2$ としたものにあたる。点 P は暗線。
(2) 経路差を波長で割ると、 $\frac{1.5 \times 1 0 ^{- 6}}{5.0 \times 1 0 ^{- 7}} = 3.0$
$3.0$ は整数なので、明線の条件で $m = 3$ としたものにあたる。点 P は明線。
同じ点でも、光の波長が変われば明暗が変わる。白色光で明線が色づくのは、このためである。