回折格子｜高校物理 — みならいノート

学習指導要領物理 (2) ア (ｳ) ㋑「光の回折と干渉に関する実験などを行い，光の回折と干渉を光波の性質と関連付けて理解すること。」。

0. どういうまとまりか

回折格子は、ガラス板などに細いすじを等しい間隔でたくさん刻んだものです。すじとすじの間がスリットの役目をします。
ヤングの実験のスリットを 2 本から多数に増やしたもので、考え方は同じです。
スリットが多いぶん、明線が鋭く明るくなり、スリットの間隔がとても小さいぶん、明線が大きな角度の方向に現れます。
そのため、ヤングの実験で使った「角が小さい」という近似は使わず、角 $θ$ のまま式にします。

格子定数（隣り合うスリットの間隔）を $d$ 、光の波長を $λ$ 、入射した光の進む向きから測った角を $θ$ とします（ $m = 0, 1, 2, \dots$ ）。

	ヤングの実験	回折格子
スリットの数	2 本	多数
明線の条件	$\frac{d x}{L} = mλ$	$d sin θ = mλ$
明線のようす	幅があり、ぼんやりしている	鋭く、明るい
白色光を当てたとき	明線のふちが色づく	色がはっきり分かれたスペクトルになる

分かれ目は次の 3 つ。

格子定数は、長さを本数で割って求める。「 $1 mm$ あたり 500 本」なら、 $1 mm$ を 500 で割る
波長が長いほど、大きな角度の方向に明線ができる。赤が外側、紫が内側で、プリズムとは順が逆になる
$sin θ$ は 1 を超えないので、明線の次数には上限がある

1. 回折格子と格子定数

根拠: 学習指導要領物理-(2)-ア-(ウ)-㋑

回折格子の性質は、隣り合うスリットの間隔 1 つで決まります。

回折格子とは、どんなものか？

ガラス板などに、多数の細いすじを等しい間隔で平行に刻んだもの。すじとすじの間の透明な部分が、スリットの役目をする

$1 cm$ あたり数百本から数千本のすじがある。光を波長ごとに分ける道具として使われる。

回折格子の格子定数とは何か。「長さ $l$ あたり $N$ 本」のすじがあるとき、格子定数 $d$ は？

隣り合うスリットの間隔のこと。 $d = \frac{l}{N}$

本数が多いほど、格子定数は小さい。式に入れる前に、長さの単位を m にそろえておく。

2. 明線の条件

根拠: 学習指導要領物理-(2)-ア-(ウ)-㋑

回折格子に垂直に光を当てると、それぞれのスリットで回折した光が、いろいろな方向へ進みます。そのうち、すべてのスリットからの光が強め合う方向にだけ、明線が現れます。

回折格子に垂直に入射した光のうち、入射方向と角 $θ$ をなす方向へ進む光について、隣り合うスリットを通った光どうしの経路差は？

$d sin θ$

遠くのスクリーンへ向かう光線は、どのスリットからのものも平行とみなせる。隣り合う 2 本の平行な光線の、進む距離の差である。

回折格子で明線ができる条件は？（ $m = 0, 1, 2, \dots$ ）

$d sin θ = mλ$

隣り合うスリットからの光の経路差が波長の整数倍なら、すべてのスリットからの光が同位相で重なって強め合う。 $m$ を明線の次数という。

回折格子の $m = 0$ の明線は、どの方向にできるか？

入射した光がそのまま直進する方向（ $θ = 0^{\circ}$ ）

経路差が 0 なので、波長によらず強め合う。 $m = 1, 2, \dots$ の明線は、この方向をはさんで両側に対称に現れる。

回折格子の明線は、ヤングの実験（スリット 2 本）の明線と比べて、どんな特徴があるか？

鋭く（幅がせまく）、明るい

スリットが多数あるので、条件 $d sin θ = mλ$ から少しでもずれた方向では、多数の光がたがいに打ち消し合う。条件に合う方向では、多数の光が強め合う。

3. 波長と明線の方向

根拠: 学習指導要領物理-(2)-ア-(ウ)-㋑

明線の条件の式には波長が入っています。したがって、波長が違えば、明線の現れる方向も違います。回折格子は、この性質を使って光を波長ごとに分けます。

回折格子で、同じ次数の明線（ $m$ は 1 以上）の方向の角 $θ$ は、波長の長い光と短い光とで、どちらが大きいか？

波長の長い光のほうが大きい

$sin θ = \frac{mλ}{d}$ で、 $λ$ が大きいほど $sin θ$ が大きい。赤い光は紫の光より、大きな角度の方向に明線をつくる。

回折格子に白色光を垂直に当てると、どんな模様が見えるか？

$m = 0$ の明線は白い。 $m$ が 1 以上の明線は、それぞれ色が分かれたスペクトルになり、中央に近い側が紫、遠い側が赤になる

回折格子は、光のスペクトルを観察する道具（分光器）に使われる。

白色光を色に分けるとき、進む向きが最も大きく変わる色は、プリズムと回折格子とでどう違うか？

プリズムでは紫（波長が短いほど屈折率が大きい）。回折格子では赤（波長が長いほど $sin θ$ が大きい）

色の並ぶ順が逆になる。プリズムは屈折、回折格子は回折と干渉という、別のしくみで光を分けているからである。

CD や DVD の表面が色づいて見えるのはなぜか？

表面に細かいすじが等しい間隔で並んでいて、反射した光に対して回折格子の役目をするから

反射した光が、波長ごとに違う方向で強め合う。見る角度を変えると色が変わるのは、このためである。

4. 次数の上限とスクリーン上の位置

根拠: 学習指導要領物理-(2)-ア-(ウ)-㋑

明線の次数 $m$ は、いくらでも大きくできるわけではありません。また、スクリーン上の位置は、角 $θ$ から求めます。

回折格子の明線の次数 $m$ に上限があるのはなぜか。上限はどう決まるか？

$sin θ$ が 1 より小さいから。 $\frac{mλ}{d} < 1$ 、つまり $m < \frac{d}{λ}$ を満たす整数 $m$ までしか明線はできない

$θ$ は $9 0^{\circ}$ より小さい。格子定数 $d$ が波長 $λ$ の何倍かを計算し、それより小さい最大の整数が上限になる。

回折格子から距離 $L$ 離れたスクリーン上で、角 $θ$ の方向の明線は、中央からどれだけ離れた位置にできるか。ヤングの実験と同じ形の式 $x = \frac{m L λ}{d}$ が使えるのは、どんなときか？

位置は $x = L tan θ$ 。 $x = \frac{m L λ}{d}$ が使えるのは、 $θ$ が小さく $sin θ$ と $tan θ$ を等しいとみなせるときだけ

回折格子は $d$ が小さいので、 $θ$ が大きくなりやすい。問題文が $sin θ$ の値や角を与えているときは、 $d sin θ = mλ$ をそのまま使う。

練習問題

根拠: 学習指導要領物理-(2)-ア-(ウ)-㋑

問 1　 $1.0 mm$ あたり 500 本のすじがある回折格子の、格子定数を求めよ。

$2.0 \times 1 0^{- 6} m$

方針　格子定数は隣り合うスリットの間隔なので、長さを本数で割る。長さは先に m に直しておく。

$1.0 mm$ は $1.0 \times 1 0^{- 3} m$
この長さの中に 500 本のすじが等しい間隔で並んでいるので、 $d = \frac{l}{N}$
値を入れると、 $\frac{1.0 \times 1 0 ^{- 3}}{500} = 2.0 \times 1 0^{- 6} m$

ここで間違えやすい　本数の 500 をそのまま $d$ として使ってしまうこと。本数が多いほど、格子定数は小さくなる。

問 2　格子定数 $2.0 \times 1 0^{- 6} m$ の回折格子に、波長 $5.0 \times 1 0^{- 7} m$ の単色光を垂直に当てた。(1) 1 次の明線の方向の角を $θ_{1}$ として、 $sin θ_{1}$ の値を求めよ。(2) 2 次の明線は、入射方向から何度の方向にできるか。

(1) $0.25$ 　(2) $3 0^{\circ}$

方針　明線の条件 $d sin θ = mλ$ を $sin θ = \frac{mλ}{d}$ の形にして、 $m = 1$ と $m = 2$ を入れる。

明線の条件から、 $sin θ = \frac{mλ}{d}$
(1) $m = 1$ を入れると、 $\frac{1 \times 5.0 \times 1 0 ^{- 7}}{2.0 \times 1 0 ^{- 6}} = 0.25$
(2) $m = 2$ を入れると、 $\frac{2 \times 5.0 \times 1 0 ^{- 7}}{2.0 \times 1 0 ^{- 6}} = 0.50$
正弦が $0.50$ になる角は $3 0^{\circ}$ 。2 次の明線は、入射方向から $3 0^{\circ}$ の方向にできる。

ここで間違えやすい　1 次の角を 2 倍して 2 次の角にしてしまうこと。 $m$ に比例するのは $sin θ$ で、角 $θ$ そのものではない。

問 3　 $1.0 mm$ あたり 400 本のすじがある回折格子に、単色光を垂直に当てた。1 次の明線の方向の角を $θ$ とすると、 $sin θ = 0.24$ であった。(1) 格子定数を求めよ。(2) この光の波長を求めよ。

(1) $2.5 \times 1 0^{- 6} m$ 　(2) $6.0 \times 1 0^{- 7} m$

方針　格子定数を本数から求めたあと、明線の条件 $d sin θ = mλ$ に $m = 1$ を入れて、波長について解く。

(1) 格子定数は、長さを本数で割って、 $\frac{1.0 \times 1 0 ^{- 3}}{400} = 2.5 \times 1 0^{- 6} m$
(2) 明線の条件で $m = 1$ とすると、 $λ = d sin θ$
値を入れると、 $2.5 \times 1 0^{- 6} \times 0.24 = 6.0 \times 1 0^{- 7} m$

問 4　格子定数 $2.0 \times 1 0^{- 6} m$ の回折格子に、波長 $6.0 \times 1 0^{- 7} m$ の単色光を垂直に当てた。(1) 明線は、最大で何次のものまでできるか。(2) 明線は、全部で何本できるか。

(1) 3 次　(2) 7 本

方針　 $sin θ = \frac{mλ}{d}$ が 1 より小さくなる $m$ だけが実現する。 $\frac{d}{λ}$ を計算し、それより小さい最大の整数を求める。本数は、0 次の 1 本と、その両側に次数の数だけあることから数える。

$sin θ < 1$ なので、 $\frac{mλ}{d} < 1$ 。つまり $m < \frac{d}{λ}$
値を入れると、 $\frac{2.0 \times 1 0 ^{- 6}}{6.0 \times 1 0 ^{- 7}} ≒ 3.3$
(1) $m < 3.3$ を満たす最大の整数は 3。明線は 3 次までできる。
確かめ。 $m = 3$ では $sin θ$ は $\frac{3 \times 6.0 \times 1 0 ^{- 7}}{2.0 \times 1 0 ^{- 6}} = 0.90$ で 1 より小さい。 $m = 4$ では $\frac{4 \times 6.0 \times 1 0 ^{- 7}}{2.0 \times 1 0 ^{- 6}} = 1.2$ で 1 を超えるので、実現しない。
(2) 明線は、0 次が 1 本、1 次から 3 次までが両側に 3 本ずつ。 $1 + 3 \times 2 = 7$ 本

ここで間違えやすい　(2) で片側だけを数えて 4 本と答えてしまうこと。1 次以上の明線は、中央の両側に対称にできる。

問 5　格子定数 $2.0 \times 1 0^{- 6} m$ の回折格子に、白色光を垂直に当てた。白色光に含まれる光のうち、波長 $7.0 \times 1 0^{- 7} m$ の赤い光と、波長 $4.0 \times 1 0^{- 7} m$ の紫の光を考える。(1) 1 次の明線について、赤い光と紫の光それぞれの $sin θ$ の値を求めよ。(2) 1 次のスペクトルで、中央（0 次の明線）から遠い側にあるのは、赤と紫のどちらか。

(1) 赤は $0.35$ 、紫は $0.20$ 　(2) 赤

方針　 $sin θ = \frac{mλ}{d}$ に $m = 1$ と、それぞれの波長を入れる。 $0^{\circ}$ から $9 0^{\circ}$ の間では、正弦が大きいほど角も大きいので、 $sin θ$ の大小で方向を比べられる。

明線の条件で $m = 1$ とすると、 $sin θ = \frac{λ}{d}$
(1) 赤い光は、 $\frac{7.0 \times 1 0 ^{- 7}}{2.0 \times 1 0 ^{- 6}} = 0.35$
紫の光は、 $\frac{4.0 \times 1 0 ^{- 7}}{2.0 \times 1 0 ^{- 6}} = 0.20$
(2) $sin θ$ が大きい赤い光のほうが、角 $θ$ が大きい。中央から遠い側にあるのは赤である。

ここで間違えやすい　プリズムでは紫が最も大きく曲がることから、回折格子でも紫が外側だと考えてしまうこと。回折格子では、波長の長い赤が外側になる。