重心｜高校物理 — みならいノート

学習指導要領物理 (1) ア (ｱ) ㋒「大きさのある物体のつり合いに関する実験などを行い，剛体のつり合う条件を見いだして理解すること。」。

0. どういうまとまりか

剛体のつり合いでは、「重力は重心に 1 つの力として働く」として式を立てました。ここでは、その重心がどこにあるかを求めます。
重力は物体のあらゆる部分に働いています。それらを 1 つにまとめた合力の作用点が重心です。
重心の位置は、力のモーメントの考え方から、質量で重みをつけた位置の平均として求まります。
重心が分かると、物体が倒れるか倒れないかも判断できます。

場面	重心の位置
一様な棒	中点
一様な円板・長方形の板	中心（長方形では対角線の交点）
質量 $m_{1}$ 、 $m_{2}$ の 2 物体（位置 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ）	$x_{G} = \frac{m _{1} x _{1} + m _{2} x _{2}}{m _{1} + m _{2}}$ 。2 物体を結ぶ線分を、質量の逆比 $m_{2} : m_{1}$ に分ける点
いくつかの部分をつないだ物体	各部分を、その重心に質量が集まった点とみなして、上の式を使う
一部を切り抜いた板	「残り」と「切り抜いた部分」を合わせると元の板に戻る、として式を立てる

分かれ目は次の 3 つ。

重心は重いほうに寄る。2 物体の重心は、線分を質量の逆比に分ける。質量の比そのままではない
切り抜いた板は、引き算でなく足し算で考える。残りと切り抜いた部分を合わせた重心が、元の板の重心になる
倒れるかどうかは、重心を通る鉛直線が底面の内側を通るかで決まる

1. 重心とは

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(ア)-㋒

重心は「重力をそこに 1 つだけ描けば済む点」です。まず、その意味と、形から分かる場合を押さえます。

重心とは何か？

物体の各部分に働く重力を 1 つにまとめた合力の作用点

剛体の問題では、物体全体の重さが重心に 1 つの力として働くとして、力のつり合いと力のモーメントのつり合いの式を立ててよい。

物体を重心の位置で支えると、どうなるか？

どんな向きに置いても、回り出さずにつり合う

重力の合力の作用線が支点を通るので、支点のまわりの重力による力のモーメントが 0 になる。

一様な棒、一様な円板、一様な長方形の板の重心は、それぞれどこか？

棒は中点、円板は円の中心、長方形の板は対角線の交点

一様で、形に対称の中心があれば、重心はそこにある。一様な三角形の板では、3 本の中線の交点になる。

重心は、必ず物体の中（物質のあるところ）にあるか？

あるとは限らない

一様な輪の重心は輪の中心にあり、そこには物質が無い。L 字形に曲げた針金の重心も、針金の外にある。

物体の 1 点に糸を付けてつるし、静止させた。重心はどこにあるか？

糸を付けた点を通る鉛直線の上（糸の延長線上）

物体が受ける力は張力と重力の 2 つだけなので、2 力は同じ作用線上にある。別の点でもう一度つるして鉛直線を引くと、2 本の交点が重心である。

2. 2 つの物体の重心

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(ア)-㋒

重心の式は覚えるだけでなく、力のモーメントから出てくることを知っておくと、符号や分母を間違えません。

$x$ 軸上の位置 $x_{1}$ に質量 $m_{1}$ 、位置 $x_{2}$ に質量 $m_{2}$ の物体がある。2 物体全体の重心の位置 $x_{G}$ は？

$x_{G} = \frac{m _{1} x _{1} + m _{2} x _{2}}{m _{1} + m _{2}}$

位置に質量で重みをつけた平均である。質量が等しければ、ちょうど中点になる。

2 物体の重心は、2 物体を結ぶ線分をどんな比に分ける点か？

質量の逆比に分ける点。質量 $m_{1}$ の物体からの距離と、質量 $m_{2}$ の物体からの距離の比が $m_{2} : m_{1}$

重いほうに近い。例えば、質量が $1.0 kg$ と $2.0 kg$ で $0.90 m$ 離れていれば、重心は軽いほうから $0.60 m$ 、重いほうから $0.30 m$ の点である。

2 物体の重心の式 $x_{G} = \frac{m _{1} x _{1} + m _{2} x _{2}}{m _{1} + m _{2}}$ は、どんな考え方から出てくるか？

全体の重力が重心に働くとしたときの力のモーメントが、それぞれの重力の力のモーメントの和に等しい、という式から出てくる

原点のまわりで $(m_{1} + m_{2}) g x_{G} = m_{1} g x_{1} + m_{2} g x_{2}$ 。両辺を $(m_{1} + m_{2}) g$ で割ると重心の式になる。

物体が 3 つ以上あるとき、また平面上に散らばっているとき、重心はどう求めるか？

分子に $m_{3} x_{3}$ 、分母に $m_{3}$ を足していく。平面上では、 $x$ 座標と $y$ 座標を別々に同じ式で求める

$x_{G} = \frac{m _{1} x _{1} + m _{2} x _{2} + m _{3} x _{3}}{m _{1} + m _{2} + m _{3}}$ 、 $y_{G} = \frac{m _{1} y _{1} + m _{2} y _{2} + m _{3} y _{3}}{m _{1} + m _{2} + m _{3}}$ である。

3. つないだ物体と、切り抜いた板

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(ア)-㋒

大きさのある物体も、重心の分かっている部分に分ければ、2 物体の式がそのまま使えます。

重心の分かっている 2 つの部分をつないでできた物体の重心は、どう求めるか？

それぞれの部分を「その重心に全質量が集まった点」とみなして、2 物体の重心の式を使う

例えば、一様な棒 2 本をつないだ物体なら、それぞれの棒の中点に質量があるとして計算する。

一様な板の一部を切り抜いた。残りの部分の重心は、どう求めるか？

「残りの部分」と「切り抜いた部分」を合わせた重心が、元の板の重心になる、という式を立てて解く

残りの質量と重心の位置を $m_{1}$ 、 $x_{1}$ 、切り抜いた部分を $m_{2}$ 、 $x_{2}$ とし、元の板の重心を原点にすると、 $m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2} = 0$ 。一様な板では質量は面積に比例するので、質量の比は面積の比で置きかえる。残りの重心は、切り抜いた側と反対へずれる。

4. 倒れる・倒れない

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(ア)-㋒

家具の転倒のように、物体が倒れるかどうかは重心の位置で判断できます。

面の上に置いた物体が、倒れずにいられる条件は？

重心を通る鉛直線が、物体の底面（面と接して支えられている範囲）の内側を通ること

鉛直線が底面の外に出ると、底面の端を軸にして、重力の力のモーメントが物体を倒す向きに回す。重心が低く、底面が広いほど倒れにくい。

斜面の上に、一様な直方体が置いてある。斜面に沿った方向の底面の幅が $a$ 、高さが $b$ で、物体はすべらないとする。斜面の傾きの角 $θ$ を大きくしていくと、どこで倒れはじめるか？

$tan θ = \frac{a}{b}$ をこえると倒れる

重心は底面の中央の真上、高さ $\frac{b}{2}$ にある。重心を通る鉛直線が、底面の下側の端をちょうど通るのが $tan θ = \frac{a /2}{b /2}$ のときである。

斜面の傾きを大きくしていくとき、一様な直方体（底面の幅 $a$ 、高さ $b$ 、斜面との静止摩擦係数 $μ$ ）は、すべるのが先か、倒れるのが先か？

$μ < \frac{a}{b}$ ならすべるのが先、 $μ > \frac{a}{b}$ なら倒れるのが先

すべりだすのは $tan θ = μ$ をこえたとき、倒れるのは $tan θ = \frac{a}{b}$ をこえたとき。小さいほうの値に先に届く。

練習問題

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(ア)-㋒

問 1　 $x$ 軸上の原点に質量 $2.0 kg$ の小球を、 $x = 1.0 m$ の点に質量 $3.0 kg$ の小球を置き、軽い棒でつないだ。全体の重心の位置を求めよ。

$x = 0.60 m$

方針　2 物体の重心の式に、位置と質量を入れる。軽い棒は質量が無いので、重心には関わらない。

$x_{G} = \frac{m _{1} x _{1} + m _{2} x _{2}}{m _{1} + m _{2}}$ に、 $m_{1} = 2.0$ 、 $x_{1} = 0$ 、 $m_{2} = 3.0$ 、 $x_{2} = 1.0$ を入れる。
$\frac{2.0 \times 0 + 3.0 \times 1.0}{2.0 + 3.0} = \frac{3.0}{5.0} = 0.60 m$
確かめ。 $2.0 kg$ の球からの距離は $0.60 m$ 、 $3.0 kg$ の球からの距離は $0.40 m$ 。比は $3 : 2$ で、質量の逆比になっている。

問 2　 $x y$ 平面上で、原点に質量 $1.0 kg$ 、 $x$ 軸上の $x = 0.60 m$ の点に質量 $2.0 kg$ 、 $y$ 軸上の $y = 0.90 m$ の点に質量 $3.0 kg$ の小球を置き、軽い棒でつないだ。全体の重心の $x$ 座標と $y$ 座標を求めよ。

$x_{G} = 0.20 m$ 、 $y_{G} = 0.45 m$

方針　平面上の重心は、 $x$ 座標と $y$ 座標を別々に求める。分母はどちらも全体の質量である。

全体の質量は $1.0 + 2.0 + 3.0 = 6.0 kg$
$x$ 座標が 0 でないのは $2.0 kg$ の球だけなので、 $x_{G}$ は $\frac{2.0 \times 0.60}{6.0} = \frac{1.2}{6.0} = 0.20 m$
$y$ 座標が 0 でないのは $3.0 kg$ の球だけなので、 $y_{G}$ は $\frac{3.0 \times 0.90}{6.0} = \frac{2.7}{6.0} = 0.45 m$

ここで間違えやすい　分母を、分子に出てきた球の質量だけにしてしまうこと。座標が 0 の球も、全体の質量には入る。

問 3　長さ $0.40 m$ 、質量 $1.0 kg$ の一様な棒 P の右端に、長さ $0.60 m$ 、質量 $4.0 kg$ の一様な棒 Q の左端をつないで、一直線の棒にした。全体の重心は、P の左端から何 m のところにあるか。

P の左端から $0.60 m$

方針　P と Q を、それぞれの中点に質量が集まった点とみなし、2 物体の重心の式を使う。位置はすべて P の左端から測る。

P の重心は P の中点で、左端から $0.20 m$
Q の重心は Q の中点。Q の左端は P の左端から $0.40 m$ にあるので、 $0.40 + 0.30 = 0.70 m$
重心の式の分子は $1.0 \times 0.20 + 4.0 \times 0.70 = 3.0$
全体の質量 $5.0 kg$ で割ると、 $\frac{3.0}{5.0} = 0.60 m$

ここで間違えやすい　全体の長さ $1.0 m$ の中点 $0.50 m$ と答えてしまうこと。つないだ棒は全体としては一様でないので、重心は重い Q の側に寄る。

問 4　中心が O、半径が $0.12 m$ の一様な円板から、半径 $0.060 m$ の円形の部分を切り抜いた。切り抜いた円の中心 C は、O から $0.060 m$ の位置にある。残った板の重心は、O からどちら向きに何 m のところにあるか。

O から、C と反対の向きに $0.020 m$

方針　残った板と切り抜いた円板を合わせると、元の円板に戻る。元の円板の重心は O なので、「残り」と「切り抜いた部分」の 2 物体の重心が O になる、という式を立てる。

一様な板なので、質量は面積に比例する。切り抜いた円の半径は元の半分なので、面積は元の $(\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}$
質量の比は、切り抜いた部分が 1、残りが 3 である。
O を原点とし、O から C へ向かう向きを $x$ 軸の正の向きとする。切り抜いた部分の重心は C で、 $x = 0.060 m$ 。残りの重心を $x$ とする。
2 つを合わせた重心が原点なので、 $\frac{3 \times x + 1 \times 0.060}{3 + 1} = 0$
分子が 0 になればよいので、 $3 x = - 0.060$
$x$ は $- \frac{0.060}{3} = - 0.020 m$ 。負なので、C と反対の向きである。

ここで間違えやすい　質量の比を半径の比のまま $1 : 2$ としてしまうこと。板の質量は面積に比例するので、半径が半分なら質量は 4 分の 1 になる。

問 5　水平な板の上に、一様な直方体を置いた。板を傾けていく方向の底面の幅は $0.30 m$ 、高さは $0.40 m$ で、直方体と板との間の静止摩擦係数は $0.80$ である。板の一端をゆっくり持ち上げて傾きの角 $θ$ を大きくしていくと、直方体は、すべりだすのと倒れるのと、どちらが先に起こるか。また、それが起こるのは $tan θ$ がいくらをこえたときか。

倒れるのが先。 $tan θ$ が $0.75$ をこえたとき

方針　すべりだす傾きと、倒れはじめる傾きを、それぞれ $tan θ$ の値で求めて比べる。小さいほうが先に起こる。

すべりだすのは、重力の斜面に平行な成分が最大摩擦力をこえるとき。 $m g sin θ > μ m g cos θ$ から $tan θ > μ$ 。つまり $tan θ$ が $0.80$ をこえたとき。
倒れるのは、重心を通る鉛直線が底面の下側の端より外に出るとき。重心は底面の中央の真上、高さ $0.20 m$ にあり、底面の端までは斜面に沿って $0.15 m$
鉛直線がちょうど端を通るときの $tan θ$ は $\frac{0.15}{0.20} = 0.75$
$0.75 < 0.80$ なので、傾きを大きくしていくと、先に倒れる条件に届く。

ここで間違えやすい　倒れる条件を $\frac{0.40}{0.30}$ （高さ ÷ 幅）としてしまうこと。背が高い（ $b$ が大きい）ほど小さな傾きで倒れるので、幅 ÷ 高さである。