剛体のつり合い｜高校物理 — みならいノート

学習指導要領物理 (1) ア (ｱ) ㋒「大きさのある物体のつり合いに関する実験などを行い，剛体のつり合う条件を見いだして理解すること。」。

0. どういうまとまりか

質点は、受ける力の和が 0 ならつり合います。剛体はそれだけでは足りません。力の和が 0 でも、偶力のように物体を回してしまう力の組があるからです。
剛体が静止し続けるには、動き出さない条件と回り出さない条件の 2 つが要ります。
問題を解く手順は決まっています。力を作用点ごと全部挙げ、力のつり合いの式と、力のモーメントのつり合いの式を書きます。

条件	式	何を止めているか
力のつり合い	力の和が 0（水平方向・鉛直方向のそれぞれで）	物体全体が動き出すこと
力のモーメントのつり合い	任意の点のまわりの力のモーメントの和が 0	物体が回り出すこと

分かれ目は次の 3 つ。

条件は 2 つとも要る。力の和が 0 でも、力のモーメントの和が 0 でなければ回り出す
回転軸はどこに取ってもよい。求めなくてよい未知の力の作用点に取ると、その力が式から消えて楽になる
重力は重心に 1 つの力として働くとして扱う。一様な棒なら中点である

1. つり合いの 2 つの条件

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(ア)-㋒

剛体のつり合いは、質点のつり合いに「回らない」という条件を 1 つ足したものです。

剛体がつり合う（静止し続ける）ための条件を 2 つ言うと？

①受ける力の和が 0 である　②任意の点のまわりの力のモーメントの和が 0 である

①は動き出さない条件、②は回り出さない条件。質点では①だけでよかった。

受ける力の和が 0 なのに、剛体がつり合わない例は？

偶力を受けているとき

大きさが等しく逆向きの 2 力なので力の和は 0 だが、作用線がずれているので力のモーメントの和が 0 にならず、回り出す。

力のモーメントのつり合いの式を立てるとき、回転軸はどこに取ってよいか？

どこに取ってもよい

力の和が 0 のときは、ある 1 点のまわりで力のモーメントの和が 0 なら、ほかのどの点のまわりでも 0 になる。実際に回る軸がある必要はない。

平行でない 3 つの力を受けて剛体がつり合っているとき、3 つの力の作用線にはどんな関係があるか？

3 本の作用線は 1 点で交わる

2 つの力の作用線の交点を軸に取ると、その 2 力の力のモーメントは 0。残りの 1 つの力のモーメントも 0 でなければならないので、その作用線も同じ点を通る。

2. 式の立て方

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(ア)-㋒

質点のときと違うのは、力を挙げるときに「どこに働くか」まで書くことと、回転軸を自分で選ぶことです。

剛体のつり合いの問題で、式を立てる手順を順に 4 つ言うと？

①剛体が受ける力を、作用点と向きを添えて全部挙げる　②水平方向・鉛直方向の力のつり合いの式を書く　③回転軸を決める　④その軸のまわりの力のモーメントのつり合いの式を書く

④は「反時計回りの力のモーメントの和＝時計回りの力のモーメントの和」と書くと、符号を間違えにくい。

力のモーメントのつり合いの式を楽にするには、回転軸をどこに取るとよいか？

大きさの分からない力（とくに、求めなくてよい力）の作用点に取る

作用線が軸を通る力は、うでの長さが 0 なので式に出てこない。未知数が 1 つ減る。

一様な棒が受ける重力は、どこに働くとして力のモーメントを求めるか？

棒の中点（重心）に、棒全体の重さが 1 つの力として働くとする

棒の各部分に働く重力を 1 つにまとめた合力の作用点が重心である。一様でない棒では、重心の位置が問題文で与えられるか、未知数になる。

問題文の「軽い棒」とは、どういう意味か。式の立て方はどう変わるか？

質量を無視できる棒という意味。棒に働く重力を、力として挙げない

「一様な棒」は質量があり、重力が中点に働く。この 2 つの言葉を読み分ける。

棒の一端が、ちょうつがい（自由に回転できる支点）で壁に留められている。ちょうつがいから受ける力は、どう扱うか？

向きが分からないので、水平成分と鉛直成分の 2 つの未知数に分けておく。回転軸はちょうつがいの位置に取る

ちょうつがいを軸にすれば、この 2 つの未知数は力のモーメントの式から消える。あとから力のつり合いの式で求める。

3. よく出る場面

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(ア)-㋒

水平な棒を支える問題と、壁に立てかけた棒の問題が代表です。どちらも、上の手順をそのまま当てはめます。

重さ $W$ の水平な棒を、2 点 A、B で下から支える。重心から A までの距離が $a$ 、B までの距離が $b$ （重心は A と B の間）のとき、A、B で支える力の大きさは？

A では $\frac{b}{a + b} W$ 、B では $\frac{a}{a + b} W$

B を軸にすると $N_{A} (a + b) = W b$ 。重心に近い支点ほど、大きな力で支えている。2 つの力の和は $W$ になる。

なめらかな鉛直の壁と、あらい水平な床との間に立てかけた一様な棒が受ける力を、全部挙げると？

①重力（棒の中点に、鉛直下向き）　②床からの垂直抗力（下端に、鉛直上向き）　③床からの静止摩擦力（下端に、水平で壁に向かう向き）　④壁からの垂直抗力（上端に、水平で壁から離れる向き）

壁はなめらかなので、壁からの摩擦力は無い。下端は壁から離れる向きにすべろうとするので、摩擦力は壁に向かう向きになる。

なめらかな壁とあらい床の間に、重さ $W$ 、長さ $L$ の一様な棒を、床と角 $θ$ をなすように立てかけた。壁からの垂直抗力 $R$ を求める式は？

棒の下端を軸にして $R \times L sin θ = W \times \frac{L}{2} cos θ$ 。これから $R = \frac{W}{2 t a n θ}$

下端を軸にすると、床からの垂直抗力と摩擦力が式から消える。力のつり合いから、床の垂直抗力は $N = W$ 、摩擦力は $f = R$ である。

立てかけた棒がすべらずに静止していられる条件は、床からの静止摩擦力 $f$ 、垂直抗力 $N$ 、静止摩擦係数 $μ$ を使ってどう書くか？

$f ≦ μ N$ （つり合いに必要な摩擦力が、最大摩擦力をこえない）

なめらかな壁に立てかけた一様な棒では $f = \frac{W}{2 t a n θ}$ 、 $N = W$ なので、 $tan θ ≧ \frac{1}{2 μ}$ となる。棒を寝かせるほどすべりやすい。

練習問題

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(ア)-㋒

問 1　長さ $1.0 m$ の軽い棒の左端 A に重さ $20 N$ のおもりを、右端 B に重さ $30 N$ のおもりをつるした。棒の 1 点に糸を付けてつるし、棒を水平に保ちたい。(1) 糸の張力の大きさを求めよ。(2) 糸を付ける位置は、A から何 m のところか。

(1) $50 N$ 　(2) A から $0.60 m$

方針　軽い棒なので、棒が受ける力は、おもりが引く 2 つの力（下向き）と糸の張力（上向き）の 3 つ。張力は力のつり合いから、糸の位置は力のモーメントのつり合いから求める。

鉛直方向の力のつり合いから、張力は $20 + 30 = 50 N$
糸を付ける位置を A から $x [m]$ とし、A を回転軸にする。A のおもりが引く力は、作用線が A を通るので式に出てこない。
張力は反時計回り、B のおもりが引く力は時計回りに回すので、 $50 \times x = 30 \times 1.0$
$x$ について解くと、 $\frac{30 \times 1.0}{50} = 0.60 m$

ここで間違えやすい　糸の位置を棒の中点にしてしまうこと。重いおもりのある B に近い側に寄る。

問 2　長さ $2.0 m$ 、重さ $40 N$ の一様な棒を、左端 A と右端 B で下から支えて水平にした。A から $0.50 m$ の位置に、重さ $60 N$ のおもりをのせた。A、B で棒を支える力の大きさをそれぞれ求めよ。

A で $65 N$ 、B で $35 N$

方針　未知の力が 2 つ（A、B で支える力）ある。A を回転軸にすれば A の力が消えて B の力だけの式になる。残りは力のつり合いから求める。

棒が受ける力は、A で支える力 $N_{A}$ （上向き）、B で支える力 $N_{B}$ （上向き）、棒の重力 $40 N$ （中点、つまり A から $1.0 m$ に下向き）、おもりが押す力 $60 N$ （A から $0.50 m$ に下向き）の 4 つ。
A を回転軸にする。 $N_{B}$ は反時計回り、棒の重力とおもりの力は時計回りに回すので、 $N_{B} \times 2.0 = 40 \times 1.0 + 60 \times 0.50$
右辺は $40 \times 1.0 + 60 \times 0.50 = 70 N \cdot m$
$N_{B}$ は $\frac{70}{2.0} = 35 N$
鉛直方向の力のつり合いから $N_{A} + N_{B} = 40 + 60$ 。 $N_{A}$ は $100 - 35 = 65 N$

問 3　なめらかな鉛直の壁と、あらい水平な床との間に、長さ $5.0 m$ 、重さ $80 N$ の一様な棒を立てかけたところ、棒は静止した。棒の下端は壁から $3.0 m$ の位置にあり、上端は床から $4.0 m$ の高さにある。(1) 棒が壁から受ける垂直抗力の大きさを求めよ。(2) 棒が床から受ける垂直抗力と静止摩擦力の大きさを求めよ。(3) 棒がすべらないためには、棒と床との間の静止摩擦係数はいくら以上でなければならないか。

(1) $30 N$ 　(2) 垂直抗力 $80 N$ 、静止摩擦力 $30 N$ 　(3) $0.38$ 以上

方針　棒の下端を回転軸にすると、床から受ける 2 つの力が式から消え、壁からの垂直抗力だけが未知数になる。床からの力は、あとから力のつり合いで求める。

棒が受ける力は、重力 $80 N$ （中点に、下向き）、壁からの垂直抗力 $R$ （上端に、水平で壁から離れる向き）、床からの垂直抗力 $N$ （下端に、上向き）、床からの静止摩擦力 $f$ （下端に、水平で壁に向かう向き）の 4 つ。
下端を回転軸にする。重力の作用線は、下端から水平に $3.0 m$ の半分、つまり $1.5 m$ だけ離れている。
$R$ の作用線は水平で、下端から鉛直に $4.0 m$ だけ離れている。
2 つの力は逆回りなので、力のモーメントのつり合いから $R \times 4.0 = 80 \times 1.5$
(1) $R$ は $\frac{80 \times 1.5}{4.0} = 30 N$
(2) 鉛直方向の力のつり合いから $N = 80 N$ 。水平方向の力のつり合いから $f = R = 30 N$
(3) すべらない条件は $f ≦ μ N$ なので、 $μ ≧ \frac{f}{N}$ 。値を入れると $\frac{30}{80} = 0.375 ≒ 0.38$

ここで間違えやすい　重力のうでの長さを、棒に沿った長さ $2.5 m$ にしてしまうこと。重力は鉛直な力なので、うでの長さは水平な距離 $1.5 m$ である。

問 4　鉛直な壁の点 A に、長さ $1.0 m$ 、重さ $20 N$ の一様な棒の一端をちょうつがいで取り付けた。棒の他端 B と、壁の A より上にある点 C とを糸で結び、棒を水平に保った。糸と棒のなす角は $3 0^{\circ}$ である。(1) 糸の張力の大きさを求めよ。(2) 棒がちょうつがいから受ける力の、水平成分と鉛直成分の大きさと向きを求めよ。 $sin 3 0^{\circ} = 0.50$ 、 $cos 3 0^{\circ} = 0.87$ とする。

(1) $20 N$ 　(2) 水平成分は壁から離れる向きに $17 N$ 、鉛直成分は上向きに $10 N$

方針　ちょうつがいから受ける力は向きが分からないので、A を回転軸にして式から消す。張力は、棒に垂直な成分（鉛直成分）だけが棒を回す。

棒が受ける力は、重力 $20 N$ （中点、つまり A から $0.50 m$ に下向き）、糸の張力 $T$ （B に、糸に沿って C へ向かう向き）、ちょうつがいからの力（A に）の 3 つ。
張力を分解する。鉛直成分は上向きに $T sin 3 0^{\circ}$ 、水平成分は壁に向かう向きに $T cos 3 0^{\circ}$
A を回転軸にする。張力の水平成分は、作用線が A を通るので回さない。鉛直成分のうでの長さは $1.0 m$ 、重力のうでの長さは $0.50 m$
力のモーメントのつり合いから $T \times 0.50 \times 1.0 = 20 \times 0.50$
(1) $T$ は $\frac{20 \times 0.50}{0.50 \times 1.0} = 20 N$
(2) 水平方向のつり合い。張力の水平成分は壁に向かう向きに $20 \times 0.87 = 17.4 ≒ 17 N$ なので、ちょうつがいからは壁から離れる向きに同じ大きさの力を受ける。
鉛直方向のつり合い。張力の鉛直成分は上向きに $20 \times 0.50 = 10 N$ 。重力 $20 N$ との差を、ちょうつがいが上向きに支える。 $20 - 10 = 10 N$

問 5　太さが一様でない、長さ $1.2 m$ の棒が水平な床の上に置いてある。左端 A に鉛直上向きの力を加えて A を床からわずかに持ち上げるには $18 N$ の力が必要で、右端 B を同じようにわずかに持ち上げるには $12 N$ の力が必要だった。(1) 棒の重さを求めよ。(2) 棒の重心は、A から何 m のところにあるか。

(1) $30 N$ 　(2) A から $0.48 m$

方針　A をわずかに持ち上げたとき、棒は B だけで床に接している。B を回転軸にして力のモーメントのつり合いの式を立てる。B を持ち上げるときも同じように A を軸にすると、未知数 2 つに式が 2 本できる。

棒の重さを $W$ 、重心の A からの距離を $x$ とする。重力は重心に下向きに働く。
A を持ち上げるとき。B を回転軸にすると、加えた力のうでの長さは $1.2 m$ 、重力のうでの長さは $1.2 - x$ 。つり合いの式は $18 \times 1.2 = W (1.2 - x)$
B を持ち上げるとき。A を回転軸にすると、加えた力のうでの長さは $1.2 m$ 、重力のうでの長さは $x$ 。つり合いの式は $12 \times 1.2 = W x$
左辺を計算すると、 $18 \times 1.2 = 21.6$ 、 $12 \times 1.2 = 14.4$
2 本の式を辺々足すと、右辺は $W (1.2 - x) + W x = 1.2 W$ 、左辺は $21.6 + 14.4 = 36$ 。よって $1.2 W = 36$
(1) $W$ は $\frac{36}{1.2} = 30 N$
(2) 手順 3 の式から $x = \frac{14.4}{W}$ 。値を入れると $\frac{14.4}{30} = 0.48 m$

ここで間違えやすい　 $18 N$ を棒の重さだと考えてしまうこと。持ち上げていない側の端が床から受ける力も、棒を支えている。重い側（重心に近い側）の端ほど、持ち上げるのに大きな力が要る。