力のモーメント｜高校物理 — みならいノート

学習指導要領物理 (1) ア (ｱ) ㋒「大きさのある物体のつり合いに関する実験などを行い，剛体のつり合う条件を見いだして理解すること。」。

0. どういうまとまりか

物理基礎では、物体を大きさの無い点（質点）として扱いました。質点なら、力は「どの向きに、どれだけ動かすか」だけを考えれば済みます。
大きさのある物体では、同じ力でもどこに加えるかで、物体を回すはたらきが変わります。この「回すはたらき」を数にしたものが力のモーメントです。
ここでは、力のモーメントの求め方と符号の決め方を固めます。次のノートで、これをつり合いの条件に使い、そのあとで重力の作用点である重心を扱います。

量	式	気をつけること
力のモーメント	$M = F l$	$l$ （うでの長さ）は、回転軸から作用線までの距離。作用点までの距離ではない
斜めに加えた力のモーメント	$M = F L sin θ$	$L$ は回転軸から作用点までの距離、 $θ$ は軸と作用点を結ぶ線と力がなす角
偶力のモーメント	$M = F a$	$a$ は 2 力の作用線の間の距離。どの点のまわりで求めても同じ

分かれ目は次の 3 つ。

うでの長さは、回転軸から作用線に下ろした垂線の長さ。回転軸から作用点までの距離をそのまま掛けてよいのは、力がその線に垂直なときだけ
回す向きで符号を決める。このノートでは反時計回りを正、時計回りを負とする
力は作用線の上でなら動かしてよい。作用線の外へずらすと、回すはたらきが変わる

1. 剛体と作用線

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(ア)-㋒

大きさのある物体を扱うために、まず「変形しない物体」という理想化と、力の通り道を表す言葉を用意します。

剛体とは、どんな物体か？

大きさがあり、力を受けても変形しないとみなした物体

実際の物体はわずかに変形するが、それを無視する。大きさを無視した「質点」と対になる理想化である。

質点と剛体とで、力のはたらきはどう違うか？

質点では、力は物体全体を動かすはたらきだけをもつ。剛体では、それに加えて物体を回転させるはたらきをもつ

だから剛体では、力の大きさと向きに加えて、力をどこに加えたかが効いてくる。

力の作用線とは何か？

力の作用点を通り、力の向きに引いた直線

力の矢印を前後に延ばした直線のこと。剛体での力のはたらきは、大きさ・向き・作用線の 3 つで決まる。

剛体に働く力を、その作用線の上で移動させると、力のはたらきはどうなるか？

変わらない

棒を前から引いても、同じ直線上で後ろから押しても同じである。作用線から外れた位置へ平行にずらすと、回すはたらきが変わる。

2. 力のモーメント

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(ア)-㋒

ドアは、ちょうつがいから遠いところを押すほど楽に回ります。回すはたらきは、力の大きさと、回転軸からの距離の両方で決まります。

力のモーメントとは何か。力の大きさを $F$ 、うでの長さを $l$ として、式と単位は？

物体をある点（回転軸）のまわりに回転させるはたらきの大きさ。 $M = F l$ 、単位は $N \cdot m$

例えば、大きさ $3.0 N$ の力のうでの長さが $0.20 m$ なら、 $3.0 \times 0.20 = 0.60 N \cdot m$ 。

力のモーメント $M = F l$ の「うでの長さ」 $l$ とは、どこからどこまでの長さか？

回転軸から、力の作用線に下ろした垂線の長さ

回転軸から作用点までの距離ではない。2 つが一致するのは、軸と作用点を結ぶ線に対して力が垂直なときだけである。

力のモーメントの符号は、どう決めるか？

回す向きで決める。このノートでは、反時計回りに回す向きを正、時計回りに回す向きを負とする

どちらを正にしてもよいが、1 つの問題の中では変えない。いくつかの力のモーメントは、符号を付けて足しあわせる。

回転軸 O から距離 $L$ の点 P に、OP と角 $θ$ をなす向きに大きさ $F$ の力を加えた。O のまわりの力のモーメントの大きさは？

$M = F L sin θ$

うでの長さが $L sin θ$ だから、と読んでもよいし、力を OP に垂直な成分 $F sin θ$ と平行な成分に分け、垂直な成分だけが回すから、と読んでもよい。

力が働いているのに、力のモーメントが 0 になるのは、どんなときか？

力の作用線が回転軸を通るとき

うでの長さが 0 になるからである。回転軸に向かって押す力や、回転軸から引く力は、物体を回さない。

力のモーメントの単位 $N \cdot m$ は、仕事の単位 $J$ と同じ組み立てである。力のモーメントを $J$ で表してよいか？

表さない。力のモーメントは $N \cdot m$ のまま書く

仕事は「力と、力の向きに動いた距離」の積、力のモーメントは「力と、力に垂直なうでの長さ」の積で、別の量である。

3. 偶力

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(ア)-㋒

ハンドルを両手で回すときのように、物体を動かさずに回すだけの力の組があります。

偶力とは、どんな 2 力か？

大きさが等しく、向きが逆で、作用線が平行でずれている 2 力

作用線が一致していれば、つり合う 2 力になる。作用線がずれているので、2 力の和は 0 でも物体を回転させる。

大きさ $F$ の 2 力からなる偶力で、作用線の間の距離が $a$ のとき、偶力のモーメントの大きさは？　それは回転軸の位置によって変わるか？

$M = F a$ 。どの点のまわりで求めても同じ値になる

2 力の作用線の間に軸を取り、片方の作用線までの距離を $x$ とすると、 $F x + F (a - x) = F a$ となって $x$ が消える。

偶力を、1 つの力にまとめる（合成する）ことはできるか？

できない

2 力の和は 0 なので、合力としては何も残らない。それでも回すはたらきは残る。偶力は、物体を回転させるはたらきだけをもつ力の組である。

練習問題

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(ア)-㋒

以下、反時計回りに回す向きを正とします。

問 1　軽い棒の一端 O を回転軸にする。O から $0.40 m$ の点 A に、棒に垂直で反時計回りに回す向きの力 $5.0 N$ を加え、O から $0.30 m$ の点 B に、棒に垂直で時計回りに回す向きの力 $2.0 N$ を加えた。(1) それぞれの力の、O のまわりの力のモーメントを求めよ。(2) 力のモーメントの和を求めよ。

(1) A の力は $2.0 N \cdot m$ 、B の力は $- 0.60 N \cdot m$ 　(2) $1.4 N \cdot m$ （反時計回り）

方針　どちらの力も棒に垂直なので、うでの長さは O から作用点までの距離にそのまま等しい。 $M = F l$ で大きさを出し、回す向きで符号を付けてから足す。

A の力のうでの長さは $0.40 m$ 。大きさは $5.0 \times 0.40 = 2.0 N \cdot m$ 。反時計回りなので正。
B の力のうでの長さは $0.30 m$ 。大きさは $2.0 \times 0.30 = 0.60 N \cdot m$ 。時計回りなので負で、 $- 0.60 N \cdot m$
(2) 符号を付けて足すと、 $2.0 - 0.60 = 1.4 N \cdot m$ 。正なので、全体としては反時計回りに回すはたらきが残る。

問 2　長さ $0.50 m$ の棒の一端 O を回転軸にする。他端 P に、棒と $3 0^{\circ}$ の角をなす向きに、大きさ $8.0 N$ の力を加えた。O のまわりの力のモーメントの大きさを求めよ。 $sin 3 0^{\circ} = 0.50$ とする。

$2.0 N \cdot m$

方針　力が棒に垂直でないので、O から P までの距離をそのまま掛けてはいけない。O から作用線までの距離（うでの長さ）を先に求める。

O から作用線に垂線を下ろすと、その長さは OP の長さに $sin 3 0^{\circ}$ を掛けたものになる。
うでの長さは $0.50 \times 0.50 = 0.25 m$
$M = F l$ に入れると、 $8.0 \times 0.25 = 2.0 N \cdot m$

ここで間違えやすい　うでの長さを棒の長さのままにして $8.0 \times 0.50$ としてしまうこと。これは力が棒に垂直なときの値である。

問 3　直径 $0.40 m$ の円形のハンドルがある。中心 O をはさんで向かいあう円周上の 2 点 A、B に、それぞれ円の接線の方向に大きさ $15 N$ の力を加えた。2 力は互いに逆向きで、どちらもハンドルを反時計回りに回す向きである。(1) O のまわりの力のモーメントの和を求めよ。(2) 点 A のまわりの力のモーメントの和を求めよ。

(1) $6.0 N \cdot m$ 　(2) $6.0 N \cdot m$

方針　2 力は大きさが等しく逆向きで、作用線が平行にずれているので偶力である。偶力のモーメントは、どの点のまわりで求めても同じになることを、2 つの軸で確かめる。

(1) O から A、B それぞれの力の作用線までの距離は、どちらも半径の $0.20 m$
どちらも反時計回りなので、和は $15 \times 0.20 + 15 \times 0.20 = 6.0 N \cdot m$
(2) A に加えた力は、作用線が A を通るので、A のまわりの力のモーメントは 0
B に加えた力の作用線は、A から直径の $0.40 m$ だけ離れている。力のモーメントは $15 \times 0.40 = 6.0 N \cdot m$
和は $6.0 N \cdot m$ で、(1) と同じ。偶力のモーメント $F a$ の $a$ は、作用線の間の距離 $0.40 m$ である。

問 4　 $x y$ 平面上に置いた板があり、原点 O を通って平面に垂直な軸のまわりに回転できる。 $x$ 軸上の $x = 0.30 m$ の点 A に、 $y$ 軸の正の向きの力 $4.0 N$ を加え、 $y$ 軸上の $y = 0.20 m$ の点 B に、 $x$ 軸の正の向きの力 $2.0 N$ を加えた。 $x$ 軸の正の向きから $y$ 軸の正の向きへ回る向きを反時計回り（正）として、O のまわりの力のモーメントの和を求めよ。

$0.80 N \cdot m$ （反時計回り）

方針　力ごとに、作用線と O との距離（うでの長さ）と、回す向きを決める。そのあと符号を付けて足す。

A の力の作用線は、A を通って $y$ 軸に平行な直線。O からの距離は $0.30 m$
A は O から見て $x$ 軸の正の側にあり、そこを $y$ 軸の正の向きに押すので、反時計回り。力のモーメントは $4.0 \times 0.30 = 1.2 N \cdot m$
B の力の作用線は、B を通って $x$ 軸に平行な直線。O からの距離は $0.20 m$
B は O から見て $y$ 軸の正の側にあり、そこを $x$ 軸の正の向きに押すので、時計回り。力のモーメントは負で、大きさは $2.0 \times 0.20 = 0.40 N \cdot m$
和は $1.2 - 0.40 = 0.80 N \cdot m$ 。正なので反時計回り。

ここで間違えやすい　2 つの力のモーメントを、向きを確かめずに足して $1.6 N \cdot m$ としてしまうこと。回す向きは力ごとに確かめる。