運動量と力積｜高校物理 — みならいノート

学習指導要領物理 (1) ア (ｲ) ㋐「運動量と力積との関係について理解すること。」。

0. どういうまとまりか

バットでボールを打つときのように、短い時間に大きな力が働く現象では、力がどう変化したかを細かく追えません。
それでも、「力を受ける前と後で、運動がどれだけ変わったか」は言えます。そのための量が運動量と力積です。
運動量は運動の勢いを、力積は力が時間をかけて及ぼした効果を表します。物体の運動量の変化は、受けた力積に等しくなります。
どちらも向きをもつ量（ベクトル）なので、符号や向きの扱いがこのノートの中心です。

量	式	向き	単位
運動量	$p = m v$	速度と同じ向き	$kg \cdot m/s$
力積	$F Δ t$	力と同じ向き	$N \cdot s$
2 つの関係	$m v^{'} - m v = F Δ t$	運動量の変化の向き＝力積の向き	$N \cdot s$ と $kg \cdot m/s$ は同じ単位

分かれ目は次の 3 つ。

運動量も力積もベクトル。一直線上の運動では、正の向きを決めて符号つきで書く。はね返ったあとの速度は負になる
運動量の変化は「あと − まえ」。はね返る球では、速さの差でなく和が出てくる
運動量と運動エネルギーは別の量。運動量を変えるのは力積（力 × 時間）、運動エネルギーを変えるのは仕事（力 × 距離）

1. 運動量

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(イ)-㋐

同じ速さでも、重い物体ほど止めにくく、同じ質量でも速いほど止めにくい。この「運動の勢い」を、質量と速度の積で表します。

運動量とは何か。質量 $m$ 、速度 $v$ の物体の運動量の式・向き・単位は？

$p = m v$ 。速度と同じ向きをもつベクトルで、単位は $kg \cdot m/s$

例えば、質量 $2.0 kg$ の物体が $3.0 m/s$ で進んでいれば、運動量の大きさは $2.0 \times 3.0 = 6.0 kg \cdot m/s$ 。

一直線上の運動で、運動量の向きはどう表すか？

正の向きを決め、その向きの運動量を正、逆向きの運動量を負として、符号で表す

右向きを正とすると、左向きに速さ $v$ で進む質量 $m$ の物体の運動量は $- m v$ である。

運動量 $m v$ と運動エネルギー $\frac{1}{2} m v^{2}$ は、量としてどう違うか？

運動量は向きをもつ量（ベクトル）、運動エネルギーは向きをもたない量（スカラー）

同じ速さで逆向きに進む 2 つの同じ物体は、運動エネルギーは等しいが、運動量は符号が逆で、等しくない。

2. 力積

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(イ)-㋐

力がどれだけ運動を変えるかは、力の大きさだけでなく、力が働いた時間の長さにもよります。

力積とは何か。一定の力 $F$ が時間 $Δ t$ だけ働いたときの力積の式・向き・単位は？

$F Δ t$ 。力と同じ向きをもつベクトルで、単位は $N \cdot s$

力と、力が働いた時間の積である。小さな力でも長い時間働けば、力積は大きくなる。

力積の単位 $N \cdot s$ と、運動量の単位 $kg \cdot m/s$ は、同じ単位か？

同じ単位である

$N = kg \cdot m/ s^{2}$ なので、これに $s$ を掛けると $kg \cdot m/s$ になる。だから運動量の変化と力積を等号で結べる。

力の大きさが時間とともに変わるとき、力積の大きさはどう求めるか？

力 $F$ と時間 $t$ の関係を表すグラフ（ $F$ - $t$ グラフ）と、 $t$ 軸とで囲まれた部分の面積

力が一定なら長方形の面積 $F Δ t$ になる。衝突のときの力は山の形に変化するので、その山の面積が力積である。

衝突のときの「平均の力」とは、何を指すか。力積の大きさを $I$ 、力が働いた時間を $Δ t$ として、式は？

同じ時間に同じ力積を与える、一定の力のこと。 $F = \frac{I}{Δ t}$

$F$ - $t$ グラフでいえば、山の面積と同じ面積で、横幅が同じ長方形の高さにあたる。

3. 運動量の変化と力積

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(イ)-㋐

運動量と力積は、運動方程式を通して等号で結ばれます。これがこのフォルダ全体の出発点です。

物体の運動量の変化と、その間に物体が受けた力積との関係は？

運動量の変化は、受けた力積に等しい。 $m v^{'} - m v = F Δ t$

左辺は「あとの運動量 − まえの運動量」。力が変化するときは、右辺を平均の力と時間の積、または $F$ - $t$ グラフの面積に読みかえる。

運動量の変化が力積に等しいことは、何から導かれるか？

運動方程式 $ma = F$ に、加速度 $a = \frac{v ^{'} - v}{Δ t}$ を入れ、両辺に $Δ t$ を掛ける

$m \frac{v ^{'} - v}{Δ t} = F$ から $m v^{'} - m v = F Δ t$ 。新しい法則ではなく、運動方程式を「時間をかけた効果」の形に書きかえたものである。

質量 $m$ の球が、壁に垂直に速さ $v$ で当たり、速さ $v^{'}$ ではね返った。球が壁から受けた力積の大きさと向きは？

大きさは $m (v + v^{'})$ 、向きは壁から離れる向き

はじめに進んでいた向きを正とすると、あとの速度は $- v^{'}$ 。運動量の変化は $m (- v^{'}) - m v = - m (v + v^{'})$ で、負なので壁から離れる向き。 $m (v - v^{'})$ としない。

平面内で、物体の速度の向きが変わった。受けた力積は、どう求めるか？

あとの運動量のベクトルから、まえの運動量のベクトルを引く。または、 $x$ 成分と $y$ 成分に分けて、成分ごとに「あと − まえ」を求める

運動量の大きさどうしを引き算してはいけない。速さが変わらなくても、向きが変われば運動量は変化していて、力積を受けている。

同じだけ運動量を変化させるとき、力が働く時間を長くすると、受ける力の大きさはどうなるか？

小さくなる

力積 $F Δ t$ が同じなら、 $Δ t$ が大きいほど $F$ は小さい。着地のときにひざを曲げる、クッションで受け止める、などは時間をのばして力を小さくしている。

物体の運動量を変えるものと、運動エネルギーを変えるものは、それぞれ何か？

運動量を変えるのは力積（力 × 時間）、運動エネルギーを変えるのは仕事（力 × 力の向きに動いた距離）

どちらも運動方程式から出てくるが、力を「時間」で積み上げるか「距離」で積み上げるかが違う。

練習問題

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(イ)-㋐

問 1　なめらかな水平面上に静止している質量 $2.0 kg$ の物体に、水平に $6.0 N$ の一定の力を $3.0 s$ の間加えた。(1) 物体が受けた力積の大きさを求めよ。(2) 力を加え終わったときの物体の速さを求めよ。

(1) $18 N \cdot s$ 　(2) $9.0 m/s$

方針　力が一定なので、力積は $F Δ t$ 。はじめ静止していたので、受けた力積がそのまま、あとの運動量になる。

力の向きを正とする。(1) 力積は $6.0 \times 3.0 = 18 N \cdot s$
まえの運動量は 0 なので、 $m v^{'} - 0 = 18$
(2) $v^{'}$ は $\frac{18}{2.0} = 9.0 m/s$

問 2　質量 $0.15 kg$ のボールが、水平に速さ $20 m/s$ で飛んできた。これをバットで打ち返すと、ボールは逆向きに速さ $30 m/s$ で水平に飛んでいった。(1) ボールがバットから受けた力積の大きさと向きを求めよ。(2) ボールとバットが触れていた時間が $0.010 s$ のとき、ボールが受けた平均の力の大きさを求めよ。

(1) $7.5 N \cdot s$ 、打ち返されたあとにボールが飛んでいく向き　(2) $7.5 \times 1 0^{2} N$

方針　はじめにボールが飛んできた向きを正とし、あとの速度を負の値にして「あと − まえ」を計算する。平均の力は、力積を時間で割る。

はじめに飛んできた向きを正とする。まえの速度は $20 m/s$ 、あとの速度は $- 30 m/s$
運動量の変化は $0.15 \times (- 30) - 0.15 \times 20 = - 4.5 - 3.0 = - 7.5 kg \cdot m/s$
(1) これが受けた力積に等しい。大きさは $7.5 N \cdot s$ 。負なので、はじめの向きと逆、つまり打ち返されたあとに飛んでいく向きである。
(2) 平均の力の大きさは $\frac{7.5}{0.010} = 750 N$ 。有効数字 2 桁で $7.5 \times 1 0^{2} N$

ここで間違えやすい　速さの差をとって $0.15 \times (30 - 20)$ としてしまうこと。向きが逆になっているので、運動量の変化の大きさは速さの和に質量を掛けたものになる。

問 3　静止していた質量 $0.40 kg$ の球を打った。球が受けた力の大きさは、打ちはじめの 0 から $0.020 s$ の間に $400 N$ まで一定の割合で増え、続く $0.020 s$ の間に一定の割合で 0 まで減った。力の向きは変わらなかった。(1) 球が受けた力積の大きさを求めよ。(2) 打たれた直後の球の速さを求めよ。(3) 球が受けた平均の力の大きさを求めよ。

(1) $8.0 N \cdot s$ 　(2) $20 m/s$ 　(3) $2.0 \times 1 0^{2} N$

方針　力が変化するので、力積は $F$ - $t$ グラフの面積で求める。グラフは底辺 $0.040 s$ 、高さ $400 N$ の三角形になる。

力が働いた時間は、あわせて $0.020 + 0.020 = 0.040 s$
(1) 三角形の面積は $\frac{1}{2} \times 0.040 \times 400 = 8.0 N \cdot s$
(2) はじめ静止していたので、あとの運動量が力積に等しい。速さは $\frac{8.0}{0.40} = 20 m/s$
(3) 平均の力は、力積を時間で割って $\frac{8.0}{0.040} = 200 N$ 。有効数字 2 桁で $2.0 \times 1 0^{2} N$

ここで間違えやすい　力の最大値 $400 N$ にそのまま時間を掛けてしまうこと。それは長方形の面積で、実際の力積の 2 倍になる。

問 4　なめらかな水平面上（ $x y$ 平面）を、質量 $0.50 kg$ の球が $x$ 軸の正の向きに速さ $4.0 m/s$ で進んでいた。短い時間だけ力を受けたあと、球は $y$ 軸の正の向きに速さ $3.0 m/s$ で進んだ。球が受けた力積の $x$ 成分、 $y$ 成分と、力積の大きさを求めよ。

$x$ 成分 $- 2.0 N \cdot s$ 、 $y$ 成分 $1.5 N \cdot s$ 、大きさ $2.5 N \cdot s$

方針　向きが変わっているので、運動量を成分に分け、成分ごとに「あと − まえ」を計算する。大きさは、2 つの成分から三平方の定理で求める。

まえの運動量は、 $x$ 成分が $0.50 \times 4.0 = 2.0 kg \cdot m/s$ 、 $y$ 成分が 0
あとの運動量は、 $x$ 成分が 0、 $y$ 成分が $0.50 \times 3.0 = 1.5 kg \cdot m/s$
力積の $x$ 成分は $0 - 2.0 = - 2.0 N \cdot s$
力積の $y$ 成分は $1.5 - 0 = 1.5 N \cdot s$
力積の大きさは $2. 0^{2} + 1. 5^{2} = 6.25 = 2.5 N \cdot s$

ここで間違えやすい　運動量の大きさどうしを引いて $2.0 - 1.5$ としてしまうこと。運動量はベクトルなので、向きが違うものは成分ごとに引く。

問 5　質量 $2.0 kg$ の台車が、速さ $3.0 m/s$ で水平に進んできて、壁に当たって止まった。当たってから止まるまでの時間が、(1) 台車の先端がかたくて $0.010 s$ だった場合と、(2) 先端にばねが付いていて $0.20 s$ だった場合について、台車が壁から受けた平均の力の大きさをそれぞれ求めよ。

(1) $6.0 \times 1 0^{2} N$ 　(2) $30 N$

方針　どちらの場合も、運動量の変化（受けた力積）は同じ。違うのは時間だけなので、平均の力は時間に反比例する。

はじめの運動量の大きさは $2.0 \times 3.0 = 6.0 kg \cdot m/s$ 。止まるので、あとの運動量は 0
受けた力積の大きさは、どちらも $6.0 N \cdot s$ （向きは、はじめに進んでいた向きと逆）
(1) 平均の力は $\frac{6.0}{0.010} = 600 N$ 。有効数字 2 桁で $6.0 \times 1 0^{2} N$
(2) 平均の力は $\frac{6.0}{0.20} = 30 N$
時間が 20 倍になると、力は 20 分の 1 になっている。