運動量保存の法則｜高校物理

学習指導要領物理 (1) ア (ｲ) ㋑「物体の衝突や分裂に関する実験などを行い，運動量保存の法則を理解すること。」。

0. どういうまとまりか

2 つの物体が衝突するとき、それぞれの運動量は変わります。ところが、2 つの運動量を足したものは、衝突の前後で変わりません。
衝突の間に物体どうしが及ぼしあう力は、作用・反作用の関係にあり、互いに逆向きで同じ大きさの力積を与えあうからです。
これが運動量保存の法則です。衝突の最中の力が分からなくても、前と後の速度を結びつけられます。
合体も分裂も、同じ 1 本の式で扱えます。

場面	式（一直線上。速度は符号つき）
衝突	$m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} v_{1}^{'} + m_{2} v_{2}^{'}$
合体（衝突後に一体となる）	$m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = (m_{1} + m_{2}) V$
分裂（速度 $V$ で進む物体が 2 つに分かれる）	$(m_{1} + m_{2}) V = m_{1} v_{1}^{'} + m_{2} v_{2}^{'}$
静止した物体の分裂	$0 = m_{1} v_{1}^{'} + m_{2} v_{2}^{'}$
平面内の衝突	$x$ 成分、 $y$ 成分のそれぞれで上の式を立てる

分かれ目は次の 3 つ。

保存されるのは運動量の和。1 つの物体だけを見れば、運動量は変わっている
成り立つのは、外力の力積が無視できるとき。内力は、どんな力でも和を変えない
正の向きを決めて、速度を符号つきで式に入れる。向きの分からない速度は文字のまま置き、答えの符号で向きを読む

1. 法則と、成り立つ条件

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(イ)-㋑

法則を使う前に、何を「ひとまとまり」と見るかを決めます。そのまとまりの外から力が働くかどうかで、使えるかどうかが決まります。

運動量保存の法則とは何か。一直線上で衝突する 2 物体について式で書くと？

物体どうしが力を及ぼしあうだけで、外から力積を受けなければ、運動量の和は変わらない。 $m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} v_{1}^{'} + m_{2} v_{2}^{'}$

左辺は衝突前、右辺は衝突後の運動量の和。速度は符号つきで入れる。

衝突で運動量の和が変わらないのは、なぜか？

2 物体が及ぼしあう力は作用・反作用の関係にあり、互いに逆向きで同じ大きさの力積を与えあうので、運動量の変化が打ち消しあうから

物体 1 の運動量の変化を $F Δ t$ とすると、物体 2 の変化は $- F Δ t$ 。足すと 0 になる。

内力と外力とは、それぞれ何か？

内力は、注目している物体の集まり（物体系）の中で物体どうしが及ぼしあう力。外力は、物体系の外から受ける力

2 つの球の衝突なら、球どうしが押しあう力が内力、重力や床からの力が外力である。何を物体系と見るかで、内力と外力の区別は変わる。

運動量保存の法則が使えるのは、どんなときか？

物体系が外力を受けないとき、外力の和が 0 のとき、または、衝突や分裂の時間がきわめて短く、その間の外力の力積が無視できるとき

内力は、摩擦力でもばねの力でも爆発の力でも、運動量の和を変えない。条件に関わるのは外力だけである。

外力が、ある方向にだけ働いていない。運動量の和はどうなるか？

その方向の成分だけが保存される

例えば、なめらかな水平面上の物体系は、鉛直方向には重力と垂直抗力を受けるが、水平方向には外力を受けない。水平方向の運動量の和が保存される。

衝突する 2 物体のうち、片方だけに注目した。その物体の運動量は保存されるか？

保存されない。保存されるのは、2 物体の運動量の和である

片方だけを見れば、相手から受けた力は外力であり、その力積のぶんだけ運動量が変わる。

2. 一直線上の衝突・合体・分裂

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(イ)-㋑

一直線上では、ベクトルの向きを符号で表せます。符号の扱いさえ決めれば、衝突も合体も分裂も同じ手順で式になります。

一直線上の衝突で、運動量保存の式を立てる手順を順に言うと？

①正の向きを決める　②衝突前後の速度を、符号つきで書き出す　③「衝突前の運動量の和＝衝突後の運動量の和」と書く

向きの分からない速度は、文字のまま（正の向きと仮定して）式に入れる。答えが負になれば、実際の向きは逆だったと読む。

速度 $v_{1}$ の質量 $m_{1}$ の物体と、速度 $v_{2}$ の質量 $m_{2}$ の物体が衝突して一体となった。合体後の速度 $V$ は？

$V = \frac{m _{1} v _{1} + m _{2} v _{2}}{m _{1} + m _{2}}$

$m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = (m_{1} + m_{2}) V$ から。合体後は 1 つの物体なので、未知の速度は 1 つだけで、運動量保存の式 1 本で決まる。

静止していた物体が、質量 $m_{1}$ と $m_{2}$ の 2 つに分裂した。分裂後の 2 つの速度の向きと、速さの比は？

互いに逆向きに進み、速さの比は質量の逆比 $m_{2} : m_{1}$

$0 = m_{1} v_{1}^{'} + m_{2} v_{2}^{'}$ から $v_{1}^{'} = - \frac{m _{2}}{m _{1}} v_{2}^{'}$ 。軽いほうが速い。

速度 $V$ で進んでいた物体が、質量 $m_{1}$ と $m_{2}$ の 2 つに分裂した。運動量保存の式は？

$(m_{1} + m_{2}) V = m_{1} v_{1}^{'} + m_{2} v_{2}^{'}$

左辺は分裂前の運動量で、0 ではない。静止からの分裂と違い、2 つが同じ向きに進むこともある。

3. 平面内の衝突

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(イ)-㋑

運動量はベクトルなので、平面内では矢印の足し算として保存されます。計算するときは、成分に分けます。

平面内での衝突では、運動量保存の法則をどう式にするか？

$x$ 成分と $y$ 成分に分け、成分ごとに「衝突前の和＝衝突後の和」の式を立てる

$m_{1} v_{1 x} + m_{2} v_{2 x} = m_{1} v_{1 x}^{'} + m_{2} v_{2 x}^{'}$ と、 $y$ 成分についての同じ形の式の 2 本になる。速さ（大きさ）どうしを足してはいけない。

静止していた物体が、平面内で 2 つに分裂した。2 つの破片の進む向きには、どんな関係があるか？

互いに正反対の向きに進む（一直線上を逆向きに進む）

分裂後の運動量のベクトルの和が 0 でなければならないので、2 つの運動量は大きさが等しく逆向きになる。

練習問題

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(イ)-㋑

以下、水平面はなめらかで、物体系は水平方向に外力を受けないものとします。

問 1　右向きに速さ $3.0 m/s$ で進む質量 $2.0 kg$ の台車が、静止している質量 $1.0 kg$ の台車に衝突し、2 台は一体となって進んだ。一体となったあとの速度を求めよ。

右向きに $2.0 m/s$

方針　合体するので、衝突後の速度は 1 つ。運動量保存の式 1 本で決まる。

右向きを正とする。衝突前の運動量の和は $2.0 \times 3.0 + 1.0 \times 0 = 6.0 kg \cdot m/s$
一体となったあとの質量は $2.0 + 1.0 = 3.0 kg$ 。速度を $V$ とすると、運動量は $3.0 V$
運動量保存から $3.0 V = 6.0$
$V$ は $\frac{6.0}{3.0} = 2.0 m/s$ 。正なので右向き。

問 2　一直線上を、質量 $3.0 kg$ の物体 A が右向きに速さ $4.0 m/s$ で、質量 $2.0 kg$ の物体 B が左向きに速さ $6.0 m/s$ で進み、正面衝突した。衝突後、A は左向きに速さ $2.0 m/s$ で進んだ。衝突後の B の速度を求めよ。

右向きに $3.0 m/s$

方針　右向きを正として、左向きの速度を負の値にして式に入れる。B の衝突後の速度は文字のまま置き、答えの符号で向きを読む。

右向きを正とする。衝突前の速度は、A が $4.0 m/s$ 、B が $- 6.0 m/s$
衝突前の運動量の和は $3.0 \times 4.0 + 2.0 \times (- 6.0) = 12 - 12 = 0$
衝突後の A の速度は $- 2.0 m/s$ 。B の速度を $v$ とすると、衝突後の運動量の和は $3.0 \times (- 2.0) + 2.0 v$
運動量保存から $- 6.0 + 2.0 v = 0$
$v$ は $\frac{6.0}{2.0} = 3.0 m/s$ 。正なので右向き。
確かめ。衝突後の和は $3.0 \times (- 2.0) + 2.0 \times 3.0 = 0$ で、衝突前と一致する。

ここで間違えやすい　B の衝突前の速度を正の $6.0$ のまま入れてしまうこと。左向きなので $- 6.0$ である。

問 3　右向きに速さ $2.0 m/s$ で進んでいた質量 $5.0 kg$ の物体が、内部のばねのはたらきで、質量 $3.0 kg$ の部分 P と質量 $2.0 kg$ の部分 Q に分裂した。分裂後、P は右向きに速さ $5.0 m/s$ で進んだ。分裂後の Q の速度を求めよ。

左向きに $2.5 m/s$

方針　ばねの力は内力なので、分裂の前後で運動量の和は変わらない。分裂前の運動量は 0 ではないことに注意して式を立てる。

右向きを正とする。分裂前の運動量は $5.0 \times 2.0 = 10 kg \cdot m/s$
分裂後の P の運動量は $3.0 \times 5.0 = 15 kg \cdot m/s$
Q の速度を $v$ とすると、運動量保存から $10 = 15 + 2.0 v$
$2.0 v = 10 - 15 = - 5$
$v$ は $\frac{- 5}{2.0} = - 2.5 m/s$ 。負なので左向き。
確かめ。分裂後の和は $3.0 \times 5.0 + 2.0 \times (- 2.5) = 10$ で、分裂前と一致する。

ここで間違えやすい　分裂だからといって、左辺を 0 にしてしまうこと。0 になるのは、分裂前に静止していたときだけである。

問 4　なめらかな水平面上（ $x y$ 平面）で、 $x$ 軸の正の向きに速さ $3.0 m/s$ で進む質量 $2.0 kg$ の物体と、 $y$ 軸の正の向きに速さ $6.0 m/s$ で進む質量 $1.0 kg$ の物体が衝突し、一体となった。一体となったあとの速度の $x$ 成分、 $y$ 成分と、速さを求めよ。 $2 = 1.41$ とする。

$x$ 成分 $2.0 m/s$ 、 $y$ 成分 $2.0 m/s$ 、速さ $2.8 m/s$ （ $x$ 軸の正の向きから $y$ 軸の正の向きへ $4 5^{\circ}$ 回った向き）

方針　平面内なので、運動量保存の式を $x$ 成分と $y$ 成分に分けて立てる。一体となったあとの質量は、どちらの式でも 2 つの質量の和である。

一体となったあとの質量は $2.0 + 1.0 = 3.0 kg$ 。速度の成分を $V_{x}$ 、 $V_{y}$ とする。
$x$ 成分。衝突前に $x$ 方向の運動量をもつのは $2.0 kg$ の物体だけなので、 $2.0 \times 3.0 = 3.0 V_{x}$
$V_{x}$ は $\frac{2.0 \times 3.0}{3.0} = 2.0 m/s$
$y$ 成分。衝突前に $y$ 方向の運動量をもつのは $1.0 kg$ の物体だけなので、 $1.0 \times 6.0 = 3.0 V_{y}$
$V_{y}$ は $\frac{1.0 \times 6.0}{3.0} = 2.0 m/s$
2 つの成分が等しいので、速さは成分の $2$ 倍。 $2.0 \times 1.41 = 2.82 ≒ 2.8 m/s$ 。向きは両軸のちょうど中間である。

ここで間違えやすい　衝突前の運動量の大きさ $6.0$ と $6.0$ をそのまま足して $12$ とし、 $3.0$ で割ってしまうこと。向きが違う運動量は、成分ごとに扱う。

問 5　なめらかな水平面上（ $x y$ 平面）で、質量 $1.0 kg$ の球 A が $x$ 軸の正の向きに速さ $5.0 m/s$ で進み、静止していた質量 $2.0 kg$ の球 B に衝突した。衝突後、A は $y$ 軸の正の向きに速さ $2.0 m/s$ で進んだ。衝突後の B の速度の $x$ 成分と $y$ 成分を求めよ。

$x$ 成分 $2.5 m/s$ 、 $y$ 成分 $- 1.0 m/s$

方針　 $x$ 成分と $y$ 成分のそれぞれで運動量保存の式を立てる。衝突前は $y$ 方向の運動量が 0 なので、衝突後の $y$ 方向の運動量の和も 0 になる。

衝突後の B の速度の成分を $u_{x}$ 、 $u_{y}$ とする。
$x$ 成分。衝突前の和は $1.0 \times 5.0 = 5.0 kg \cdot m/s$ 。衝突後、A の速度の $x$ 成分は 0 なので、和は $2.0 u_{x}$
$2.0 u_{x} = 5.0$ から、 $u_{x}$ は $\frac{5.0}{2.0} = 2.5 m/s$
$y$ 成分。衝突前の和は 0。衝突後の和は $1.0 \times 2.0 + 2.0 u_{y}$
$2.0 + 2.0 u_{y} = 0$ から、 $u_{y}$ は $\frac{- 2.0}{2.0} = - 1.0 m/s$
確かめ。 $y$ 成分の和は $1.0 \times 2.0 + 2.0 \times (- 1.0) = 0$ で、衝突前と一致する。

ここで間違えやすい　B の $y$ 成分を 0 としてしまうこと。A が $y$ 軸の正の向きの運動量をもったので、B は同じ大きさで負の向きの運動量をもつ。