はね返り係数｜高校物理 — みならいノート

学習指導要領物理 (1) ア (ｲ) ㋒「衝突における力学的エネルギーの変化について理解すること。」。

0. どういうまとまりか

運動量保存の式は 1 本です。衝突後に 2 つの物体が別々に動くと、未知の速度が 2 つあるので、式が 1 本足りません。
足りない 1 本を与えるのがはね返り係数です。ボールがよくはずむか、はずまないかを、衝突の前後の速さの比で表します。
「近づく速さ」に対して「遠ざかる速さ」が何倍か、というのがその意味で、衝突する物体の材質の組み合わせで決まります。

場面	式
一直線上の 2 物体の衝突	$e = - \frac{v _{1}^{'} - v _{2}^{'}}{v _{1} - v _{2}}$ （遠ざかる速さ ÷ 近づく速さ）
動かない床・壁への垂直な衝突	$e = \frac{v ^{'}}{v}$ （速さの比）。速度で書けば $v^{'} = - e v$
高さ $h$ から落として、高さ $h^{'}$ まではね上がる	$e = \frac{h ^{'}}{h}$
なめらかな面への斜めの衝突	面に平行な速度の成分は変わらない。面に垂直な成分は、向きが逆で大きさが $e$ 倍

$e$ の値	衝突の呼び名	衝突後のようす
$e = 1$	弾性衝突	近づく速さと同じ速さで遠ざかる
$0 < e < 1$	非弾性衝突	近づく速さより遅く遠ざかる
$e = 0$	完全非弾性衝突	遠ざからない（一体となる）

分かれ目は次の 3 つ。

式のマイナスは、 $e$ を正にするためのもの。相対速度は衝突の前後で向きが逆になる
高さの比は $e$ でなく $e^{2}$ 。はね上がる高さは、速さの 2 乗に比例する
斜めの衝突で $e$ が効くのは、面に垂直な成分だけ。なめらかな面では、平行な成分はそのまま残る

1. はね返り係数の定義

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(イ)-㋒

衝突の前、2 つの物体は近づいています。衝突の後は、遠ざかります。その速さの比をとります。

はね返り係数（反発係数） $e$ とは何か？

衝突後に 2 物体が遠ざかる速さを、衝突前に 2 物体が近づく速さで割った値

$e = \frac{遠ざかる速さ}{近づく速さ}$ 。速さの比なので、単位は無い。

一直線上を速度 $v_{1}$ 、 $v_{2}$ で進む 2 物体が衝突し、速度が $v_{1}^{'}$ 、 $v_{2}^{'}$ になった。はね返り係数 $e$ の式は？

$e = - \frac{v _{1}^{'} - v _{2}^{'}}{v _{1} - v _{2}}$

分母は衝突前の、分子は衝突後の「物体 2 から見た物体 1 の相対速度」。分母と分子で、物体 1 と物体 2 の順番をそろえる。

はね返り係数の式 $e = - \frac{v _{1}^{'} - v _{2}^{'}}{v _{1} - v _{2}}$ に、マイナスが付いているのはなぜか？

衝突の前後で相対速度の向きが逆になる（近づいていたものが遠ざかる）ので、 $e$ を正の値にするため

マイナスを忘れると、 $e$ が負になってしまう。連立方程式で使うときは、 $v_{1}^{'} - v_{2}^{'} = - e (v_{1} - v_{2})$ の形にする。

はね返り係数 $e$ がとる値の範囲は？

$0 ≦ e ≦ 1$

衝突では、遠ざかる速さが近づく速さをこえないので、1 より大きくならない。 $e$ の値は、衝突する 2 物体の材質の組み合わせで決まる。

はね返り係数 $e$ の値によって、衝突を 3 つに呼び分けると？

$e = 1$ は弾性衝突、 $0 < e < 1$ は非弾性衝突、 $e = 0$ は完全非弾性衝突

$e = 0$ のときは遠ざかる速さが 0 なので、2 物体は衝突後に同じ速度で一体となって進む。

2. 床や壁との衝突

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(イ)-㋒

相手が動かない床や壁なら、相手の速度は衝突の前後とも 0 です。式は、ボール 1 つの速さの比になります。

動かない床（または壁）に、物体が垂直に速さ $v$ で衝突し、速さ $v^{'}$ ではね返った。はね返り係数 $e$ は？

$e = \frac{v ^{'}}{v}$

2 物体の式で、床の速度を衝突の前後とも 0 としたもの。衝突前に進んでいた向きを正として速度で書けば、 $v^{'} = - e v$ となる。

高さ $h$ から静かに落とした球が、床ではね返って高さ $h^{'}$ まで上がった。はね返り係数 $e$ を高さで表すと？

$e = \frac{h ^{'}}{h}$

高さの比そのものではなく、その平方根である。逆に言えば、はね上がる高さは $h^{'} = e^{2} h$ 。

床ではね返る球のはね返り係数が $e = \frac{h ^{'}}{h}$ になるのは、なぜか？

床に衝突する直前の速さが $2 g h$ 、直後の速さが $2 g h^{'}$ で、その比をとるから

どちらも力学的エネルギーの保存（または $v^{2} = 2 g h$ ）から出る。 $e = \frac{2 g h ^{'}}{2 g h}$ で、 $2 g$ が消える。

球が床でくり返しはね返るとき、はね上がる最高点の高さは、1 回ごとにどう変わるか？

1 回はね返るごとに $e^{2}$ 倍になる

例えば $e = 0.50$ なら、高さは毎回 $0.5 0^{2} = 0.25$ 倍になる。衝突直後の速さのほうは、毎回 $e$ 倍である。

3. なめらかな面への斜めの衝突

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(イ)-㋒

斜めに当たるときは、速度を「面に平行な成分」と「面に垂直な成分」に分けます。はね返り係数が関わるのは片方だけです。

なめらかな面に、物体が斜めに衝突した。衝突の前後で、速度の成分はどう変わるか？

面に平行な成分は変わらない。面に垂直な成分は、向きが逆になり、大きさが $e$ 倍になる

衝突前の成分を $v_{x}$ （平行）、 $v_{y}$ （垂直）とすると、衝突後は $v_{x}$ と $- e v_{y}$ である。

なめらかな面への斜めの衝突で、速度の面に平行な成分が変わらないのは、なぜか？

面がなめらかで摩擦力が無いので、物体が面から受ける力は面に垂直な向きだけであり、面に平行な向きの力積を受けないから

力積が 0 の方向では、運動量が変わらない。面があらい場合は、平行な成分も変わる。

なめらかな面に斜めに衝突した物体の速度が、面となす角は、衝突の前後でどう変わるか（ $0 < e < 1$ のとき）？

衝突後のほうが小さくなる（面に沿う向きに寝る）。衝突前の角を $θ$ 、衝突後の角を $θ^{'}$ とすると $tan θ^{'} = e tan θ$

平行な成分はそのままで、垂直な成分だけが $e$ 倍に小さくなるからである。 $e = 1$ のときだけ、角は等しい。

練習問題

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(イ)-㋒

問 1　球が水平な床に鉛直に速さ $5.0 m/s$ で衝突し、鉛直上向きに速さ $4.0 m/s$ ではね返った。球と床との間のはね返り係数を求めよ。

$0.80$

方針　床は動かないので、はね返り係数は、衝突直後の速さを衝突直前の速さで割ったものになる。

衝突直前の速さは $5.0 m/s$ 、衝突直後の速さは $4.0 m/s$
$e = \frac{v ^{'}}{v}$ に入れると、 $\frac{4.0}{5.0} = 0.80$

問 2　球を高さ $1.0 m$ のところから水平な床に静かに落としたところ、高さ $0.64 m$ まではね上がった。(1) 球と床との間のはね返り係数を求めよ。(2) 球がもう一度床に落ちてはね返ったとき、はね上がる高さを求めよ。

(1) $0.80$ 　(2) $0.41 m$

方針　高さとはね返り係数の関係 $e = \frac{h ^{'}}{h}$ を使う。2 回目は、1 回目にはね上がった高さから落ちてくるので、そこからさらに $e^{2}$ 倍になる。

(1) $e = \frac{h ^{'}}{h}$ に入れると、 $\frac{0.64}{1.0} = 0.80$
(2) はね上がる高さは、落ちはじめの高さの $e^{2}$ 倍。 $e^{2}$ は $0.8 0^{2} = 0.64$
2 回目は高さ $0.64 m$ から落ちるので、 $0.64 \times 0.64 = 0.4096 ≒ 0.41 m$

ここで間違えやすい　高さの比 $0.64$ をそのままはね返り係数だと答えてしまうこと。高さの比は $e^{2}$ である。

問 3　一直線上を、物体 A が右向きに速さ $6.0 m/s$ で、物体 B がその前方を右向きに速さ $2.0 m/s$ で進んでいた。A が B に追突し、衝突後は A が右向きに速さ $3.0 m/s$ 、B が右向きに速さ $5.0 m/s$ になった。A と B の間のはね返り係数を求めよ。

$0.50$

方針　右向きを正として、衝突の前後の速度を $e = - \frac{v _{1}^{'} - v _{2}^{'}}{v _{1} - v _{2}}$ に入れる。A を物体 1、B を物体 2 とし、分母と分子で順番をそろえる。

衝突前の相対速度は $6.0 - 2.0 = 4.0 m/s$ （A は B に $4.0 m/s$ で近づく）
衝突後の相対速度は $3.0 - 5.0 = - 2.0 m/s$ （B は A から $2.0 m/s$ で遠ざかる）
$e$ は $- \frac{- 2.0}{4.0} = 0.50$

ここで間違えやすい　分子を $5.0 - 3.0$ 、分母を $6.0 - 2.0$ と、順番をそろえずにマイナスを付けてしまい、 $e$ が負になること。「遠ざかる速さ ÷ 近づく速さ」で確かめるとよい。

問 4　一直線上を、質量 $1.0 kg$ の物体 A が右向きに速さ $4.0 m/s$ で、質量 $2.0 kg$ の物体 B が左向きに速さ $2.0 m/s$ で進み、正面衝突した。A と B の間のはね返り係数は $0.50$ である。衝突後の A、B の速度をそれぞれ求めよ。

A は左向きに $2.0 m/s$ 、B は右向きに $1.0 m/s$

方針　未知の速度が 2 つあるので、運動量保存の式とはね返り係数の式の 2 本を連立させる。右向きを正とし、衝突後の速度は文字のまま置く。

右向きを正とする。衝突前の速度は、A が $4.0 m/s$ 、B が $- 2.0 m/s$ 。衝突後の速度を、A は $v_{A}$ 、B は $v_{B}$ とする。
衝突前の運動量の和は $1.0 \times 4.0 + 2.0 \times (- 2.0) = 4.0 - 4.0 = 0$
運動量保存の式は $1.0 v_{A} + 2.0 v_{B} = 0$ …①
衝突前の相対速度は $4.0 - (- 2.0) = 6.0 m/s$
はね返り係数の式 $v_{A} - v_{B} = - e (v_{1} - v_{2})$ の右辺は $- 0.50 \times 6.0 = - 3.0$ 。よって $v_{A} - v_{B} = - 3.0$ …②
②から $v_{A} = v_{B} - 3.0$ 。これを①に入れると $(v_{B} - 3.0) + 2.0 v_{B} = 0$
$3.0 v_{B} = 3.0$ から $v_{B} = 1.0 m/s$ 。正なので右向き。
②に戻すと $v_{A} = 1.0 - 3.0 = - 2.0 m/s$ 。負なので左向き。
確かめ。運動量の和は $1.0 \times (- 2.0) + 2.0 \times 1.0 = 0$ 。遠ざかる速さは $1.0 - (- 2.0) = 3.0 m/s$ で、近づく速さ $6.0 m/s$ の $0.50$ 倍になっている。

ここで間違えやすい　近づく速さを $4.0 - 2.0$ としてしまうこと。B は左向きなので速度は $- 2.0$ で、向かいあって近づく速さは $6.0 m/s$ である。

問 5　なめらかな水平な床に、小球が斜めに衝突した。衝突直前の速度は、床に平行な成分が $3.0 m/s$ 、床に垂直な成分が下向きに $4.0 m/s$ であった。小球と床との間のはね返り係数は $0.50$ である。(1) 衝突直後の速度の、床に平行な成分と垂直な成分を求めよ。(2) 衝突直後の速さを求めよ。 $13 = 3.6$ とする。

(1) 床に平行な成分 $3.0 m/s$ 、床に垂直な成分は上向きに $2.0 m/s$ 　(2) $3.6 m/s$

方針　床がなめらかなので、床に平行な成分は変わらない。床に垂直な成分だけが、向きを逆にして $e$ 倍になる。速さは 2 つの成分から三平方の定理で求める。

(1) 床に平行な成分は、衝突の前後で変わらず $3.0 m/s$
床に垂直な成分は、向きが上向きに変わり、大きさは $0.50 \times 4.0 = 2.0 m/s$
(2) 速さの 2 乗は $3. 0^{2} + 2. 0^{2} = 13$
速さは $13 ≒ 3.6 m/s$

ここで間違えやすい　衝突直前の速さ $5.0 m/s$ 全体に $0.50$ を掛けて $2.5 m/s$ としてしまうこと。 $e$ が掛かるのは、床に垂直な成分だけである。