水平投射｜高校物理 — みならいノート

学習指導要領物理 (1) ア (ｱ) ㋑「水平投射及び斜方投射された物体の運動を直線運動と関連付けて理解すること。」。

0. どういうまとまりか

物理基礎では、水平投射を「水平方向と鉛直方向に分けて考えられる」ところまで扱いました。物理では、それを式にして、位置・速度・軌道を求めるところまで進みます。
物体が受ける力は重力だけなので、加速度は鉛直下向きに $g$ で一定です。水平方向の加速度は 0 なので等速直線運動、鉛直方向は初速度 0 なので自由落下になります。
このノートでは、投げ出した点を原点、初速度の向きを $x$ 軸の正の向き、鉛直下向きを $y$ 軸の正の向きとします（空気抵抗は無視します）。

	水平方向（ $x$ ）	鉛直方向（ $y$ 、下向きが正）
受ける力	なし	重力
加速度	$0$	$g$
運動の種類	等速直線運動	自由落下
速度	$v_{x} = v_{0}$	$v_{y} = g t$
位置	$x = v_{0} t$	$y = \frac{1}{2} g t^{2}$

分かれ目は次の 3 つ。

水平方向と鉛直方向の式を別々に立て、共通の時刻 $t$ でつなぐ。水平方向の初速度を鉛直方向の式に入れない
落ちるまでの時間は鉛直方向の式だけで決まる。水平到達距離は、その時間に初速度を掛けて求める
速度の向きと、投げ出した点から見た位置の向きは違う。速度の向きは $tan θ = \frac{g t}{v _{0}}$ 、位置の向きは $\frac{y}{x} = \frac{g t}{2 v _{0}}$

1. 運動を 2 つの直線運動に分ける

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(ア)-㋑

式を立てる前に、座標軸と、物体が受ける力を確かめます。加速度が鉛直方向だけにあることが、2 つの方向を別々に扱える理由です。

水平投射の式を立てるとき、座標軸はふつうどうとるか？

投げ出した点を原点とし、初速度の向き（水平）に $x$ 軸、鉛直下向きに $y$ 軸をとる

鉛直下向きを正にすると、加速度も落下距離も正になり、自由落下の式がそのまま使える。

水平投射された物体が運動中に受ける力と、加速度は？（空気抵抗は無視する）

受ける力は重力だけ。加速度は、どの時刻でも鉛直下向きに大きさ $g$

加速度の水平成分は 0 である。速度の向きは刻々と変わるが、加速度の向きと大きさは変わらない。

水平投射で、時刻 $t$ の速度の水平成分と鉛直成分は？（初速度の大きさ $v_{0}$ 、鉛直下向きが正）

$v_{x} = v_{0}$ 、 $v_{y} = g t$

水平成分は初速度のまま変わらない（等速直線運動）。鉛直成分は、自由落下の速度の式と同じである。

水平投射で、時刻 $t$ の位置の座標は？（投げ出した点が原点、初速度の大きさ $v_{0}$ 、鉛直下向きが正）

$x = v_{0} t$ 、 $y = \frac{1}{2} g t^{2}$

$x$ は等速直線運動の式、 $y$ は自由落下の式。2 つの式に共通なのは時刻 $t$ だけである。

一定の速度で水平に飛ぶ飛行機から、物体を静かに放した。飛行機から見ると、物体はどう運動して見えるか？（空気抵抗は無視する）

真下へ自由落下していくように見える

地面から見れば水平投射だが、物体の速度の水平成分は飛行機の速度と同じなので、物体はいつも飛行機の真下にある。

2. 軌道と速度

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(ア)-㋑

位置の 2 つの式から時刻 $t$ を消すと、物体が通る道すじ（軌道）の式が得られます。速度は、2 つの成分を合成して大きさと向きを求めます。

水平投射の軌道の式は？どうやって導くか？

$y = \frac{g}{2 v _{0}^{2}} x^{2}$ 。 $x = v_{0} t$ から $t = \frac{x}{v _{0}}$ として、 $y = \frac{1}{2} g t^{2}$ に代入する

$y$ が $x$ の 2 乗に比例するので、軌道は放物線になる。投げ出した点が放物線の頂点にあたる。

水平投射で、時刻 $t$ の速さは？

$v = v_{0}^{2} + (g t)^{2}$

水平成分 $v_{0}$ と鉛直成分 $g t$ は垂直なので、三平方の定理で合成する。時間がたつほど、速さは大きくなる。

水平投射で、時刻 $t$ の速度の向きはどう表されるか？

水平方向から下向きに測った角を $θ$ として、 $tan θ = \frac{v _{y}}{v _{x}} = \frac{g t}{v _{0}}$

この向きは、その点での軌道の接線の向きである。時間がたつほど $θ$ は大きくなり、速度は鉛直下向きに近づいていく（鉛直にはならない）。

水平投射で、「速度の向き」と「投げ出した点から見た物体の位置の向き」は、同じか？

違う。水平方向からの傾きは、速度が $\frac{g t}{v _{0}}$ 、位置が $\frac{y}{x} = \frac{g t}{2 v _{0}}$ で、速度のほうが 2 倍急である

「 $4 5^{\circ}$ の向きに進んでいる」は速度の話、「 $4 5^{\circ}$ 下方に見える」は位置の話。どちらを問われているかで、使う式が違う。

3. 高さ $h$ から投げ出したとき

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(ア)-㋑

地面からの高さ $h$ の点から水平に投げ出す場合は、 $y = h$ になる時刻を求めるところから始めます。

高さ $h$ の点から水平投射された物体が、地面に達するまでの時間は？

$t = \frac{2 h}{g}$ 。初速度 $v_{0}$ によらない

鉛直方向の式 $h = \frac{1}{2} g t^{2}$ を $t$ について解く。同じ高さから自由落下させたときと同じ時間である。

高さ $h$ の点から初速度 $v_{0}$ で水平投射された物体の、水平到達距離（投げ出した点の真下から落下点までの距離）は？

$v_{0} \frac{2 h}{g}$

落ちるまでの時間 $\frac{2 h}{g}$ のあいだ、水平方向に速さ $v_{0}$ で進み続ける。式を覚えるより、「時間を鉛直方向から求め、水平方向に使う」順を覚える。

高さ $h$ の点から初速度 $v_{0}$ で水平投射された物体が、地面に達する直前の速さは？

$v_{0}^{2} + 2 g h$

鉛直成分は自由落下と同じで $v_{y}^{2} = 2 g h$ 。これを水平成分 $v_{0}$ と合成する。力学的エネルギーの保存から求めても、同じ式になる。

練習問題

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(ア)-㋑

以下、重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ とし、空気抵抗は無視できるものとします。

問 1　高さ $44.1 m$ のがけの上から、小球を水平に $10 m/s$ の速さで投げ出した。(1) 小球が地面に達するまでの時間を求めよ。(2) 投げ出した点の真下から落下点までの水平距離を求めよ。

(1) $3.0 s$ 　(2) $30 m$

方針　落ちるまでの時間は、鉛直方向（自由落下）の式だけで決まる。その時間のあいだ、水平方向には初速度のまま等速で進む。

投げ出した点を原点とし、鉛直下向きを $y$ 軸の正の向きとする。鉛直方向は $y = \frac{1}{2} g t^{2}$ なので、 $t^{2} = \frac{2 y}{g}$
(1) 地面では $y = 44.1 m$ 。値を入れると、 $\frac{2 \times 44.1}{9.8} = 9.0$
$t^{2} = 9.0$ で $t > 0$ なので、 $t = 3.0 s$
(2) 水平方向は $x = v_{0} t$ 。値を入れると、 $10 \times 3.0 = 30 m$

ここで間違えやすい　(1) で、鉛直方向の式に初速度 $10 m/s$ を入れてしまうこと。初速度は水平向きなので、鉛直方向の初速度は 0 である。

問 2　十分に高いところから、小球を水平に $4.9 m/s$ の速さで投げ出した。投げ出してから $1.0 s$ 後について、(1) 速度の水平成分と鉛直成分を求めよ。(2) 速さを求めよ。(3) 速度の向きを、水平方向から下向きに測った角 $θ$ の $tan θ$ の値で答えよ。

(1) 水平成分 $4.9 m/s$ 、鉛直成分は下向きに $9.8 m/s$ 　(2) $11 m/s$ 　(3) $tan θ = 2.0$

方針　速度の水平成分は初速度のまま、鉛直成分は自由落下と同じ $g t$ である。この 2 つを合成して、速さと向きを求める。

(1) 水平方向には力を受けないので、水平成分は $4.9 m/s$ のまま変わらない。
鉛直成分は $v_{y} = g t$ 。値を入れると、 $9.8 \times 1.0 = 9.8 m/s$
(2) 2 つの成分は垂直なので、速さは $4. 9^{2} + 9. 8^{2} = 120.05 ≒ 11 m/s$
(3) 向きは $tan θ = \frac{v _{y}}{v _{x}}$ 。値を入れると、 $\frac{9.8}{4.9} = 2.0$

ここで間違えやすい　速さを $4.9 + 9.8$ と足してしまうこと。垂直な 2 つの成分は、三平方の定理で合成する。

問 3　小球を、水平に $7.0 m/s$ の速さで投げ出した。投げ出した点を原点とし、初速度の向きに $x$ 軸、鉛直下向きに $y$ 軸をとる（単位は $m$ ）。(1) 軌道の式を求めよ。(2) 小球が水平に $10 m$ 進んだとき、投げ出した点から何 $m$ 落下しているか。

(1) $y = 0.10 x^{2}$ 　(2) $10 m$

方針　位置の式 $x = v_{0} t$ と $y = \frac{1}{2} g t^{2}$ から、時刻 $t$ を消す。軌道の式ができれば、 $x$ を入れるだけで $y$ が出る。

(1) $x = v_{0} t$ から $t = \frac{x}{v _{0}}$
これを $y = \frac{1}{2} g t^{2}$ に代入すると、 $y = \frac{g}{2 v _{0}^{2}} x^{2}$
$x^{2}$ の係数に値を入れると、 $\frac{9.8}{2 \times 7. 0 ^{2}} = \frac{9.8}{98} = 0.10$ 。よって $y = 0.10 x^{2}$
(2) $x = 10$ を入れると、 $0.10 \times 1 0^{2} = 10 m$

問 4　高さ $4.9 m$ の台の端から、小球が水平に飛び出し、台の端の真下から $3.0 m$ 離れた床の上に落ちた。(1) 小球が飛び出したときの速さを求めよ。(2) 床に達する直前の速さを求めよ。

(1) $3.0 m/s$ 　(2) $10 m/s$

方針　初速度が分からないので、まず鉛直方向の式から落ちるまでの時間を求める。水平方向は等速なので、水平距離を時間で割れば初速度が出る。床に達する直前の速さは、2 つの成分を合成する。

鉛直方向は $y = \frac{1}{2} g t^{2}$ なので、 $t^{2} = \frac{2 y}{g}$ 。値を入れると、 $\frac{2 \times 4.9}{9.8} = 1.0$
$t^{2} = 1.0$ で $t > 0$ なので、 $t = 1.0 s$
(1) 水平方向は $x = v_{0} t$ なので $v_{0} = \frac{x}{t}$ 。値を入れると、 $\frac{3.0}{1.0} = 3.0 m/s$
(2) 床に達する直前の速度の鉛直成分は $v_{y} = g t$ 。値を入れると、 $9.8 \times 1.0 = 9.8 m/s$
水平成分は $3.0 m/s$ のまま。速さは、 $3. 0^{2} + 9. 8^{2} = 105.04 ≒ 10 m/s$

ここで間違えやすい　(2) で鉛直成分の $9.8 m/s$ だけを答えてしまうこと。速さは、水平成分も合わせた速度の大きさである。

問 5　十分に高いところから、小球を水平に $14.7 m/s$ の速さで投げ出した。(1) 速度の向きが水平方向から下向きに $4 5^{\circ}$ になるのは、投げ出してから何秒後か。(2) そのとき小球は、投げ出した点から水平に何 $m$ 、鉛直に何 $m$ のところにあるか。 $tan 4 5^{\circ} = 1$ である。

(1) $1.5 s$ 後　(2) 水平に $22 m$ 、鉛直下向きに $11 m$

方針　問われているのは速度の向きなので、速度の成分の比 $tan θ = \frac{g t}{v _{0}}$ を使う。 $4 5^{\circ}$ になるのは、鉛直成分が水平成分と等しくなったときである。

(1) $tan 4 5^{\circ} = 1$ なので、 $\frac{g t}{v _{0}} = 1$ 。よって $t = \frac{v _{0}}{g}$
値を入れると、 $\frac{14.7}{9.8} = 1.5 s$
(2) 水平方向は $x = v_{0} t$ 。値を入れると、 $14.7 \times 1.5 = 22.05 ≒ 22 m$
鉛直方向は $y = \frac{1}{2} g t^{2}$ 。値を入れると、 $\frac{1}{2} \times 9.8 \times 1. 5^{2} = 11.025 ≒ 11 m$

ここで間違えやすい　「 $4 5^{\circ}$ だから $x = y$ 」としてしまうこと。 $4 5^{\circ}$ になっているのは速度の向きで、位置は水平に $22 m$ 、鉛直に $11 m$ と、ちょうど半分の傾きになっている。

水平投射

0. どういうまとまりか

1. 運動を 2 つの直線運動に分ける

2. 軌道と速度

3. 高さ h から投げ出したとき

練習問題

3. 高さ $h$ から投げ出したとき