斜方投射｜高校物理 — みならいノート

学習指導要領物理 (1) ア (ｱ) ㋑「水平投射及び斜方投射された物体の運動を直線運動と関連付けて理解すること。」。

0. どういうまとまりか

物体を斜め上向きに投げ出す運動が斜方投射です。水平投射との違いは、初速度が鉛直成分をもつことだけです。
受ける力は重力だけなので、加速度は鉛直下向きに $g$ で一定です。初速度を水平成分と鉛直成分に分ければ、水平方向は等速直線運動、鉛直方向は鉛直投げ上げと同じ運動になります。
このノートでは、投げ出した点を原点、水平方向に $x$ 軸、鉛直上向きを $y$ 軸の正の向きとし、初速度の大きさを $v_{0}$ 、水平方向から上向きに測った初速度の角を $θ$ とします（空気抵抗は無視します）。

	水平方向（ $x$ ）	鉛直方向（ $y$ 、上向きが正）
初速度の成分	$v_{0} cos θ$	$v_{0} sin θ$
加速度	$0$	$- g$
運動の種類	等速直線運動	鉛直投げ上げ
速度	$v_{x} = v_{0} cos θ$	$v_{y} = v_{0} sin θ - g t$
位置	$x = v_{0} cos θ \cdot t$	$y = v_{0} sin θ \cdot t - \frac{1}{2} g t^{2}$

分かれ目は次の 3 つ。

最初に初速度を成分に分ける。水平方向の式には $v_{0} cos θ$ 、鉛直方向の式には $v_{0} sin θ$ を使い、 $v_{0}$ をそのまま入れない
最高点は「速度の鉛直成分が 0」、落下点は「 $y$ が落下点の高さ」。どちらも鉛直方向の式で時刻を決め、水平方向の式に入れる
最高点でも速度は 0 にならない。水平成分 $v_{0} cos θ$ が残っている。加速度も鉛直下向きに $g$ のままである

1. 初速度の分解と運動の式

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(ア)-㋑

斜方投射を解く作業は、初速度を 2 つの成分に分けるところから始まります。分けたあとは、物理基礎の 2 つの直線運動です。

斜方投射とは？物体が運動中に受ける力と加速度は？（空気抵抗は無視する）

物体を斜め上向きに投げ出したときの運動。受ける力は重力だけで、加速度はどの時刻でも鉛直下向きに大きさ $g$

上昇中も、最高点でも、下降中も、加速度は同じである。軌道は放物線になる。

斜方投射の初速度（大きさ $v_{0}$ 、水平方向から上向きに角 $θ$ ）の、水平成分と鉛直成分は？

水平成分 $v_{0} cos θ$ 、鉛直成分 $v_{0} sin θ$

$θ$ は水平方向から測った角なので、水平成分が $cos$ になる。鉛直方向から測った角が与えられたときは、 $sin$ と $cos$ が入れかわる。

斜方投射を、水平方向と鉛直方向の直線運動に分けると、それぞれどんな運動か？

水平方向は、速さ $v_{0} cos θ$ の等速直線運動。鉛直方向は、初速度 $v_{0} sin θ$ の鉛直投げ上げと同じ運動

水平方向には力を受けず、鉛直方向には重力だけを受けるからである。水平投射は、 $θ = 0^{\circ}$ の場合にあたる。

斜方投射で、時刻 $t$ の速度の成分は？（鉛直上向きが正）

$v_{x} = v_{0} cos θ$ 、 $v_{y} = v_{0} sin θ - g t$

$v_{y}$ は上昇中は正、最高点で 0、下降中は負になる。 $v_{x}$ は終始変わらない。

斜方投射で、時刻 $t$ の位置の座標は？（投げ出した点が原点、鉛直上向きが正）

$x = v_{0} cos θ \cdot t$ 、 $y = v_{0} sin θ \cdot t - \frac{1}{2} g t^{2}$

2 つの式から $t$ を消すと $y = tan θ \cdot x - \frac{g}{2 v _{0}^{2} c o s ^{2} θ} x^{2}$ となり、軌道が放物線であることが分かる。

2. 最高点

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(ア)-㋑

最高点は、上昇から下降に切りかわる点です。その条件を鉛直方向の速度で言いかえると、式が立ちます。

斜方投射で、最高点に達する条件を式で言うと？そのときの速度と加速度は？

速度の鉛直成分が 0（ $v_{y} = 0$ ）。速度は水平向きに大きさ $v_{0} cos θ$ 、加速度は鉛直下向きに $g$

最高点で 0 になるのは鉛直成分だけである。速さは最高点で最も小さくなるが、0 にはならない。

斜方投射で、最高点に達するまでの時間と、最高点の高さは？

時間は $t_{1} = \frac{v _{0} s i n θ}{g}$ 、高さは $H = \frac{v _{0}^{2} s i n ^{2} θ}{2 g}$

$v_{y} = v_{0} sin θ - g t = 0$ から時間が出る。高さは、鉛直方向の式 $0^{2} - (v_{0} sin θ)^{2} = 2 (- g) H$ から出る。どちらも鉛直成分だけで決まる。

3. 滞空時間と水平到達距離

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(ア)-㋑

投げ出した点と同じ高さの地面に落ちる場合は、 $y = 0$ に戻る時刻を求めれば、水平到達距離が決まります。

水平な地面から斜方投射された物体が、地面に戻るまでの時間（滞空時間）は？

$t_{2} = \frac{2 v _{0} s i n θ}{g}$ 。最高点に達するまでの時間のちょうど 2 倍

$y = v_{0} sin θ \cdot t - \frac{1}{2} g t^{2} = 0$ の、 $t = 0$ でないほうの解である。上りと下りにかかる時間は等しい。

水平な地面から斜方投射された物体の水平到達距離は？どうやって導くか？

$L = \frac{v _{0}^{2} s i n 2 θ}{g}$ 。水平方向の速さ $v_{0} cos θ$ に、滞空時間 $\frac{2 v _{0} s i n θ}{g}$ を掛ける

掛けると $\frac{2 v _{0}^{2} s i n θ c o s θ}{g}$ になり、 $2 sin θ cos θ = sin 2 θ$ を使ってまとめる。

初速度の大きさが同じとき、水平な地面での水平到達距離が最大になる投射の角は？そのときの距離は？

$θ = 4 5^{\circ}$ のとき最大で、 $\frac{v _{0}^{2}}{g}$

$sin 2 θ$ が最大値 1 をとるのは $2 θ = 9 0^{\circ}$ のとき。空気抵抗を無視した場合の結果である。

初速度の大きさが同じで、投射の角が $θ$ のときと $9 0^{\circ} - θ$ のとき（例えば $3 0^{\circ}$ と $6 0^{\circ}$ ）、水平到達距離はどうなるか？

等しい

$sin 2 (9 0^{\circ} - θ) = sin (18 0^{\circ} - 2 θ) = sin 2 θ$ だからである。ただし、角が大きいほうが最高点は高く、滞空時間も長い。

水平な地面から斜方投射された物体が、地面に戻る直前の速度は？

速さは初速度と同じ $v_{0}$ 。向きは、水平方向から下向きに角 $θ$

水平成分は $v_{0} cos θ$ のまま、鉛直成分は $- v_{0} sin θ$ になる。同じ高さでは、上りと下りで速さが等しい。

投げ出した点と落下点の高さが違うとき（がけの上から投げる、など）、 $L = \frac{v _{0}^{2} s i n 2 θ}{g}$ は使えるか？どう解くか？

使えない。鉛直方向の式で $y$ を落下点の高さとおいて時刻 $t$ を求め、それを $x = v_{0} cos θ \cdot t$ に入れる

$L$ の式は「 $y = 0$ に戻る」ことから導いたものである。がけの高さが $h$ なら、鉛直上向きが正なので $y = - h$ とおく。

練習問題

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(ア)-㋑

以下、重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ とし、空気抵抗は無視できるものとします。

問 1　水平な地面から、水平方向と $3 0^{\circ}$ の角をなす向きに、速さ $19.6 m/s$ で小球を投げ上げた。(1) 初速度の水平成分と鉛直成分を求めよ。(2) 最高点に達するまでの時間を求めよ。(3) 最高点の高さを求めよ。 $sin 3 0^{\circ} = 0.50$ 、 $cos 3 0^{\circ} ≒ 0.87$ とする。

(1) 水平成分 $17 m/s$ 、鉛直成分 $9.8 m/s$ 　(2) $1.0 s$ 　(3) $4.9 m$

方針　まず初速度を成分に分ける。最高点は鉛直方向だけの話なので、初速度 $v_{0} sin 3 0^{\circ}$ の鉛直投げ上げとして、「速度が 0 になる時刻」と「そのときの高さ」を求める。

(1) 水平成分は $v_{0} cos 3 0^{\circ}$ 。値を入れると、 $19.6 \times 0.87 = 17.052 ≒ 17 m/s$
鉛直成分は $v_{0} sin 3 0^{\circ}$ 。値を入れると、 $19.6 \times 0.50 = 9.8 m/s$
(2) 鉛直上向きを正とする。最高点では $v_{y} = 0$ なので、 $0 = 9.8 - 9.8 t$
$t$ について解くと、 $\frac{9.8}{9.8} = 1.0 s$
(3) 高さは $y = v_{0} sin 3 0^{\circ} \cdot t - \frac{1}{2} g t^{2}$ 。値を入れると、 $9.8 \times 1.0 - \frac{1}{2} \times 9.8 \times 1. 0^{2} = 4.9 m$

ここで間違えやすい　(2) で $0 = 19.6 - 9.8 t$ と、初速度をそのまま鉛直方向の式に入れてしまうこと。鉛直方向に使うのは鉛直成分の $9.8 m/s$ である。

問 2　水平な地面から、水平方向と $4 5^{\circ}$ の角をなす向きに、速さ $14 m/s$ で小球を投げ上げた。(1) 地面に戻るまでの時間を求めよ。(2) 水平到達距離を求めよ。 $sin 4 5^{\circ} ≒ 0.71$ 、 $sin 9 0^{\circ} = 1$ とする。

(1) $2.0 s$ 　(2) $20 m$

方針　地面に戻るのは $y = 0$ になるときで、その時刻は鉛直方向の式だけで決まる。投げ出した点と落下点が同じ高さなので、水平到達距離は $L = \frac{v _{0}^{2} s i n 2 θ}{g}$ で求められる。

(1) $y = v_{0} sin 4 5^{\circ} \cdot t - \frac{1}{2} g t^{2} = 0$ の、 $t = 0$ でない解は $t = \frac{2 v _{0} s i n 4 5 ^{\circ}}{g}$
値を入れると、 $\frac{2 \times 14 \times 0.71}{9.8} = \frac{19.88}{9.8} ≒ 2.0 s$
(2) $θ = 4 5^{\circ}$ なので $2 θ = 9 0^{\circ}$ 。 $L = \frac{v _{0}^{2} s i n 9 0 ^{\circ}}{g}$
値を入れると、 $\frac{1 4 ^{2} \times 1}{9.8} = \frac{196}{9.8} = 20 m$

問 3　水平な地面から、速さ $14 m/s$ で小球を投げ上げる。投射の角（水平方向から上向きに測る）を $3 0^{\circ}$ にした場合と $6 0^{\circ}$ にした場合について、(1) 水平到達距離をそれぞれ求めよ。(2) 最高点の高さをそれぞれ求めよ。 $sin 6 0^{\circ} ≒ 0.87$ 、 $sin 12 0^{\circ} = sin 6 0^{\circ}$ 、 $sin^{2} 3 0^{\circ} = 0.25$ 、 $sin^{2} 6 0^{\circ} = 0.75$ とする。

(1) どちらも $17 m$ 　(2) $3 0^{\circ}$ のとき $2.5 m$ 、 $6 0^{\circ}$ のとき $7.5 m$

方針　水平到達距離は $L = \frac{v _{0}^{2} s i n 2 θ}{g}$ 、最高点の高さは $H = \frac{v _{0}^{2} s i n ^{2} θ}{2 g}$ で求める。距離は $2 θ$ の $sin$ で、高さは $θ$ の $sin$ で決まることに注意する。

(1) $3 0^{\circ}$ のとき $2 θ = 6 0^{\circ}$ 。値を入れると、 $\frac{1 4 ^{2} \times 0.87}{9.8} = \frac{170.52}{9.8} = 17.4 ≒ 17 m$
$6 0^{\circ}$ のとき $2 θ = 12 0^{\circ}$ 。 $sin 12 0^{\circ} = sin 6 0^{\circ}$ なので、 $3 0^{\circ}$ のときと同じ式になり、 $17 m$
(2) $3 0^{\circ}$ のとき、高さは $\frac{1 4 ^{2} \times 0.25}{2 \times 9.8} = \frac{49}{19.6} = 2.5 m$
$6 0^{\circ}$ のとき、高さは $\frac{1 4 ^{2} \times 0.75}{2 \times 9.8} = \frac{147}{19.6} = 7.5 m$

ここで間違えやすい　「到達距離が同じだから、高さも滞空時間も同じ」と考えてしまうこと。 $6 0^{\circ}$ のほうが高く上がり、長く飛んでいる。水平方向の速さが小さいぶん、同じ距離になる。

問 4　高さ $9.8 m$ のがけの上から、水平方向と $3 0^{\circ}$ の角をなす斜め上向きに、速さ $9.8 m/s$ で小球を投げた。(1) 小球が、がけの下の水平な地面に達するまでの時間を求めよ。(2) 投げた点の真下から落下点までの水平距離を求めよ。 $sin 3 0^{\circ} = 0.50$ 、 $cos 3 0^{\circ} ≒ 0.87$ とする。

(1) $2.0 s$ 　(2) $17 m$

方針　落下点は投げた点より低いので、 $L = \frac{v _{0}^{2} s i n 2 θ}{g}$ は使えない。投げた点を原点、鉛直上向きを正として、鉛直方向の式で $y = - 9.8 m$ になる時刻を求め、水平方向の式に入れる。

初速度の鉛直成分は $9.8 \times 0.50 = 4.9 m/s$
初速度の水平成分は $9.8 \times 0.87 = 8.526 m/s$
(1) 鉛直方向の式 $y = v_{0} sin 3 0^{\circ} \cdot t - \frac{1}{2} g t^{2}$ に、 $y = - 9.8$ と値を入れると、 $- 9.8 = 4.9 t - 4.9 t^{2}$
両辺を $4.9$ で割ると $- 2 = t - t^{2}$ 。整理して $t^{2} - t - 2 = 0$
因数分解すると $(t - 2) (t + 1) = 0$ 。 $t > 0$ なので、 $t = 2.0 s$
(2) 水平方向は等速なので、 $8.526 \times 2.0 = 17.052 ≒ 17 m$

ここで間違えやすい　(1) で $y = 9.8$ とおいてしまうこと。鉛直上向きを正としたので、投げた点より下にある地面の座標は負である。

問 5　水平な地面から、水平方向と $4 5^{\circ}$ の角をなす向きに小球を投げ上げたところ、水平到達距離は $40 m$ だった。(1) 初速度の大きさを求めよ。(2) 最高点の高さを求めよ。 $sin 9 0^{\circ} = 1$ 、 $sin^{2} 4 5^{\circ} = 0.50$ とする。

(1) $20 m/s$ 　(2) $10 m$

方針　投げた点と落下点が同じ高さなので、 $L = \frac{v _{0}^{2} s i n 2 θ}{g}$ を $v_{0}$ について解く。最高点の高さは $H = \frac{v _{0}^{2} s i n ^{2} θ}{2 g}$ に、求めた $v_{0}^{2}$ を入れる。

(1) $θ = 4 5^{\circ}$ なので $sin 2 θ = sin 9 0^{\circ} = 1$ 。 $L = \frac{v _{0}^{2}}{g}$ から $v_{0}^{2} = g L$
値を入れると、 $9.8 \times 40 = 392$
$v_{0} > 0$ なので、 $v_{0} = 392 ≒ 20 m/s$
(2) $H = \frac{v _{0}^{2} s i n ^{2} 4 5 ^{\circ}}{2 g}$ に、丸める前の $v_{0}^{2} = 392$ を入れると、 $\frac{392 \times 0.50}{2 \times 9.8} = \frac{196}{19.6} = 10 m$