平面内の速度の合成と相対速度｜高校物理

学習指導要領物理 (1) ア (ｱ) ㋐「平面内を運動する物体の運動について理解すること。」。

0. どういうまとまりか

物理基礎では、一直線上の速度の合成と相対速度を、符号つきの足し算と引き算で扱いました。
平面内では、同じことをベクトルの足し算と引き算で行います。式の形は直線上のときと変わりません。変わるのは、計算を成分ごとに行うことだけです。

	式	図での求め方
速度の合成	$v = v_{1} + v_{2}$	$v_{1}$ と $v_{2}$ を 2 辺とする平行四辺形の対角線
相対速度（A から見た B の速度）	$v_{A B} = v_{B} - v_{A}$	始点をそろえて、 $v_{A}$ の先から $v_{B}$ の先へ引いた矢印

分かれ目は次の 3 つ。

合成は足し算、相対速度は引き算。どちらもベクトルの計算で、速さどうしをそのまま足し引きしてよいのは一直線上のときだけ
相対速度で引くのは、見る側（観測者）の速度。「A から見た B」なら $v_{B} - v_{A}$
川を渡る時間を決めるのは、岸に垂直な速度の成分だけ。流れは船を下流へ運ぶが、向こう岸へ近づける働きはしない

1. 速度の合成

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(ア)-㋐

流れのある川を進む船のように、動いているものの上でさらに動く物体の速度は、2 つの速度のベクトルの和になります。

平面内の速度の合成は、どんな式で表されるか？図ではどう求めるか？

$v = v_{1} + v_{2}$ （ベクトルの和）。図では、 $v_{1}$ と $v_{2}$ を 2 辺とする平行四辺形の対角線が合成速度

川を進む船なら、 $v_{1}$ が静水に対する船の速度、 $v_{2}$ が川の流れの速度、 $v$ が岸から見た船の速度である。

2 つの速度を合成するとき、成分ではどう計算するか？

成分ごとに足す。 $v_{x} = v_{1 x} + v_{2 x}$ 、 $v_{y} = v_{1 y} + v_{2 y}$

合成速度の大きさは、足したあとの成分から $v_{x}^{2} + v_{y}^{2}$ で求める。2 つの速度が同じ向きでないかぎり、もとの 2 つの速さを足しても、合成速度の大きさにはならない。

互いに垂直な 2 つの速度（速さ $v_{1}$ と $v_{2}$ ）を合成した速度の大きさは？

$v_{1}^{2} + v_{2}^{2}$

2 つの速度を 2 辺とする長方形の対角線の長さにあたる。例えば $3.0 m/s$ と $4.0 m/s$ なら $5.0 m/s$ である。

流れのある川で、船首を流れに垂直に（向こう岸へまっすぐ）向けて進む。岸から見ると船はどう進むか？渡りきるまでの時間は何で決まるか？

斜め下流へ向かって進む。渡りきるまでの時間は「川幅 ÷ 静水に対する船の速さ」で、流れの速さによらない

流れの速度は岸に平行なので、岸に垂直な速度の成分を変えない。流れが速いほど、同じ時間のあいだに下流へ流される距離が大きくなるだけである。

流れの速さ $u$ の川を、静水に対する速さ $v$ の船で、岸に垂直にまっすぐ渡りたい。船首はどちらへ向けるか？そのとき岸から見た船の速さは？

船首を上流側へ斜めに向ける。岸から見た速さは $v^{2} - u^{2}$

船の速度の、流れに平行な成分で流れの速度 $u$ を打ち消す。残るのは岸に垂直な成分だけになる。 $v$ が $u$ より大きくないと、まっすぐには渡れない。

2. 相対速度

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(ア)-㋐

動いている観測者から見ると、相手の速度は地面から見たものとは違って見えます。その速度が相対速度です。

平面内を運動する A と B について、A から見た B の相対速度 $v_{A B}$ は、どんな式で表されるか？

$v_{A B} = v_{B} - v_{A}$

$v_{A}$ 、 $v_{B}$ は、地面から見た A、B の速度。直線上のときの $v_{A B} = v_{B} - v_{A}$ を、そのままベクトルにした式である。

相対速度の式で、引くのはどちらの速度か？

見る側（観測者）の速度を、相手（見られる側）の速度から引く

「A から見た B」なら観測者は A なので、 $v_{B}$ から $v_{A}$ を引く。「B に対する A の相対速度」と言われたら、観測者は B である。

相対速度を、成分ではどう計算するか？

成分ごとに引く。 $v_{A B}$ の $x$ 成分は $v_{B x} - v_{A x}$ 、 $y$ 成分は $v_{B y} - v_{A y}$

相対速度の大きさは、引いたあとの成分から三平方の定理で求める。2 つの速度が同じ向きでないかぎり、速さどうしを引いても、相対速度の大きさにはならない。

相対速度 $v_{A B} = v_{B} - v_{A}$ を、図で求める手順は？

$v_{A}$ と $v_{B}$ の始点をそろえて描き、 $v_{A}$ の先から $v_{B}$ の先へ矢印を引く

$v_{B}$ に、 $v_{A}$ と逆向きで同じ大きさのベクトル $- v_{A}$ を足す、と考えても同じ矢印になる。

A から見た B の相対速度 $v_{A B}$ と、B から見た A の相対速度 $v_{B A}$ は、どんな関係にあるか？

大きさが等しく、向きが逆（ $v_{B A} = - v_{A B}$ ）

引く順番が入れかわるだけなので、符号が逆になる。

地面から見た A の速度 $v_{A}$ と、A から見た B の相対速度 $v_{A B}$ が分かっている。地面から見た B の速度は？

$v_{B} = v_{A} + v_{A B}$

相対速度の式を移項しただけである。速度の合成は、この式と同じ形をしている（岸から見た船の速度 = 流れの速度 + 流れに対する船の速度）。

風の無い日に、雨が鉛直に速さ $u$ で降っている。水平に速さ $V$ で走る電車の中から見ると、雨はどう降って見えるか？

進行方向の前方から、斜めに降ってくるように見える。鉛直方向からの傾きの角を $θ$ とすると $tan θ = \frac{V}{u}$

電車から見た雨の速度は「雨の速度 − 電車の速度」。鉛直下向きに $u$ 、水平には進行方向と逆向きに $V$ の成分をもつ。

練習問題

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(ア)-㋐

問 1　流れの速さが $1.5 m/s$ 、川幅が $60 m$ のまっすぐな川がある。静水に対する速さが $2.0 m/s$ の船が、船首を流れに垂直に向けて川を渡った。(1) 岸から見た船の速さを求めよ。(2) 向こう岸に着くまでの時間を求めよ。(3) 着いた地点は、出発点の真向かいから何 $m$ 下流か。

(1) $2.5 m/s$ 　(2) $30 s$ 　(3) $45 m$

方針　岸から見た船の速度は、静水に対する船の速度（岸に垂直）と流れの速度（岸に平行）の合成である。2 つは垂直なので、岸に垂直な方向と平行な方向を別々の等速直線運動として扱える。

(1) 垂直な 2 つの速度の合成なので、速さは $2. 0^{2} + 1. 5^{2} = 6.25 = 2.5 m/s$
(2) 岸に垂直な速度の成分は、静水に対する船の速さ $2.0 m/s$ である。流れは岸に平行なので、この成分を変えない。
川幅を岸に垂直な速さで割って、 $\frac{60}{2.0} = 30 s$
(3) この間、船は流れと同じ速さで下流へ運ばれる。距離は、 $1.5 \times 30 = 45 m$

ここで間違えやすい　(2) で川幅を合成速度 $2.5 m/s$ で割ってしまうこと。 $2.5 m/s$ で進むのは斜めの経路で、その長さは川幅より長い。

問 2　流れの速さが $1.5 m/s$ 、川幅が $80 m$ のまっすぐな川を、静水に対する速さが $2.5 m/s$ の船で、岸に垂直にまっすぐ渡りたい。(1) 船首はどちらへ向ければよいか。岸に垂直な方向から船首を傾ける角を $θ$ として、 $sin θ$ の値とともに答えよ。(2) 岸から見た船の速さを求めよ。(3) 向こう岸に着くまでの時間を求めよ。

(1) 上流側へ、 $sin θ = 0.60$ となる角だけ傾ける　(2) $2.0 m/s$ 　(3) $40 s$

方針　岸から見た船の速度が岸に垂直になればよい。そのためには、静水に対する船の速度の「流れに平行な成分」が、流れの速度をちょうど打ち消せばよい。残った岸に垂直な成分が、岸から見た速さになる。

(1) 船首を上流側へ角 $θ$ だけ傾けると、静水に対する船の速度は、上流向きに $2.5 sin θ$ 、岸に垂直に $2.5 cos θ$ の成分をもつ。
上流向きの成分が流れの速さと等しければよいので、 $2.5 sin θ = 1.5$
$sin θ$ について解くと、 $\frac{1.5}{2.5} = 0.60$
(2) 岸に垂直な成分は、三平方の定理から、 $2. 5^{2} - 1. 5^{2} = 4.0 = 2.0 m/s$
(3) 川幅をこの速さで割って、 $\frac{80}{2.0} = 40 s$

ここで間違えやすい　(2) を $2.5 + 1.5$ や $2.5 - 1.5$ としてしまうこと。2 つの速度は一直線上にないので、速さをそのまま足し引きできない。

問 3　A は東向きに $4.0 m/s$ 、B は北向きに $3.0 m/s$ で進んでいる。A から見た B の相対速度の、東西方向の成分、南北方向の成分と、大きさを求めよ。

西向きに $4.0 m/s$ 、北向きに $3.0 m/s$ の成分をもち、大きさは $5.0 m/s$

方針　東向きを $x$ 軸の正の向き、北向きを $y$ 軸の正の向きとして、2 つの速度を成分で書く。A から見た B なので、B の速度から A の速度を成分ごとに引く。

A の速度の成分は $(4.0, 0)$ 、B の速度の成分は $(0, 3.0)$ （単位は $m/s$ ）
相対速度の $x$ 成分は、 $0 - 4.0 = - 4.0 m/s$ 。負なので、西向きに $4.0 m/s$
相対速度の $y$ 成分は、 $3.0 - 0 = 3.0 m/s$ 。正なので、北向きに $3.0 m/s$
大きさは、 $(- 4.0)^{2} + 3. 0^{2} = 25 = 5.0 m/s$

ここで間違えやすい　速さの差 $4.0 - 3.0$ を相対速度の大きさとしてしまうこと。A から見ると、B は北へ進みながら西へ遠ざかっていく。

問 4　風の無い日に、雨が鉛直に速さ $6.0 m/s$ で降っている。水平なまっすぐの線路を一定の速さで走る電車の中から見ると、雨は鉛直方向から $6 0^{\circ}$ 傾いて降っているように見えた。(1) 電車の速さを求めよ。(2) 電車の中から見た雨の速さを求めよ。 $tan 6 0^{\circ} = 1.73$ 、 $cos 6 0^{\circ} = 0.50$ とする。

(1) $10 m/s$ 　(2) $12 m/s$

方針　電車から見た雨の速度は「雨の速度 − 電車の速度」である。鉛直下向きの成分は雨の速さ、水平の成分は電車の速さ（向きは進行方向と逆）になる。この 2 つを 2 辺とする直角三角形で、鉛直の辺と斜辺のなす角が $6 0^{\circ}$ である。

電車の速さを $V$ とする。相対速度の鉛直成分は $6.0 m/s$ 、水平成分は $V$
鉛直方向からの傾きが $6 0^{\circ}$ なので、 $tan 6 0^{\circ} = \frac{V}{6.0}$ 。よって $V = 6.0 tan 6 0^{\circ}$
(1) 値を入れると、 $6.0 \times 1.73 = 10.38 ≒ 10 m/s$
(2) 相対速度の大きさを $w$ とすると、鉛直成分は $w cos 6 0^{\circ}$ なので、 $w cos 6 0^{\circ} = 6.0$
$w$ について解くと、 $\frac{6.0}{0.50} = 12 m/s$

ここで間違えやすい　角を水平方向から測ったものとして $tan 6 0^{\circ} = \frac{6.0}{V}$ と立ててしまうこと。問題文の角は鉛直方向からの傾きである。

問 5　A は東向きに $6.0 m/s$ で進んでいる。A から B を見ると、B は北向きに $8.0 m/s$ で進んでいるように見えた。地面から見た B の速さを求めよ。

$10 m/s$

方針　与えられているのは相対速度なので、B の本当の速度（地面から見た速度）ではない。 $v_{A B} = v_{B} - v_{A}$ を移項した $v_{B} = v_{A} + v_{A B}$ を、成分ごとに計算する。

東向きを $x$ 軸の正の向き、北向きを $y$ 軸の正の向きとする。A の速度の成分は $(6.0, 0)$ 、A から見た B の相対速度の成分は $(0, 8.0)$ （単位は $m/s$ ）
B の速度の $x$ 成分は、 $6.0 + 0 = 6.0 m/s$
B の速度の $y$ 成分は、 $0 + 8.0 = 8.0 m/s$
速さは、 $6. 0^{2} + 8. 0^{2} = 100 = 10 m/s$

ここで間違えやすい　見えた速さ $8.0 m/s$ をそのまま B の速さとしてしまうこと。B は北へ進みながら、A と同じ速さで東へも進んでいる。