平面運動の速度と加速度｜高校物理

学習指導要領物理 (1) ア (ｱ) ㋐「平面内を運動する物体の運動について理解すること。」。

0. どういうまとまりか

物理基礎では、一直線上の運動を、正の向きを決めて符号つきの数で表しました。平面内を曲がりながら進む運動では、向きが 2 通りでは足りません。
そこで、変位・速度・加速度をベクトル（大きさと向きをもつ量）として表します。
ベクトルは、直交する $x$ 軸と $y$ 軸の方向の成分に分ければ、成分ごとに物理基礎の直線運動と同じ扱いができます。このノートは、その土台を作ります。

量	定義	向き
変位 $Δ r$	はじめの位置から終わりの位置へ引いた矢印	はじめの位置から終わりの位置へ向かう向き
平均の速度	$\frac{Δ r}{Δ t}$	変位と同じ向き
瞬間の速度 $v$	$Δ t$ をきわめて短くしたときの平均の速度	軌道の接線方向
加速度 $a$	$\frac{Δ v}{Δ t}$	速度の変化 $Δ v$ と同じ向き

分かれ目は次の 3 つ。

変位・速度・加速度はベクトルで、成分に分けて扱う。 $x$ 成分どうし、 $y$ 成分どうしで、直線運動のときと同じ計算をする
速度の向きは軌道の接線方向。加速度の向きは速度の向きではなく、速度の「変化」の向き
速さが一定でも、向きが変われば加速度がある。速度はベクトルなので、向きの変化も速度の変化である

1. 変位とベクトルの成分

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(ア)-㋐

平面内の運動では、「どれだけ」だけでなく「どの向きに」を同時に表す必要があります。そのための道具がベクトルと成分です。

平面内の運動で、変位・速度・加速度はどんな量として表すか？

ベクトル（大きさと向きをもつ量）として表す

$v$ のように矢印を付けて書く。矢印を付けない $v$ は、その大きさ（速度なら速さ）を表す。

平面内の運動で、変位と道のりはどう違うか？

変位は、はじめの位置から終わりの位置へ引いた矢印（ベクトル）。道のりは、実際に通った経路に沿った長さ

曲がって進むと、変位の大きさは道のりより小さくなる。両者が等しいのは、向きを変えずに一直線に進んだときだけ。

大きさ $v$ のベクトルが、 $x$ 軸の正の向きと角 $θ$ をなしている。 $x$ 成分と $y$ 成分は？

$v_{x} = v cos θ$ 、 $v_{y} = v sin θ$

ベクトルを対角線とする長方形を描くと、 $x$ 軸に沿った辺が $x$ 成分、 $y$ 軸に沿った辺が $y$ 成分になる。成分は、軸の負の向きを向くときは負の値になる。

成分 $v_{x}$ 、 $v_{y}$ が分かっているベクトルの、大きさと向きはどう求めるか？

大きさは $v = v_{x}^{2} + v_{y}^{2}$ 。向きは、 $x$ 軸の正の向きとなす角を $θ$ として $tan θ = \frac{v _{y}}{v _{x}}$

大きさは三平方の定理から出る。例えば成分が $3.0$ と $4.0$ なら、大きさは $5.0$ である。

2. 速度

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(ア)-㋐

速度は「変位を時間で割ったもの」で、変位がベクトルなので速度もベクトルになります。平均の速度と瞬間の速度で、向きの決まり方が違います。

平面内の運動で、平均の速度はどう定義されるか？その向きは？

時間 $Δ t$ の間の変位を $Δ r$ として、 $\frac{Δ r}{Δ t}$ 。向きは変位 $Δ r$ の向き

道のりを時間で割ったものは「平均の速さ」で、曲がって進む運動では平均の速度の大きさより大きくなる。

平面内の運動で、瞬間の速度とは？

時間 $Δ t$ をきわめて短くとったときの平均の速度

$Δ t$ を短くしていくと、変位の矢印は軌道に沿うようになる。ふつう「速度」と言えば、この瞬間の速度を指す。

曲線を描いて運動する物体の、ある点での速度の向きは？

その点での軌道の接線方向

円形の軌道を回っている物体の糸が切れると、物体は切れた点での接線の方向へ飛んでいく。

平面内の運動で、速度の $x$ 成分と $y$ 成分はどう求めるか？

変位の成分を時間で割る。 $v_{x} = \frac{Δ x}{Δ t}$ 、 $v_{y} = \frac{Δ y}{Δ t}$

$x$ 方向だけ、 $y$ 方向だけを見れば、それぞれ直線運動として扱える。平面運動を 2 つの直線運動に分けることが、この単元の基本の考え方である。

3. 加速度

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(ア)-㋐

加速度は「速度の変化を時間で割ったもの」です。速度がベクトルなので、変化もベクトルの引き算で求めます。

平面内の運動で、加速度はどう定義されるか？その向きは？

時間 $Δ t$ の間の速度の変化を $Δ v$ として、 $a = \frac{Δ v}{Δ t}$ 。向きは速度の変化 $Δ v$ の向き

加速度の向きは、速度の向き（進む向き）と同じとは限らない。成分で書けば $a_{x} = \frac{Δ v _{x}}{Δ t}$ 、 $a_{y} = \frac{Δ v _{y}}{Δ t}$ である。

速度が $v_{1}$ から $v_{2}$ に変わった。速度の変化 $Δ v$ はどう求めるか？

$Δ v = v_{2} - v_{1}$ （あとの速度から、はじめの速度を引く）。成分ごとに引き算する

図では、2 つの速度の矢印の始点をそろえ、 $v_{1}$ の先から $v_{2}$ の先へ引いた矢印が $Δ v$ になる。

速さが一定の運動でも、加速度が 0 でないのはどんなときか？

速度の向きが変わるとき（曲がって進むとき）

速度はベクトルなので、大きさが同じでも向きが変われば $Δ v$ は 0 でない。一定の速さでカーブを曲がる自動車は、加速度をもっている。

加速度の向きが速度の向きと同じ直線上にあるときと、そうでないときとで、運動はどう違うか？

同じ直線上（同じ向きか逆向き）なら、速さだけが変わる直線運動。同じ直線上になければ、速度の向きが変わる曲線運動

投げ出された物体は、鉛直下向きの加速度を受け続けるので、速度が鉛直でないかぎり曲線を描く。

加速度が一定の平面運動で、時刻 $t$ の速度と位置の成分は、どんな式で書けるか？（時刻 0 に原点にあり、初速度の成分は $v_{0 x}$ 、 $v_{0 y}$ 、加速度の成分は $a_{x}$ 、 $a_{y}$ ）

$x$ 方向は $v_{x} = v_{0 x} + a_{x} t$ 、 $x = v_{0 x} t + \frac{1}{2} a_{x} t^{2}$ 。 $y$ 方向は $v_{y} = v_{0 y} + a_{y} t$ 、 $y = v_{0 y} t + \frac{1}{2} a_{y} t^{2}$

等加速度直線運動の式を、成分ごとにそのまま使う。2 つの方向をつなぐのは、共通の時刻 $t$ だけである。

練習問題

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(ア)-㋐

問 1　ある人が、東向きに $3.0 m$ 進み、続けて北向きに $4.0 m$ 進んだ。全体で $2.0 s$ かかった。(1) 道のりと、変位の大きさを求めよ。(2) 平均の速さと、平均の速度の大きさを求めよ。

(1) 道のり $7.0 m$ 、変位の大きさ $5.0 m$ 　(2) 平均の速さ $3.5 m/s$ 、平均の速度の大きさ $2.5 m/s$

方針　道のりは通った経路の長さ、変位は出発点から到着点へ引いた矢印である。東向きと北向きは垂直なので、変位の大きさは三平方の定理で求める。平均の速さは道のりを、平均の速度は変位を、時間で割る。

(1) 道のりは、進んだ長さの合計なので、 $3.0 + 4.0 = 7.0 m$
変位は、東向きの成分が $3.0 m$ 、北向きの成分が $4.0 m$ のベクトル。大きさは $3. 0^{2} + 4. 0^{2} = 25 = 5.0 m$
(2) 平均の速さは、道のりを時間で割って、 $\frac{7.0}{2.0} = 3.5 m/s$
平均の速度の大きさは、変位の大きさを時間で割って、 $\frac{5.0}{2.0} = 2.5 m/s$

ここで間違えやすい　平均の速度を道のりから $3.5 m/s$ と答えてしまうこと。速度は変位から求める。

問 2　物体が、 $x$ 軸の正の向きから $y$ 軸の正の向きへ $3 0^{\circ}$ 傾いた向きに、速さ $10 m/s$ で進んでいる。速度の $x$ 成分と $y$ 成分を求めよ。 $sin 3 0^{\circ} = 0.50$ 、 $cos 3 0^{\circ} ≒ 0.87$ とする。

$x$ 成分 $8.7 m/s$ 、 $y$ 成分 $5.0 m/s$

方針　速度のベクトルを対角線とする長方形を考える。 $x$ 軸となす角が $3 0^{\circ}$ なので、 $x$ 成分は $v cos 3 0^{\circ}$ 、 $y$ 成分は $v sin 3 0^{\circ}$ になる。

$x$ 成分は $v_{x} = v cos 3 0^{\circ}$ 。値を入れると、 $10 \times 0.87 = 8.7 m/s$
$y$ 成分は $v_{y} = v sin 3 0^{\circ}$ 。値を入れると、 $10 \times 0.50 = 5.0 m/s$

ここで間違えやすい　 $sin$ と $cos$ を逆にしてしまうこと。角をはさむ側の軸（ここでは $x$ 軸）の成分が $cos$ である。

問 3　ある物体の速度は、はじめ $x$ 軸の正の向きに $4.0 m/s$ だった。 $2.0 s$ 後には、 $y$ 軸の正の向きに $3.0 m/s$ になっていた。この間の平均の加速度の $x$ 成分、 $y$ 成分と、大きさを求めよ。

$x$ 成分 $- 2.0 m/ s^{2}$ 、 $y$ 成分 $1.5 m/ s^{2}$ 、大きさ $2.5 m/ s^{2}$

方針　加速度は速度の変化を時間で割ったもの。速度を成分で書き、成分ごとに「あと − はじめ」を計算してから時間で割る。大きさは最後に三平方の定理で求める。

はじめの速度の成分は $v_{1 x} = 4.0 m/s$ 、 $v_{1 y} = 0$ 。あとの速度の成分は $v_{2 x} = 0$ 、 $v_{2 y} = 3.0 m/s$
速度の変化の $x$ 成分は、 $0 - 4.0 = - 4.0 m/s$
速度の変化の $y$ 成分は、 $3.0 - 0 = 3.0 m/s$
時間で割ると、加速度の $x$ 成分は $\frac{- 4.0}{2.0} = - 2.0 m/ s^{2}$
同じく、加速度の $y$ 成分は $\frac{3.0}{2.0} = 1.5 m/ s^{2}$
大きさは、 $(- 2.0)^{2} + 1. 5^{2} = 6.25 = 2.5 m/ s^{2}$

ここで間違えやすい　速さの差 $3.0 - 4.0$ から加速度を求めてしまうこと。向きが変わっているので、成分ごとに引かなければならない。

問 4　自動車が、東向きに速さ $6.0 m/s$ で進んでいた。カーブを曲がり、 $2.0 s$ 後には、同じ速さ $6.0 m/s$ で北向きに進んでいた。(1) この間の速度の変化の大きさと向きを求めよ。(2) 平均の加速度の大きさを求めよ。 $2 = 1.41$ とする。

(1) 大きさ $8.5 m/s$ 、向きは北西向き　(2) $4.2 m/ s^{2}$

方針　速さは変わっていないが、向きが変わっているので速度は変化している。東向きを $x$ 軸の正の向き、北向きを $y$ 軸の正の向きとして、成分ごとに「あと − はじめ」を計算する。

はじめの速度の成分は $(6.0, 0)$ 、あとの速度の成分は $(0, 6.0)$ （単位は $m/s$ ）
速度の変化の $x$ 成分は、 $0 - 6.0 = - 6.0 m/s$ （西向きに $6.0 m/s$ ）
速度の変化の $y$ 成分は、 $6.0 - 0 = 6.0 m/s$ （北向きに $6.0 m/s$ ）
(1) 西向きと北向きの成分が等しいので、向きは北西向き。大きさは、1 辺 $6.0$ の正方形の対角線にあたるので $6.0 \times 2$
値を入れると、 $6.0 \times 1.41 = 8.46 ≒ 8.5 m/s$
(2) 平均の加速度の大きさは、速度の変化の大きさを時間で割って、 $\frac{8.46}{2.0} = 4.23 ≒ 4.2 m/ s^{2}$

ここで間違えやすい　「速さが変わっていないから加速度は 0」と答えてしまうこと。

問 5　物体が、時刻 0 に原点を $x$ 軸の正の向きに速さ $3.0 m/s$ で通過した。物体はその後、 $y$ 軸の正の向きに大きさ $2.0 m/ s^{2}$ の一定の加速度で運動した。時刻 $2.0 s$ について、(1) 速度の成分と速さ、(2) 位置の座標を求めよ。

(1) $x$ 成分 $3.0 m/s$ 、 $y$ 成分 $4.0 m/s$ 、速さ $5.0 m/s$ 　(2) $x = 6.0 m$ 、 $y = 4.0 m$

方針　加速度は $y$ 方向だけなので、 $x$ 方向は等速直線運動、 $y$ 方向は初速度 0 の等加速度直線運動として、別々に式を立てる。速さは成分から三平方の定理で求める。

$x$ 方向は加速度が 0 なので、速度の $x$ 成分は $3.0 m/s$ のまま変わらない。
$y$ 方向は $v_{y} = a_{y} t$ 。値を入れると、 $2.0 \times 2.0 = 4.0 m/s$
(1) 速さは、 $3. 0^{2} + 4. 0^{2} = 25 = 5.0 m/s$
(2) $x$ 方向は等速なので $x = v_{0 x} t$ 。値を入れると、 $3.0 \times 2.0 = 6.0 m$
$y$ 方向は $y = \frac{1}{2} a_{y} t^{2}$ 。値を入れると、 $\frac{1}{2} \times 2.0 \times 2. 0^{2} = 4.0 m$