気体分子の運動｜高校物理 — みならいノート

学習指導要領物理 (1) ア (ｵ) ㋐「気体分子の運動と圧力との関係について理解すること。」。このノートは、分子の運動から圧力を導き、分子の速さ・平均の運動エネルギーと絶対温度との関係を扱います。

0. どういうまとまりか

気体の圧力は、ばらばらに飛び回る多数の分子が壁に衝突して、壁を押すことで生じます。
1 個の分子の衝突を力学（運動量と力積）で調べ、それを分子の数だけ足しあわせると、圧力が分子の質量と速さで書けます。
この式を状態方程式と見比べると、絶対温度は分子の平均の運動エネルギーを表す量だと分かります。

導出の筋道は次の 4 段です（1 辺の長さ $L$ の立方体の容器に、質量 $m$ の分子が $N$ 個入っている。容器の体積は $V = L^{3}$ 。 $x$ 軸に垂直な 1 つの壁に注目する）。

段	求めるもの	結果
1	1 回の衝突で、分子が壁に与える力積	$2 m v_{x}$
2	時間 $t$ の間に、1 個の分子がその壁に衝突する回数	$\frac{v _{x} t}{2 L}$
3	1 個の分子が壁に与える平均の力	$\frac{m v _{x}^{2}}{L}$
4	$N$ 個の分子による圧力	$p = \frac{N m v ^{2}}{3 V}$

$v^{2}$ は、分子の速さの 2 乗を全分子について平均した値です。

分かれ目は次の 3 つ。

1 回の衝突で壁が受ける力積は $m v_{x}$ ではなく $2 m v_{x}$ 。分子ははね返るので、運動量の変化は 2 倍になる
絶対温度が同じなら、分子の平均の運動エネルギーは気体の種類によらず同じ。速さは同じではなく、軽い分子ほど速い
2 乗平均速度の式に入れる $M$ は、 $1 mol$ あたりの質量を $kg$ で表した値。 $g$ のまま入れない

1. 圧力の正体

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(オ)-㋐

物理基礎では、温度が原子や分子の熱運動の激しさを表すことを学びました。ここでは、その熱運動が圧力を生むことを式で確かめます。

気体の圧力は、分子の運動から見ると、何によって生じるか？

熱運動する多数の分子が次々に壁に衝突し、そのたびに壁に力積を与えることで生じる

1 個の分子が与える力積はごく小さく、とびとびだが、分子の数が非常に多いので、壁は一定の力で押され続けているのと同じになる。その力を壁の面積で割ったものが圧力。

分子の運動から圧力を導くとき、分子についてどんな仮定を置くか？

分子は壁と弾性衝突をする。分子どうしの衝突、分子の間に働く力、分子の大きさ、重力は無視する

弾性衝突なので、はね返っても速さは変わらない。これらの仮定は、理想気体のモデルにあたる。

2. 圧力を導く筋道

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(オ)-㋐

「0. どういうまとまりか」の容器で考えます。分子の速度の $x$ 成分を $v_{x}$ とし、 $x$ 軸に垂直で、 $x$ 軸の正の側にある壁に注目します。

質量 $m$ の分子が、速度の $x$ 成分 $v_{x}$ で $x$ 軸に垂直な壁に弾性衝突した。この 1 回の衝突で、壁が受ける力積の大きさは？

$2 m v_{x}$

分子の運動量の $x$ 成分は $m v_{x}$ から $- m v_{x}$ に変わり、変化は $- 2 m v_{x}$ 。分子が壁から受けた力積がこれに等しく、作用・反作用の法則から、壁は逆向きに大きさ $2 m v_{x}$ の力積を受ける。

1 辺の長さ $L$ の立方体の容器の中で、速度の $x$ 成分が $v_{x}$ の分子は、時間 $t$ の間に、 $x$ 軸に垂直な 1 つの壁に何回衝突するか？

$\frac{v _{x} t}{2 L}$ 回

同じ壁にもう一度衝突するまでに、分子は $x$ 方向に 1 往復、つまり $2 L$ 進む。時間 $t$ の間に $x$ 方向に進む距離は $v_{x} t$ なので、それを $2 L$ で割る。

1 個の分子が、 $x$ 軸に垂直な 1 つの壁に与える平均の力の大きさは？どう求めるか？

$\frac{m v _{x}^{2}}{L}$ 。時間 $t$ の間に壁に与える力積の合計「1 回の力積 $2 m v_{x}$ × 衝突回数 $\frac{v _{x} t}{2 L}$ 」を、時間 $t$ で割る

力積の合計は $\frac{m v _{x}^{2} t}{L}$ 。平均の力を $f$ とすると、力積は $f t$ とも書けるので、 $f = \frac{m v _{x}^{2}}{L}$ 。

$N$ 個の分子が、 $x$ 軸に垂直な 1 つの壁に与える力の大きさ $F$ は？

$F = \frac{N m v _{x}^{2}}{L}$ （ $v_{x}^{2}$ は、 $v_{x}^{2}$ を全分子について平均した値）

分子ごとに $v_{x}$ は違うので、1 個あたりの力 $\frac{m v _{x}^{2}}{L}$ を全分子について足す。合計は「平均 × 個数」で書ける。

$v_{x}^{2}$ の平均 $v_{x}^{2}$ と、速さの 2 乗の平均 $v^{2}$ の関係は？その理由は？

$v_{x}^{2} = \frac{1}{3} v^{2}$ 。分子はどの向きにも同じように運動しているので、 $v_{x}^{2} = v_{y}^{2} = v_{z}^{2}$ となるから

三平方の定理から $v^{2} = v_{x}^{2} + v_{y}^{2} + v_{z}^{2}$ で、平均をとっても $v^{2} = v_{x}^{2} + v_{y}^{2} + v_{z}^{2}$ 。3 つが等しいので、それぞれ $v^{2}$ の 3 分の 1。

体積 $V$ の容器に、質量 $m$ の分子が $N$ 個入っている。気体の圧力 $p$ を、分子の速さの 2 乗の平均 $v^{2}$ で表すと？

$p = \frac{N m v ^{2}}{3 V}$

壁が受ける力 $F = \frac{N m v ^{2}}{3 L}$ を、壁の面積 $L^{2}$ で割る。 $L^{3} = V$ なので、この形になる。分子の数が多いほど、分子が重く速いほど、圧力は大きい。

3. 分子の運動エネルギーと絶対温度

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(オ)-㋐

圧力の式を $p V = \frac{1}{3} N m v^{2}$ と書き直し、状態方程式 $p V = n R T$ と見比べます。左辺が同じなので、右辺どうしが等しくなります。

理想気体の分子 1 個の平均の運動エネルギーを、絶対温度 $T$ で表すと？

$\frac{1}{2} m v^{2} = \frac{3}{2} k T$ （ $k$ はボルツマン定数）

$\frac{1}{3} N m v^{2} = n R T$ に $N = n N_{A}$ を入れると $m v^{2} = \frac{3 R T}{N _{A}}$ 。両辺を 2 で割り、 $\frac{R}{N _{A}}$ を $k$ と書く。

ボルツマン定数 $k$ とは？気体定数 $R$ とどんな関係にあるか？

$k = \frac{R}{N _{A}}$ 。気体定数をアボガドロ定数で割った、分子 1 個あたりの気体定数にあたる定数

単位は $J/K$ 。 $R$ は $1 mol$ あたり、 $k$ は分子 1 個あたりの量を扱うときに使う。状態方程式は $p V = N k T$ とも書ける。

温度が同じ 2 種類の理想気体で、分子 1 個の平均の運動エネルギーはどちらが大きいか？

同じ。平均の運動エネルギー $\frac{3}{2} k T$ は絶対温度だけで決まり、分子の種類（質量）によらない

絶対温度は、分子の平均の運動エネルギーの大きさを表す量である。同じなのは運動エネルギーであって、速さではない。

気体分子の 2 乗平均速度 $v^{2}$ を、絶対温度 $T$ で表すと？

$v^{2} = \frac{3 k T}{m} = \frac{3 R T}{M}$ （ $m$ は分子 1 個の質量、 $M$ は $1 mol$ あたりの質量）

$\frac{1}{2} m v^{2} = \frac{3}{2} k T$ を $v^{2}$ について解く。 $k = \frac{R}{N _{A}}$ と $M = N_{A} m$ を使うと、 $R$ と $M$ の形になる。分子の速さの目安になる値。

$v^{2} = \frac{3 R T}{M}$ の $M$ には、どんな単位の値を入れるか？

$kg/mol$ 。 $1 mol$ あたりの質量を $kg$ で表した値を入れる

分子量 4 のヘリウムなら、 $1 mol$ は $4 g$ なので $M = 4 \times 1 0^{- 3} kg/mol$ 。 $g$ のまま 4 を入れると、速さが大きくずれる。

気体分子の 2 乗平均速度は、絶対温度と分子の質量によってどう変わるか？

絶対温度の平方根に比例し、分子の質量（ $1 mol$ あたりの質量）の平方根に反比例する

絶対温度を 4 倍にすると、速さは 2 倍。同じ温度なら、軽い分子ほど速い。

練習問題

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(オ)-㋐

以下、気体は理想気体とし、気体定数を $R = 8.3 J/ (mol \cdot K)$ とします。

問 1　1 辺の長さ $0.20 m$ の立方体の容器の中を、質量 $5.0 \times 1 0^{- 26} kg$ の分子 1 個が、 $x$ 軸に平行に速さ $4.0 \times 1 0^{2} m/s$ で往復している。分子は、 $x$ 軸に垂直な壁と弾性衝突をくり返す。(1) 1 回の衝突で壁が受ける力積の大きさを求めよ。(2) この分子が、 $x$ 軸に垂直な 1 つの壁に $1.0 s$ の間に衝突する回数を求めよ。(3) この分子がその壁に与える平均の力の大きさを求めよ。

(1) $4.0 \times 1 0^{- 23} N \cdot s$ 　(2) $1.0 \times 1 0^{3}$ 回　(3) $4.0 \times 1 0^{- 20} N$

方針　圧力を導く筋道の 1 段目から 3 段目を、数値でたどる。力積は運動量の変化から、回数は往復の距離から求め、平均の力は「 $1.0 s$ の間の力積の合計 ÷ 時間」で出す。

(1) 衝突の前後で、分子の運動量は $m v$ から $- m v$ に変わる。壁が受ける力積の大きさは $2 m v$
値を入れると、 $2 \times 5.0 \times 1 0^{- 26} \times 4.0 \times 1 0^{2} = 4.0 \times 1 0^{- 23} N \cdot s$
(2) 同じ壁にもう一度衝突するまでに進む距離は、1 往復ぶんの $2 \times 0.20 = 0.40 m$
$1.0 s$ の間に進む距離は $4.0 \times 1 0^{2} m$ なので、回数は $\frac{4.0 \times 1 0 ^{2}}{0.40} = 1.0 \times 1 0^{3}$ 回
(3) $1.0 s$ の間に壁が受ける力積の合計は、 $4.0 \times 1 0^{- 23} \times 1.0 \times 1 0^{3} = 4.0 \times 1 0^{- 20} N \cdot s$
これを時間 $1.0 s$ で割ると、平均の力は $4.0 \times 1 0^{- 20} N$

ここで間違えやすい　(1) を $m v$ として半分にしてしまうこと。分子は止まるのではなく、同じ速さではね返る。(2) では片道の $0.20 m$ で割らない。

問 2　温度 $300 K$ の気体がある。ボルツマン定数を $1.38 \times 1 0^{- 23} J/K$ とする。(1) 分子 1 個の平均の運動エネルギーを求めよ。(2) 温度を $600 K$ にすると、平均の運動エネルギーは何倍になるか。

(1) $6.21 \times 1 0^{- 21} J$ 　(2) 2 倍

方針　分子 1 個の平均の運動エネルギーは $\frac{3}{2} k T$ で、絶対温度だけで決まる。気体の種類や分子の質量は要らない。

(1) $\frac{1}{2} m v^{2} = \frac{3}{2} k T$ に値を入れる
$\frac{3}{2} \times 1.38 \times 1 0^{- 23} \times 300 = 6.21 \times 1 0^{- 21} J$
(2) 平均の運動エネルギーは絶対温度に比例する
絶対温度は $\frac{600}{300} = 2$ 倍になったので、平均の運動エネルギーも 2 倍

問 3　温度 $300 K$ のヘリウムについて、分子の 2 乗平均速度を求めよ。ヘリウム $1 mol$ の質量を $4.0 \times 1 0^{- 3} kg$ とする。

$1.4 \times 1 0^{3} m/s$

方針　 $v^{2} = \frac{3 R T}{M}$ を使う。 $M$ は $kg/mol$ で入れる。先に根号の中を計算し、10 の偶数乗をくくり出してから平方根をとる。

$M = 4.0 \times 1 0^{- 3} kg/mol$ 、 $T = 300 K$
根号の中は、 $\frac{3 \times 8.3 \times 300}{4.0 \times 1 0 ^{- 3}} = 1.8675 \times 1 0^{6}$
平方根をとると、 $1.8675 \times 1 0^{6} = 1.8675 \times 1 0^{3}$
$1.8675 ≒ 1.37$ なので、有効数字 2 桁で $1.4 \times 1 0^{3} m/s$

ここで間違えやすい　 $M$ に $4.0$ （ $g$ の値）を入れること。根号の中が 1000 分の 1 になり、速さが約 $43 m/s$ と、桁違いに小さく出る。

問 4　同じ温度の水素と酸素がある。 $1 mol$ の質量は、水素が $2.0 \times 1 0^{- 3} kg$ 、酸素が $3.2 \times 1 0^{- 2} kg$ である。(1) 分子 1 個の平均の運動エネルギーは、水素が酸素の何倍か。(2) 分子の 2 乗平均速度は、水素が酸素の何倍か。

(1) 1 倍（等しい）　(2) 4 倍

方針　平均の運動エネルギー $\frac{3}{2} k T$ は温度だけで決まる。2 乗平均速度 $\frac{3 R T}{M}$ は、温度が同じなら $M$ の平方根に反比例する。

(1) 温度が同じなので、 $\frac{3}{2} k T$ は水素も酸素も同じ値。1 倍
(2) 2 乗平均速度の比は、 $3 R T$ が共通なので、 $1 mol$ の質量の比の平方根を逆にしたものになる
水素の速さ ÷ 酸素の速さは、 $\frac{3.2 \times 1 0 ^{- 2}}{2.0 \times 1 0 ^{- 3}} = 16 = 4$
水素の分子は、酸素の分子の 4 倍の速さで運動している

ここで間違えやすい　質量が 16 分の 1 だから速さは 16 倍、としてしまうこと。運動エネルギーが等しいので、速さの 2 乗が 16 倍で、速さは 4 倍である。

問 5　体積 $2.0 \times 1 0^{- 2} m^{3}$ の容器に、質量の合計が $3.0 \times 1 0^{- 2} kg$ の気体が入っている。圧力は $1.0 \times 1 0^{5} Pa$ である。分子の 2 乗平均速度を求めよ。

$4.5 \times 1 0^{2} m/s$

方針　 $p = \frac{N m v ^{2}}{3 V}$ の $N m$ は「分子 1 個の質量 × 個数」で、気体全体の質量にあたる。分子の数や温度が分からなくても、この式から $v^{2}$ が出る。

$p = \frac{N m v ^{2}}{3 V}$ を $v^{2}$ について解くと、 $v^{2} = \frac{3 p V}{N m}$
$N m$ は気体全体の質量で、 $3.0 \times 1 0^{- 2} kg$
値を入れると、 $\frac{3 \times 1.0 \times 1 0 ^{5} \times 2.0 \times 1 0 ^{- 2}}{3.0 \times 1 0 ^{- 2}} = 2.0 \times 1 0^{5}$ （単位は $m^{2} / s^{2}$ ）
平方根をとると、 $2.0 \times 1 0^{5} = 20 \times 1 0^{2}$
$20 ≒ 4.47$ なので、有効数字 2 桁で $4.5 \times 1 0^{2} m/s$