気体の内部エネルギー｜高校物理

学習指導要領物理 (1) ア (ｵ) ㋑「気体の内部エネルギーについて，気体分子の運動と関連付けて理解すること。」。

0. どういうまとまりか

物理基礎では、物体を構成する原子や分子がもつエネルギーの総和を内部エネルギーと呼びました。
理想気体では分子の間に力が働かないので、内部エネルギーは分子の運動エネルギーの和だけになります。
分子 1 個の平均の運動エネルギーは絶対温度で決まるので、理想気体の内部エネルギーも絶対温度だけで決まり、絶対温度に比例します。

単原子分子の理想気体（物質量 $n$ 、絶対温度 $T$ 、圧力 $p$ 、体積 $V$ 、気体定数 $R$ ）について、式は次のとおりです。

知りたいもの	式	使う場面
内部エネルギー	$U = \frac{3}{2} n R T$	物質量と温度が分かっているとき
内部エネルギー（圧力と体積で）	$U = \frac{3}{2} p V$	圧力と体積が分かっているとき
内部エネルギーの変化	$Δ U = \frac{3}{2} n R Δ T$	温度が $Δ T$ だけ変わったとき

分かれ目は次の 3 つ。

理想気体の内部エネルギーは温度だけで決まる。体積や圧力が変わっても、温度が同じなら変わらない
内部エネルギーの変化は、はじめと終わりの温度だけで決まる。途中でどう変化させたかによらない
係数 $\frac{3}{2}$ が使えるのは単原子分子の理想気体。問題文の「単原子分子」を確かめてから使う

1. 理想気体の内部エネルギーとは

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(オ)-㋑

内部エネルギーの中身を、分子の運動から見直します。

理想気体の内部エネルギーとは、何の和か？

気体の分子がもつ、熱運動の運動エネルギーの総和

理想気体では分子の間に力が働かないと考えるので、分子の間の力による位置エネルギーが無い。残るのは運動エネルギーだけ。

実在の物体の内部エネルギーと、理想気体の内部エネルギーは、中身がどう違うか？

実在の物体では「熱運動の運動エネルギー」と「分子の間に働く力による位置エネルギー」の和。理想気体では運動エネルギーだけ

液体や固体は分子どうしが近く、位置エネルギーを無視できない。理想気体はこれを無視したので、内部エネルギーが温度だけで決まる。

単原子分子とは？例を挙げよ。

原子 1 個がそのまま分子としてふるまうもの。ヘリウム、ネオン、アルゴンなど

単原子分子の運動エネルギーは、分子全体が飛び回る運動のエネルギーだけ。水素や酸素のように原子 2 個からなる分子は、回転の運動エネルギーももつ。

2. 単原子分子の理想気体の式

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(オ)-㋑

分子 1 個の平均の運動エネルギー $\frac{3}{2} k T$ （ $k$ はボルツマン定数）に、分子の数を掛ければ内部エネルギーになります。

単原子分子の理想気体 $n [mol]$ の、絶対温度 $T$ での内部エネルギー $U$ は？どう導くか？

$U = \frac{3}{2} n R T$ 。分子 1 個の平均の運動エネルギー $\frac{3}{2} k T$ に、分子の数 $N = n N_{A}$ を掛ける

$U = n N_{A} \times \frac{3}{2} k T$ で、 $N_{A} k = R$ なので $\frac{3}{2} n R T$ になる。

単原子分子の理想気体の内部エネルギーを、圧力 $p$ と体積 $V$ で表すと？

$U = \frac{3}{2} p V$

$U = \frac{3}{2} n R T$ に状態方程式 $p V = n R T$ を入れる。物質量や温度が与えられていなくても、圧力と体積から内部エネルギーが出せる。

単原子分子の理想気体 $n [mol]$ の温度が $Δ T$ だけ変わったとき、内部エネルギーの変化 $Δ U$ は？

$Δ U = \frac{3}{2} n R Δ T$

$Δ T$ は温度の差なので、 $K$ で測っても $^{\circ} C$ で測っても同じ数になる。温度が上がれば $Δ U$ は正、下がれば負。

理想気体の内部エネルギーは、温度とどんな関係にあるか？

絶対温度に比例する

絶対温度が 2 倍になれば、内部エネルギーも 2 倍。比例するのは絶対温度に対してであり、セルシウス温度が 2 倍になっても内部エネルギーは 2 倍にならない。

$U = \frac{3}{2} n R T$ は、どんな気体に使える式か？

単原子分子の理想気体

原子 2 個からなる分子の気体は、回転の運動エネルギーをもつぶん、内部エネルギーが $\frac{3}{2} n R T$ より大きい。その場合も、内部エネルギーが絶対温度に比例することは変わらない。

3. 温度だけで決まるということ

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(オ)-㋑

$U = \frac{3}{2} n R T$ には、体積も圧力も入っていません。このことが、次のノートで状態変化を調べるときの決め手になります。

一定量の理想気体の体積や圧力を変えた。変化の前後で温度が同じなら、内部エネルギーはどうなっているか？

変わっていない。理想気体の内部エネルギーは、温度だけで決まる

体積が 2 倍になっていても、圧力が半分になっていても、温度が同じなら分子の平均の運動エネルギーが同じで、その和も同じ。

一定量の理想気体を、状態 A から状態 B へ変化させた。内部エネルギーの変化は、途中の変化のさせ方によって変わるか？

変わらない。はじめの温度と終わりの温度だけで決まる

内部エネルギーは、そのときの状態（温度）で決まる量だからである。これに対して、気体が吸収する熱量や、気体がする仕事は、途中の変化のさせ方によって変わる。

一定量の理想気体が、ある変化をして元の状態に戻った。この間の内部エネルギーの変化は？

元の状態に戻れば温度も元に戻るので、内部エネルギーも元の値に戻る。途中で熱の出入りや仕事があっても同じ。

断熱材で囲んだ 2 つの容器に、温度の違う理想気体が入っている。容器をつないで気体を混ぜたとき、混ぜる前後で保たれる量は？

内部エネルギーの和と、物質量の和

外部と熱のやり取りが無く、容器全体の体積も変わらないので外部へ仕事もしない。エネルギーの出入りが無いので、2 つの気体の内部エネルギーの和が保存される。混ぜたあとの温度は、この式から求める。

練習問題

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(オ)-㋑

以下、気体は単原子分子の理想気体とし、気体定数を $R = 8.3 J/ (mol \cdot K)$ とします。

問 1　物質量 $2.0 mol$ 、温度 $300 K$ の気体がある。(1) 内部エネルギーを求めよ。(2) 温度を $600 K$ にすると、内部エネルギーは何倍になるか。

(1) $7.5 \times 1 0^{3} J$ 　(2) 2 倍

方針　物質量と温度が分かっているので、 $U = \frac{3}{2} n R T$ を使う。内部エネルギーは絶対温度に比例する。

(1) $n = 2.0 mol$ 、 $T = 300 K$ を $U = \frac{3}{2} n R T$ に入れる
$\frac{3}{2} \times 2.0 \times 8.3 \times 300 = 7470 ≒ 7.5 \times 1 0^{3} J$
(2) 絶対温度は $\frac{600}{300} = 2$ 倍になった
内部エネルギーは絶対温度に比例するので、2 倍

問 2　物質量 $1.0 mol$ の気体の温度を、 $27^{\circ} C$ から $77^{\circ} C$ に上げた。内部エネルギーの変化を求めよ。

$6.2 \times 1 0^{2} J$ 増加した

方針　温度の変化が分かっているので、 $Δ U = \frac{3}{2} n R Δ T$ を使う。 $Δ T$ は温度の差なので、セルシウス温度のまま引いてよい。

温度の変化は $Δ T = 77 - 27 = 50 K$
$Δ U = \frac{3}{2} n R Δ T$ に値を入れる
$\frac{3}{2} \times 1.0 \times 8.3 \times 50 = 622.5 ≒ 6.2 \times 1 0^{2} J$
$Δ U$ が正なので、内部エネルギーは増加した

ここで間違えやすい　 $Δ T$ に 273 を足して $323$ としてしまうこと。273 を足すのは温度そのものを直すときだけで、差には足さない。

問 3　圧力 $2.0 \times 1 0^{5} Pa$ 、体積 $3.0 \times 1 0^{- 3} m^{3}$ の気体がある。(1) 内部エネルギーを求めよ。(2) 圧力を一定に保ったまま、体積を $5.0 \times 1 0^{- 3} m^{3}$ にした。内部エネルギーの変化を求めよ。

(1) $9.0 \times 1 0^{2} J$ 　(2) $6.0 \times 1 0^{2} J$ 増加した

方針　物質量も温度も与えられていないが、圧力と体積が分かっているので $U = \frac{3}{2} p V$ を使う。(2) は、変化のあとの内部エネルギーを同じ式で求めて、差をとる。

(1) $U = \frac{3}{2} p V$ に値を入れる
$\frac{3}{2} \times 2.0 \times 1 0^{5} \times 3.0 \times 1 0^{- 3} = 9.0 \times 1 0^{2} J$
(2) 変化のあとの内部エネルギーは、 $\frac{3}{2} \times 2.0 \times 1 0^{5} \times 5.0 \times 1 0^{- 3} = 1.5 \times 1 0^{3} J$
差をとると、 $1500 - 900 = 600 J$ で、 $6.0 \times 1 0^{2} J$
差が正なので、内部エネルギーは増加した。圧力一定で体積が増えたので、温度が上がっている

問 4　断熱材で囲んだ容器 A に $2.0 mol$ 、 $300 K$ の気体が、同じく断熱材で囲んだ容器 B に $3.0 mol$ 、 $400 K$ の気体が入っている。2 つの容器を細い管でつないで気体を混ぜ、十分に時間がたった。混ぜたあとの気体の温度を求めよ。

$3.6 \times 1 0^{2} K$

方針　外部との熱のやり取りも仕事も無いので、内部エネルギーの和が保存される。混ぜる前の 2 つの気体の内部エネルギーの和と、混ぜたあとの全体の内部エネルギーを等しいとおく。

混ぜたあとの温度を $T$ とする。物質量の和は $2.0 + 3.0 = 5.0 mol$
内部エネルギーの和が保存されるので、 $\frac{3}{2} \times 2.0 \times R \times 300 + \frac{3}{2} \times 3.0 \times R \times 400 = \frac{3}{2} \times 5.0 \times R \times T$
両辺を $\frac{3}{2} R$ で割ると、 $2.0 \times 300 + 3.0 \times 400 = 5.0 \times T$
左辺は $2.0 \times 300 + 3.0 \times 400 = 1800$
$T$ について解くと、 $\frac{1800}{5.0} = 360 K$ で、 $3.6 \times 1 0^{2} K$

ここで間違えやすい　2 つの温度をそのまま平均して $350 K$ としてしまうこと。物質量が違うので、物質量の多い B の温度のほうに寄る。

問 5　物質量 $1.0 mol$ 、温度 $300 K$ 、圧力 $2.0 \times 1 0^{5} Pa$ の気体を、温度を一定に保ったまま、体積が 2 倍になるまでゆっくり膨張させた。(1) 内部エネルギーの変化を求めよ。(2) 膨張したあとの圧力を求めよ。

(1) $0 J$ （変化しない）　(2) $1.0 \times 1 0^{5} Pa$

方針　内部エネルギーは温度だけで決まるので、温度が変わらなければ内部エネルギーも変わらない。圧力は、温度が一定なのでボイルの法則から求める。

(1) 変化の前後で温度は $300 K$ のまま。 $Δ T = 0$ なので、 $Δ U = \frac{3}{2} n R Δ T = 0 J$
(2) 温度が一定なので、ボイルの法則 $p_{1} V_{1} = p_{2} V_{2}$ が成り立つ
体積が 2 倍になったので、圧力は 2 分の 1 になる
$\frac{2.0 \times 1 0 ^{5}}{2} = 1.0 \times 1 0^{5} Pa$

ここで間違えやすい　体積も圧力も変わったのだから内部エネルギーも変わった、と考えてしまうこと。圧力は半分、体積は 2 倍で、 $\frac{3}{2} p V$ は同じ値のままである。