気体の状態変化｜高校物理 — みならいノート

学習指導要領物理 (1) ア (ｵ) ㋒「気体の状態変化に関する実験などを行い，熱，仕事及び内部エネルギーの関係を理解すること。」。

0. どういうまとまりか

気体を温めたり、押し縮めたりすると、圧力・体積・温度が変わります。このとき、熱・仕事・内部エネルギーの間の決まりが熱力学第一法則です。
法則そのものは物理基礎で学びました。ここでは理想気体に当てはめ、代表的な 4 つの変化（定積・定圧・等温・断熱）で、熱と仕事と内部エネルギーがそれぞれどうなるかを整理します。

このノートの符号の約束は次の 1 つに決め、最後まで変えません。

$Q$ は気体が吸収した熱量（放出したときは負）
$W$ は気体が外部からされた仕事（気体が外部へ仕事をしたときは負）
$Δ U$ は内部エネルギーの増加（減少したときは負）
熱力学第一法則は $Δ U = Q + W$
気体が外部へした仕事を書きたいときは、別の文字 $W^{'}$ を使う（ $W^{'} = - W$ ）

変化	一定に保つもの	された仕事 $W$	内部エネルギーの変化 $Δ U$	熱力学第一法則の形
定積変化	体積	$0$	温度が上がれば正	$Δ U = Q$
定圧変化	圧力	$- p Δ V$	温度が上がれば正	$Δ U = Q - p Δ V$
等温変化	温度	膨張で負、圧縮で正	$0$	$0 = Q + W$
断熱変化	（熱の出入りが無い。 $Q = 0$ ）	膨張で負、圧縮で正	$W$ に等しい	$Δ U = W$

分かれ目は次の 3 つ。

仕事の符号は、体積が増えたか減ったかで決まる。膨張なら気体が仕事をし（ $W < 0$ ）、圧縮なら気体が仕事をされる（ $W > 0$ ）
4 つの変化は、それぞれ第一法則の 3 つの量のうち 1 つが 0 になる（定圧変化を除く）。定積は $W = 0$ 、等温は $Δ U = 0$ 、断熱は $Q = 0$
等温変化と断熱変化を取り違えない。等温は温度が変わらず熱が出入りする。断熱は熱が出入りせず温度が変わる

1. 熱力学第一法則と符号

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(オ)-㋒

式を書く前に、問題文の「吸収した・放出した」「した・された」を読んで、符号を決めます。

気体に当てはめた熱力学第一法則を、式で書け。それぞれの文字は何を表すか？

$Δ U = Q + W$ 。 $Δ U$ は気体の内部エネルギーの増加、 $Q$ は気体が吸収した熱量、 $W$ は気体が外部からされた仕事

気体に入ってきたエネルギーの合計だけ、内部エネルギーが増える。気体が外部へした仕事 $W^{'}$ で書くと $Q = Δ U + W^{'}$ で、「吸収した熱は、内部エネルギーの増加と、外部への仕事に使われる」と読める。

気体が膨張するときと、圧縮されるときで、気体がされた仕事 $W$ の符号はどうなるか？

膨張するときは負（気体が外部へ仕事をする）。圧縮されるときは正（気体が外部から仕事をされる）

膨張するとき、気体はピストンを押す向きに動かすので、外部へ正の仕事をする。そのぶん気体はエネルギーを失うので、された仕事は負。

2. 気体がする仕事

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(オ)-㋒

気体の仕事は、ピストンを押す力と、ピストンが動いた距離から求めます。

圧力 $p$ を一定に保ったまま、気体の体積が $Δ V$ だけ増えた。気体が外部へした仕事 $W^{'}$ は？どう導くか？

$W^{'} = p Δ V$ 。断面積 $S$ のピストンを、力 $pS$ で距離 $Δ x$ だけ押すので、仕事は $pS Δ x$ 。 $S Δ x$ が体積の増加 $Δ V$ にあたる

された仕事で書くと $W = - p Δ V$ 。体積が減るときは $Δ V$ が負になり、 $W$ は正になる。

縦軸に圧力 $p$ 、横軸に体積 $V$ をとった $p$ - $V$ グラフで、気体がした仕事の大きさは、何で表されるか？

変化を表す線と、横軸（ $V$ 軸）とではさまれた部分の面積

圧力が一定なら長方形で $p Δ V$ 。圧力が変わりながら体積が変わるときも、線の下の面積が仕事の大きさになる。線が直線なら、台形の面積として求められる。

$p$ - $V$ グラフ上で、状態が右向き（体積が増える向き）に進むときと、左向き（体積が減る向き）に進むときで、仕事はどう違うか？

右向きに進むときは、気体が外部へ仕事をする（ $W < 0$ ）。左向きに進むときは、気体が外部から仕事をされる（ $W > 0$ ）。大きさはどちらも線の下の面積

真上や真下に進むとき（体積が変わらないとき）は、面積が無く、仕事は 0。

3. 4 つの変化

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(オ)-㋒

どの変化でも、使う式は熱力学第一法則 $Δ U = Q + W$ と状態方程式の 2 つだけです。変化ごとの条件を入れると、式が短くなります。

定積変化とは？このとき、熱力学第一法則はどうなるか？

体積を一定に保つ変化。仕事が 0 なので $Δ U = Q$

吸収した熱量が、すべて内部エネルギーの増加になる。ふたを固定した容器の中の気体を温めるときがこれにあたる。

定圧変化とは？このとき、熱力学第一法則はどうなるか？

圧力を一定に保つ変化。 $W = - p Δ V$ なので $Δ U = Q - p Δ V$ （ $Q = Δ U + p Δ V$ ）

吸収した熱量の一部が内部エネルギーの増加になり、残りが外部への仕事になる。なめらかに動くピストンで閉じこめた気体を、ゆっくり温めるときがこれにあたる。

物質量 $n$ の理想気体が、定圧変化で温度が $Δ T$ だけ上がった。気体が外部へした仕事 $p Δ V$ を、 $n$ と $Δ T$ で表すと？

$p Δ V = n R Δ T$

変化の前後の状態方程式 $p V_{1} = n R T_{1}$ 、 $p V_{2} = n R T_{2}$ の差をとる。圧力や体積が分からなくても、物質量と温度の変化から仕事が出せる。

等温変化とは？このとき、熱力学第一法則はどうなるか？

温度を一定に保つ変化。理想気体では $Δ U = 0$ なので $0 = Q + W$ （ $Q = W^{'}$ ）

膨張するときは、吸収した熱量がすべて外部への仕事になる。圧縮されるときは、された仕事と同じ量の熱を放出する。温度が一定なので、ボイルの法則が成り立つ。

断熱変化とは？このとき、熱力学第一法則はどうなるか？

熱の出入りが無い変化。 $Q = 0$ なので $Δ U = W$

された仕事が、そのまま内部エネルギーの増加になる。温度が変わるので、ボイルの法則は成り立たない。

理想気体を断熱圧縮すると、温度はどうなるか？断熱膨張させると、どうなるか？

断熱圧縮では温度が上がる。断熱膨張では温度が下がる

圧縮では $W > 0$ なので $Δ U = W > 0$ で、内部エネルギーが増える。理想気体の内部エネルギーは温度だけで決まるので、温度が上がる。膨張では、外部へ仕事をしたぶん内部エネルギーが減る。

等温変化と断熱変化は、それぞれどうすれば実現できるか？

等温変化は、熱をよく通す容器に入れ、まわりと熱をやり取りしながらゆっくり変化させる。断熱変化は、断熱材で囲むか、熱が出入りする間もないほど急激に変化させる

「熱をよく通す容器でゆっくり」が等温、「断熱材」か「急激に」が断熱の合図。「ゆっくり」だけでは等温と決まらない。断熱材で囲んだ気体は、ゆっくり動かしても断熱変化である。

同じ状態の理想気体を、等温変化と断熱変化で、同じ体積まで膨張させた。膨張したあとの圧力が低いのはどちらか？

断熱変化のほうが低い

等温変化では温度が変わらないが、断熱膨張では温度が下がる。同じ体積なら、状態方程式から、温度が低いほうが圧力も低い。そのため $p$ - $V$ グラフでは、断熱変化の曲線のほうが等温変化の曲線より傾きが急になる。

練習問題

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(オ)-㋒

以下、気体は理想気体とし、気体定数を $R = 8.3 J/ (mol \cdot K)$ とします。 $Q$ ・ $W$ ・ $W^{'}$ ・ $Δ U$ の意味は、このノートの冒頭の約束のとおりです。

問 1　気体が、圧力を $1.0 \times 1 0^{5} Pa$ に保ったまま、体積 $2.0 \times 1 0^{- 3} m^{3}$ から $5.0 \times 1 0^{- 3} m^{3}$ まで膨張した。この間に、気体は $7.5 \times 1 0^{2} J$ の熱量を吸収した。(1) 気体が外部へした仕事を求めよ。(2) 内部エネルギーの変化を求めよ。

(1) $3.0 \times 1 0^{2} J$ 　(2) $4.5 \times 1 0^{2} J$ 増加した

方針　圧力が一定なので、気体がした仕事は $W^{'} = p Δ V$ 。熱力学第一法則 $Δ U = Q + W$ の $W$ は「された」仕事なので、した仕事は負の数にして入れる。

(1) 体積の増加は $5.0 \times 1 0^{- 3} - 2.0 \times 1 0^{- 3} = 3.0 \times 1 0^{- 3} m^{3}$
気体がした仕事は $W^{'} = p Δ V$ 。値を入れると、 $1.0 \times 1 0^{5} \times 3.0 \times 1 0^{- 3} = 3.0 \times 1 0^{2} J$
(2) 熱量は吸収したので、 $Q = 750 J$
仕事は外部へ「した」ので、された仕事は $W = - 300 J$
$Δ U = Q + W$ に入れると、 $750 + (- 300) = 450 J$ で、 $4.5 \times 1 0^{2} J$
$Δ U$ が正なので、内部エネルギーは増加した

ここで間違えやすい　 $W = 300$ のまま足して $1050 J$ としてしまうこと。膨張した気体は外部へ仕事をしていて、そのぶんエネルギーを失っている。

問 2　単原子分子の理想気体 $2.0 mol$ を、体積を一定に保ったまま温め、 $4.0 \times 1 0^{2} J$ の熱量を吸収させた。(1) 内部エネルギーの変化を求めよ。(2) 温度は何 $K$ 上がるか。

(1) $4.0 \times 1 0^{2} J$ 増加した　(2) $16 K$

方針　定積変化なので仕事は 0 で、 $Δ U = Q$ 。温度の上昇は、単原子分子の理想気体の $Δ U = \frac{3}{2} n R Δ T$ から求める。

(1) 体積が変わらないので、 $W = 0$
$Δ U = Q + W$ から $Δ U = Q$ 。内部エネルギーは $4.0 \times 1 0^{2} J$ 増加した
(2) $Δ U = \frac{3}{2} n R Δ T$ を $Δ T$ について解くと、 $Δ T = \frac{Δ U}{\frac{3}{2} n R}$
分母は $\frac{3}{2} \times 2.0 \times 8.3 = 24.9$
割ると、 $\frac{400}{24.9} ≒ 16 K$

問 3　単原子分子の理想気体 $3.0 mol$ を、圧力を一定に保ったまま、 $300 K$ から $400 K$ まで温めた。(1) 内部エネルギーの変化を求めよ。(2) 気体が外部へした仕事を求めよ。(3) 気体が吸収した熱量を求めよ。

(1) $3.7 \times 1 0^{3} J$ 増加した　(2) $2.5 \times 1 0^{3} J$ 　(3) $6.2 \times 1 0^{3} J$

方針　内部エネルギーの変化は、温度の変化だけで決まる。定圧変化で気体がした仕事は $p Δ V = n R Δ T$ 。吸収した熱量は、熱力学第一法則を $Q = Δ U + W^{'}$ の形にして求める。

温度の変化は $Δ T = 400 - 300 = 100 K$
(1) $Δ U = \frac{3}{2} n R Δ T$ に値を入れると、 $\frac{3}{2} \times 3.0 \times 8.3 \times 100 = 3735 ≒ 3.7 \times 1 0^{3} J$
(2) $W^{'} = p Δ V = n R Δ T$ に値を入れると、 $3.0 \times 8.3 \times 100 = 2490 ≒ 2.5 \times 1 0^{3} J$
(3) された仕事は $W = - W^{'}$ なので、 $Δ U = Q + W$ から $Q = Δ U + W^{'}$
丸める前の値で足すと、 $3735 + 2490 = 6225 ≒ 6.2 \times 1 0^{3} J$

ここで間違えやすい　(3) で、定積変化のように $Q = Δ U$ としてしまうこと。定圧変化では、気体は膨張して外部へ仕事をするので、そのぶん多くの熱量が要る。

問 4　単原子分子の理想気体 $1.0 mol$ を膨張させ、外部へ $5.0 \times 1 0^{2} J$ の仕事をさせた。次のそれぞれの場合について答えよ。(1) 等温変化で膨張させたとき、内部エネルギーの変化と、気体が吸収した熱量を求めよ。(2) 断熱変化で膨張させたとき、内部エネルギーの変化と、温度の変化を求めよ。

(1) 内部エネルギーの変化 $0 J$ 、吸収した熱量 $5.0 \times 1 0^{2} J$ 　(2) 内部エネルギーは $5.0 \times 1 0^{2} J$ 減少し、温度は $40 K$ 下がる

方針　外部へした仕事は同じでも、等温変化では $Δ U = 0$ 、断熱変化では $Q = 0$ と、0 になる量が違う。どちらも、された仕事は $W = - 500 J$ として熱力学第一法則に入れる。

気体は外部へ仕事を「した」ので、された仕事は $W = - 500 J$
(1) 等温変化では温度が変わらないので、 $Δ U = 0 J$
$Δ U = Q + W$ から $Q = - W$ 。 $Q = 500 J$ で、 $5.0 \times 1 0^{2} J$ を吸収した
(2) 断熱変化では $Q = 0$ なので、 $Δ U = W = - 500 J$ 。内部エネルギーは $5.0 \times 1 0^{2} J$ 減少した
$Δ U = \frac{3}{2} n R Δ T$ を $Δ T$ について解く。分母になる $\frac{3}{2} n R$ は、 $\frac{3}{2} \times 1.0 \times 8.3 = 12.45$
$Δ T$ は $\frac{- 500}{12.45} ≒ - 40 K$ 。符号が負なので、温度は $40 K$ 下がる

ここで間違えやすい　(1) で「熱を吸収したのだから温度が上がる」と考えてしまうこと。等温変化では、吸収した熱量をすべて外部への仕事に使うので、内部エネルギーも温度も変わらない。

問 5　単原子分子の理想気体を、状態 A（圧力 $1.0 \times 1 0^{5} Pa$ 、体積 $1.0 \times 1 0^{- 3} m^{3}$ ）から状態 B（圧力 $3.0 \times 1 0^{5} Pa$ 、体積 $3.0 \times 1 0^{- 3} m^{3}$ ）へ変化させた。この変化は、 $p$ - $V$ グラフ上で A と B を結ぶ直線で表される。(1) 気体が外部へした仕事を求めよ。(2) 内部エネルギーの変化を求めよ。(3) 気体が吸収した熱量を求めよ。

(1) $4.0 \times 1 0^{2} J$ 　(2) $1.2 \times 1 0^{3} J$ 増加した　(3) $1.6 \times 1 0^{3} J$

方針　圧力が変わりながら膨張するので、仕事は $p$ - $V$ グラフの線の下の面積（台形）で求める。内部エネルギーは、途中の経路によらず、はじめと終わりの $\frac{3}{2} p V$ の差で決まる。熱量は熱力学第一法則から出す。

(1) 線の下の部分は、上底 $1.0 \times 1 0^{5} Pa$ 、下底 $3.0 \times 1 0^{5} Pa$ 、高さ（体積の増加） $3.0 \times 1 0^{- 3} - 1.0 \times 1 0^{- 3} = 2.0 \times 1 0^{- 3} m^{3}$ の台形
台形の面積は、 $\frac{( 1.0 \times 1 0 ^{5} + 3.0 \times 1 0 ^{5} ) \times 2.0 \times 1 0 ^{- 3}}{2} = 4.0 \times 1 0^{2} J$ 。体積が増えているので、これは気体が外部へした仕事 $W^{'}$
(2) A での $p V$ は、 $1.0 \times 1 0^{5} \times 1.0 \times 1 0^{- 3} = 100 J$
B での $p V$ は、 $3.0 \times 1 0^{5} \times 3.0 \times 1 0^{- 3} = 900 J$
$U = \frac{3}{2} p V$ なので、内部エネルギーの変化は $\frac{3}{2} \times (900 - 100) = 1200 J$ で、 $1.2 \times 1 0^{3} J$ の増加
(3) $Δ U = Q + W$ と $W = - W^{'}$ から、 $Q = Δ U + W^{'}$
値を入れると、 $1200 + 400 = 1600 J$ で、 $1.6 \times 1 0^{3} J$ を吸収した

ここで間違えやすい　(1) を、はじめの圧力や終わりの圧力だけを使って $p Δ V$ で計算してしまうこと。圧力が変わるときは、線の下の面積で求める。