モル比熱と熱サイクル｜高校物理

学習指導要領物理 (1) ア (ｵ) ㋒「気体の状態変化に関する実験などを行い，熱，仕事及び内部エネルギーの関係を理解すること。」。このノートは、気体を温めるのに要る熱量（モル比熱）と、変化をひと回りさせて元に戻す熱サイクルを扱います。

0. どういうまとまりか

同じ気体を同じ温度だけ温めるのにも、体積を一定にして温めるか、圧力を一定にして温めるかで、要る熱量が違います。
圧力を一定にすると気体が膨張して外部へ仕事をするので、そのぶん余計に熱が要るからです。この違いを表すのが、2 種類のモル比熱です。
後半では、いくつかの変化をつないで元の状態に戻る熱サイクルを扱います。熱機関は、気体にこのサイクルをくり返させて、熱を仕事に変えています。

符号の約束は、前のノート「気体の状態変化」と同じです。 $Q$ は気体が吸収した熱量、 $W$ は気体が外部からされた仕事、 $W^{'}$ は気体が外部へした仕事（ $W^{'} = - W$ ）で、熱力学第一法則は $Δ U = Q + W$ です。

	定積変化	定圧変化
吸収する熱量	$Q = n C_{V} Δ T$	$Q = n C_{p} Δ T$
モル比熱（単原子分子の理想気体）	$C_{V} = \frac{3}{2} R$	$C_{p} = \frac{5}{2} R$
2 つの関係（理想気体ならどれでも）	$C_{p} = C_{V} + R$

熱サイクルで知りたいもの	式
1 周の内部エネルギーの変化	$Δ U = 0$
1 周で気体が外部へした正味の仕事	$W^{'} = Q_{in} - Q_{out}$ （ $p$ - $V$ グラフでは、サイクルが囲む面積）
熱効率	$e = \frac{W ^{'}}{Q _{in}}$

$Q_{in}$ は 1 周の間に吸収した熱量の合計、 $Q_{out}$ は放出した熱量の合計で、どちらも大きさ（正の値）で表します。

分かれ目は次の 3 つ。

定圧モル比熱は、定積モル比熱より $R$ だけ大きい。膨張して外部へ仕事をするぶんの熱が余計に要る
$Δ U = n C_{V} Δ T$ は、定積変化でなくても使える。理想気体の内部エネルギーの変化は、温度の変化だけで決まる
熱効率の分母は、吸収した熱量だけの合計 $Q_{in}$ 。放出した熱量を差し引いた値を分母にしない

1. モル比熱

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(オ)-㋒

物理基礎の比熱は「 $1 g$ あたり」でした。気体では、量を物質量で数えた「 $1 mol$ あたり」の比熱を使います。

モル比熱とは？熱量を求める式と、単位は？

物質 $1 mol$ の温度を $1 K$ 上げるのに必要な熱量。モル比熱を $C$ とすると $Q = n C Δ T$ 。単位は $J/ (mol \cdot K)$

気体定数 $R$ と同じ単位である。気体は、温め方（体積を一定にするか、圧力を一定にするか）によってモル比熱の値が違う。

定積モル比熱 $C_{V}$ とは？単原子分子の理想気体では、いくらか？どう導くか？

体積を一定にして温めるときのモル比熱。単原子分子の理想気体では $C_{V} = \frac{3}{2} R$ 。定積変化では仕事が 0 なので、 $Q = Δ U = \frac{3}{2} n R Δ T$ 。これを $Q = n C_{V} Δ T$ と見比べる

吸収した熱が、すべて内部エネルギーの増加になる。

定圧モル比熱 $C_{p}$ とは？単原子分子の理想気体では、いくらか？どう導くか？

圧力を一定にして温めるときのモル比熱。単原子分子の理想気体では $C_{p} = \frac{5}{2} R$ 。定圧変化では $Q = Δ U + p Δ V = \frac{3}{2} n R Δ T + n R Δ T$ 。これを $Q = n C_{p} Δ T$ と見比べる

定圧変化で気体がする仕事は $p Δ V = n R Δ T$ 。この仕事のぶんが、定積のときの熱量に加わる。

理想気体の定圧モル比熱 $C_{p}$ と定積モル比熱 $C_{V}$ の間に成り立つ関係は？

$C_{p} = C_{V} + R$ （マイヤーの関係）

単原子分子でなくても、理想気体なら成り立つ。 $Q = Δ U + p Δ V$ に、 $Δ U = n C_{V} Δ T$ と $p Δ V = n R Δ T$ を入れると出てくる。

定圧モル比熱が定積モル比熱より大きいのは、なぜか？

圧力を一定にして温めると、気体は膨張して外部へ仕事をする。内部エネルギーを増やす熱に加えて、この仕事のぶんの熱が要るから

温度の上がり方が同じなら、内部エネルギーの増加は同じ。違いは、外部への仕事があるかどうかだけ。

理想気体の内部エネルギーの変化を表す $Δ U = n C_{V} Δ T$ は、定積変化のときにしか使えないか？

どんな変化でも使える。理想気体の内部エネルギーの変化は、温度の変化 $Δ T$ だけで決まり、途中の変化のさせ方によらない

定圧変化でも断熱変化でも、 $Δ U = n C_{V} Δ T$ 。「定積」の名前に引きずられて、定圧変化の内部エネルギーの変化を $n C_{p} Δ T$ としない。

2. 熱サイクルと熱効率

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(オ)-㋒

熱機関と熱効率の定義は物理基礎で学びました。ここでは、気体の状態変化をつないだサイクルについて、熱力学第一法則と $p$ - $V$ グラフを使って仕事と熱効率を求めます。

熱サイクルとは？ 1 周したとき、気体の内部エネルギーの変化はいくらか？

いくつかの状態変化を経て、元の状態に戻る変化。1 周したときの内部エネルギーの変化は 0

元の状態に戻れば温度も元に戻る。理想気体の内部エネルギーは温度だけで決まるので、元の値に戻る。

熱サイクルの 1 周で、吸収した熱量の合計を $Q_{in}$ 、放出した熱量の合計を $Q_{out}$ とする。気体が外部へした正味の仕事 $W^{'}$ は？

$W^{'} = Q_{in} - Q_{out}$

1 周について熱力学第一法則を書くと、 $Δ U = 0$ なので、正味で吸収した熱量がすべて正味の仕事になる。「正味の仕事」は、膨張のときにした仕事から、圧縮のときにされた仕事を引いたもの。

$p$ - $V$ グラフ上の熱サイクルで、1 周の間に気体がした正味の仕事の大きさは、何で表されるか？

サイクルを表す線が囲む部分の面積

膨張するときにした仕事（上側の線の下の面積）から、圧縮されるときにされた仕事（下側の線の下の面積）を引くと、囲まれた部分だけが残る。

$p$ - $V$ グラフ上の熱サイクルが、時計回りに回るときと、反時計回りに回るときで、正味の仕事はどう違うか？

時計回りなら、気体は外部へ正味の仕事をする。反時計回りなら、気体は外部から正味の仕事をされる

時計回りでは、圧力の高い側で膨張し、圧力の低い側で圧縮されるので、した仕事のほうが大きい。熱機関は時計回りのサイクルである。

熱サイクルの熱効率 $e$ は？ $Q_{in}$ にはどの熱量を入れるか？

$e = \frac{W ^{'}}{Q _{in}} = \frac{Q _{in} - Q _{out}}{Q _{in}}$ 。 $Q_{in}$ には、熱を吸収する過程の熱量だけを足したものを入れる

熱を放出する過程の熱量を差し引いてはいけない。差し引くと分母が $W^{'}$ と同じになり、熱効率がいつも 1 になってしまう。

熱サイクルの各過程が、熱を吸収する過程か、放出する過程かは、どう見分けるか？

過程ごとに熱力学第一法則で $Q$ の符号を調べる。定積変化は、圧力（温度）が上がれば吸収。定圧変化は、膨張すれば吸収。等温変化は、膨張すれば吸収。断熱変化は、熱の出入りが無い

逆向き（定積で圧力が下がる、定圧や等温で圧縮される）なら放出。定圧で膨張すると温度が上がるので、 $Δ U$ も $W^{'}$ も正で、 $Q = Δ U + W^{'}$ は正になる。

熱力学第二法則とは、どんな内容の法則か？

熱は、低温の物体から高温の物体へ、ひとりでに移ることはない。言いかえると、吸収した熱をすべて仕事に変え続ける熱機関は存在しない（熱効率は 1 にならない）

熱力学第一法則はエネルギーの量が保たれることを、第二法則は熱の関わる変化に向きがあること（不可逆変化）を表す。

練習問題

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(オ)-㋒

以下、気体は理想気体とし、気体定数を $R = 8.3 J/ (mol \cdot K)$ とします。

問 1　単原子分子の理想気体 $2.0 mol$ の温度を、 $300 K$ から $320 K$ に上げる。(1) 体積を一定に保って温めるとき、吸収する熱量を求めよ。(2) 圧力を一定に保って温めるとき、吸収する熱量を求めよ。(3) (2) のとき、気体が外部へする仕事を求めよ。

(1) $5.0 \times 1 0^{2} J$ 　(2) $8.3 \times 1 0^{2} J$ 　(3) $3.3 \times 1 0^{2} J$

方針　単原子分子の理想気体なので、 $C_{V} = \frac{3}{2} R$ 、 $C_{p} = \frac{5}{2} R$ 。熱量は $Q = n C Δ T$ で求める。定圧変化でする仕事は $p Δ V = n R Δ T$ で、(1) と (2) の熱量の差に等しい。

温度の変化は $Δ T = 320 - 300 = 20 K$
(1) $Q = n C_{V} Δ T$ に値を入れると、 $2.0 \times \frac{3}{2} \times 8.3 \times 20 = 498 ≒ 5.0 \times 1 0^{2} J$
(2) $Q = n C_{p} Δ T$ に値を入れると、 $2.0 \times \frac{5}{2} \times 8.3 \times 20 = 830 J$ で、 $8.3 \times 1 0^{2} J$
(3) 定圧変化で気体がする仕事は $W^{'} = n R Δ T$ 。値を入れると、 $2.0 \times 8.3 \times 20 = 332 ≒ 3.3 \times 1 0^{2} J$
確かめ。(2) と (1) の熱量の差は $830 - 498 = 332 J$ で、(3) と一致する

問 2　ある理想気体 $2.0 mol$ を、体積を一定に保って温めたところ、温度を $10 K$ 上げるのに $4.2 \times 1 0^{2} J$ の熱量が必要だった。この気体の (1) 定積モル比熱と (2) 定圧モル比熱を求めよ。

(1) $21 J/ (mol \cdot K)$ 　(2) $29 J/ (mol \cdot K)$

方針　単原子分子とは書かれていないので、 $\frac{3}{2} R$ は使えない。定積モル比熱は $Q = n C_{V} Δ T$ から求め、定圧モル比熱はマイヤーの関係 $C_{p} = C_{V} + R$ で出す。

(1) $Q = n C_{V} Δ T$ を $C_{V}$ について解くと、 $C_{V} = \frac{Q}{n Δ T}$
値を入れると、 $\frac{420}{2.0 \times 10} = 21 J/ (mol \cdot K)$
(2) $C_{p} = C_{V} + R$ に値を入れると、 $21 + 8.3 = 29.3 ≒ 29 J/ (mol \cdot K)$

ここで間違えやすい　理想気体だからと $C_{V} = \frac{3}{2} R$ を当てはめること。 $\frac{3}{2} R$ は約 $12 J/ (mol \cdot K)$ で、この気体の値とは違う。単原子分子でない気体である。

問 3　問 2 の気体 $2.0 mol$ を、圧力を一定に保って温め、温度を $50 K$ 上げた。定積モル比熱は $21 J/ (mol \cdot K)$ 、定圧モル比熱は $29.3 J/ (mol \cdot K)$ として、(1) 内部エネルギーの変化、(2) 吸収した熱量、(3) 気体が外部へした仕事を求めよ。

(1) $2.1 \times 1 0^{3} J$ 増加した　(2) $2.9 \times 1 0^{3} J$ 　(3) $8.3 \times 1 0^{2} J$

方針　定圧変化でも、内部エネルギーの変化は $Δ U = n C_{V} Δ T$ 。吸収した熱量は $Q = n C_{p} Δ T$ 。仕事は、熱力学第一法則から $W^{'} = Q - Δ U$ で出す。

(1) $Δ U = n C_{V} Δ T$ に値を入れると、 $2.0 \times 21 \times 50 = 2100 J$ で、 $2.1 \times 1 0^{3} J$ の増加
(2) $Q = n C_{p} Δ T$ に値を入れると、 $2.0 \times 29.3 \times 50 = 2930 ≒ 2.9 \times 1 0^{3} J$
(3) $Δ U = Q + W$ と $W = - W^{'}$ から、 $W^{'} = Q - Δ U$
丸める前の値で引くと、 $2930 - 2100 = 830 J$ で、 $8.3 \times 1 0^{2} J$
確かめ。定圧変化の仕事は $n R Δ T$ でも求められ、 $2.0 \times 8.3 \times 50 = 830 J$ で一致する

ここで間違えやすい　(1) を、定圧変化だからと $n C_{p} Δ T$ で計算してしまうこと。 $n C_{p} Δ T$ は吸収した熱量で、内部エネルギーの変化ではない。

問 4　単原子分子の理想気体を、次の順に変化させて元の状態に戻した。状態 A（圧力 $1.0 \times 1 0^{5} Pa$ 、体積 $1.0 \times 1 0^{- 3} m^{3}$ ）から、体積を一定に保って圧力 $3.0 \times 1 0^{5} Pa$ の状態 B へ。B から、圧力を一定に保って体積 $3.0 \times 1 0^{- 3} m^{3}$ の状態 C へ。C から、体積を一定に保って圧力 $1.0 \times 1 0^{5} Pa$ の状態 D へ。D から、圧力を一定に保って A へ。(1) 1 周の間に気体が外部へした正味の仕事を求めよ。(2) 1 周の間に気体が吸収した熱量の合計を求めよ。(3) このサイクルの熱効率を求めよ。

(1) $4.0 \times 1 0^{2} J$ 　(2) $1.8 \times 1 0^{3} J$ 　(3) $0.22$

方針　 $p$ - $V$ グラフ上では長方形のサイクルで、正味の仕事は長方形の面積。熱を吸収するのは、圧力が上がる定積変化（A から B）と、膨張する定圧変化（B から C）の 2 つ。それぞれの熱量を熱力学第一法則で求めて足す。

(1) 長方形の縦は圧力の差で、 $3.0 \times 1 0^{5} - 1.0 \times 1 0^{5} = 2.0 \times 1 0^{5} Pa$
横は体積の差で、 $3.0 \times 1 0^{- 3} - 1.0 \times 1 0^{- 3} = 2.0 \times 1 0^{- 3} m^{3}$
面積は $2.0 \times 1 0^{5} \times 2.0 \times 1 0^{- 3} = 4.0 \times 1 0^{2} J$ 。B から C へ（高い圧力で）膨張し、D から A へ（低い圧力で）圧縮されるので、気体は外部へ正味の仕事をしている
(2) A から B は定積変化で、仕事は 0。吸収した熱量は内部エネルギーの増加に等しく、 $U = \frac{3}{2} p V$ から $\frac{3}{2} V Δ p$
値を入れると、 $\frac{3}{2} \times 1.0 \times 1 0^{- 3} \times 2.0 \times 1 0^{5} = 300 J$
B から C は定圧変化。内部エネルギーの増加は $\frac{3}{2} p Δ V$ 、外部へした仕事は $p Δ V$ なので、吸収した熱量は合わせて $\frac{5}{2} p Δ V$
値を入れると、 $\frac{5}{2} \times 3.0 \times 1 0^{5} \times 2.0 \times 1 0^{- 3} = 1500 J$
C から D（定積で圧力が下がる）と D から A（定圧で圧縮される）は、熱を放出する過程なので足さない。吸収した熱量の合計は $300 + 1500 = 1800 J$ で、 $1.8 \times 1 0^{3} J$
(3) 熱効率は $e = \frac{W ^{'}}{Q _{in}}$ 。値を入れると、 $\frac{400}{1800} ≒ 0.22$

ここで間違えやすい　(1) で、B から C の仕事 $600 J$ だけを答えてしまうこと。D から A で $200 J$ の仕事をされているので、正味は $400 J$ である。

問 5　問 4 のサイクルについて、(1) 1 周の間に気体が放出した熱量の合計を求めよ。(2) 吸収した熱量の合計 $1.8 \times 1 0^{3} J$ から (1) を引いた値が、問 4 で求めた正味の仕事と一致することを確かめよ。

(1) $1.4 \times 1 0^{3} J$ 　(2) 差は $4.0 \times 1 0^{2} J$ で、正味の仕事と一致する

方針　熱を放出するのは、圧力が下がる定積変化（C から D）と、圧縮される定圧変化（D から A）。問 4 と同じように、定積変化は $\frac{3}{2} V Δ p$ 、定圧変化は $\frac{5}{2} p Δ V$ の大きさの熱量になる。

(1) C から D は定積変化（体積 $3.0 \times 1 0^{- 3} m^{3}$ ）で、圧力が $2.0 \times 1 0^{5} Pa$ 下がる。内部エネルギーが減り、仕事は 0 なので、減ったぶんの熱を放出する
放出した熱量の大きさは、 $\frac{3}{2} \times 3.0 \times 1 0^{- 3} \times 2.0 \times 1 0^{5} = 900 J$
D から A は定圧変化（圧力 $1.0 \times 1 0^{5} Pa$ ）で、体積が $2.0 \times 1 0^{- 3} m^{3}$ 減る。内部エネルギーが減り、さらに仕事をされるので、その両方のぶんの熱を放出する
放出した熱量の大きさは、 $\frac{5}{2} \times 1.0 \times 1 0^{5} \times 2.0 \times 1 0^{- 3} = 500 J$
合計は $900 + 500 = 1400 J$ で、 $1.4 \times 1 0^{3} J$
(2) 吸収した熱量との差は $1800 - 1400 = 400 J$ 。問 4 (1) の正味の仕事 $4.0 \times 1 0^{2} J$ と一致する

【発展】断熱変化では、圧力と体積の間にどんな関係が成り立つか（ポアソンの法則）

$p V^{γ} =$ 一定。 $γ = \frac{C _{p}}{C _{V}}$ は比熱比で、単原子分子の理想気体では $γ = \frac{5}{3}$

等温変化では $p V =$ 一定（ボイルの法則）ですが、断熱変化では体積の肩に比熱比 $γ$ が付きます。 $γ$ は 1 より大きいので、同じだけ膨張させたとき、断熱変化のほうが圧力の下がり方が大きくなります。 $p$ - $V$ グラフで断熱変化の曲線が等温変化の曲線より急になるのは、このためです。式の導出には高校の範囲を超える数学が要るので、結果だけを使います。問題で使うときは、ふつう問題文に式が与えられます。