正弦波の式｜高校物理 — みならいノート

学習指導要領物理 (2) ア (ｱ) ㋐「波の伝わり方とその表し方について理解すること。」。

0. どういうまとまりか

物理基礎では、波を $y$ - $x$ グラフ（ある時刻の波形）と $y$ - $t$ グラフ（ある点の振動）の 2 枚で表しました。
物理では、この 2 枚を 1 本の式にまとめます。位置 $x$ と時刻 $t$ を入れると、その点のその時刻の変位 $y$ が出る式で、これを波の式（正弦波の式）といいます。
波の式は覚えるものではなく、「原点の振動が、遅れて伝わる」という 1 つの考えから毎回作るものです。
波の進む向きが変わる反射や屈折は、次のノートでホイヘンスの原理を使って扱います。

記号は、振幅 $A$ 、周期 $T$ 、波長 $λ$ 、波の速さ $v$ です。原点の媒質は、時刻 0 に変位 0 から $y$ 軸の正の向きに動きはじめるとします。
このノートで「時刻 0 に動きはじめる」と書くときは、波はすでに $x$ 軸の全体に広がっていて、時刻 0 の瞬間に原点の媒質が変位 0 のところをその向きに通り過ぎる、という意味です（時刻 0 に初めて波が出はじめるのではありません）。

何の式か	式
原点（ $x = 0$ ）の媒質の振動	$y = A sin \frac{2 π}{T} t$
$x$ 軸の正の向きに進む正弦波	$y = A sin 2 π (\frac{t}{T} - \frac{x}{λ})$
$x$ 軸の負の向きに進む正弦波	$y = A sin 2 π (\frac{t}{T} + \frac{x}{λ})$
位相	$sin$ の中身の角 $2 π (\frac{t}{T} - \frac{x}{λ})$

分かれ目は次の 3 つ。

正の向きに進む波は、 $t$ から $\frac{x}{v}$ を引く。位置 $x$ の媒質は、原点より $\frac{x}{v}$ だけ遅れて同じ振動をするから。足すと負の向きに進む波になる
式は原点の振動から作る。原点が負の向きに動きはじめるなら $- A sin$ から始める。いつも同じ形だと決めてかからない
同位相・逆位相は、位相の差が $2 π$ の何倍かで決まる。距離でいえば、波長の整数倍だけ離れた点が同位相、半波長の奇数倍だけ離れた点が逆位相

1. 波の式を作る

根拠: 学習指導要領物理-(2)-ア-(ア)-㋐

正弦波では、媒質のどの点も同じ単振動をします。違うのは、振動を始める時刻だけです。

原点の媒質が、時刻 0 に変位 0 から $y$ 軸の正の向きに動きはじめ、振幅 $A$ 、周期 $T$ で単振動している。時刻 $t$ の変位 $y$ は？

$y = A sin \frac{2 π}{T} t$

$\frac{2 π}{T}$ は単振動の角振動数 $ω$ 。1 周期 $T$ たつと $sin$ の中身がちょうど $2 π$ 進み、もとの状態に戻る。

速さ $v$ で $x$ 軸の正の向きに進む波で、位置 $x$ の媒質の振動は、原点の振動とどういう関係にあるか？

原点より時間 $\frac{x}{v}$ だけ遅れて、同じ振動をする

原点の振動が位置 $x$ まで伝わるのに $\frac{x}{v}$ かかる。だから、位置 $x$ の時刻 $t$ の変位は、原点の時刻 $t - \frac{x}{v}$ の変位に等しい。

$x$ 軸の正の向きに進む正弦波の式（波の式）は？

$y = A sin \frac{2 π}{T} (t - \frac{x}{v}) = A sin 2 π (\frac{t}{T} - \frac{x}{λ})$

原点の式 $y = A sin \frac{2 π}{T} t$ の $t$ を $t - \frac{x}{v}$ に置きかえ、 $v T = λ$ を使って整理した形。

波の式を作る手順を、順に 3 つ言うと？

①原点の媒質の振動を式にする　②正の向きに進む波なら、その式の $t$ を $t - \frac{x}{v}$ に置きかえる　③ $v T = λ$ （ $v = f λ$ ）で整理する

①は問題の条件（時刻 0 での変位と、動きはじめる向き）から決める。

$x$ 軸の負の向きに進む正弦波の式は？正の向きの式とどこが違い、なぜそうなるか？

$y = A sin 2 π (\frac{t}{T} + \frac{x}{λ})$ 。 $x$ の項の符号が正になる。位置 $x$ の媒質が、原点より $\frac{x}{v}$ だけ早く同じ振動をするから

負の向きに進む波は、 $x$ が正の点を先に通ってから原点に届く。 $t$ を $t + \frac{x}{v}$ に置きかえる。

原点の媒質が、時刻 0 に変位 0 から $y$ 軸の負の向きに動きはじめる。正の向きに進む波の式はどうなるか？

$y = - A sin 2 π (\frac{t}{T} - \frac{x}{λ})$

原点の振動が $y = - A sin \frac{2 π}{T} t$ になるだけで、あとの手順は同じ。時刻 0 に原点が山（変位 $A$ ）にあるなら、 $A cos \frac{2 π}{T} t$ から始める。

2. 位相

根拠: 学習指導要領物理-(2)-ア-(ア)-㋐

媒質の各点が、振動のどの段階にあるかを表す量が位相です。位相を使うと、2 つの点の振動のそろい方を数で言えます。

波の式 $y = A sin 2 π (\frac{t}{T} - \frac{x}{λ})$ で、位相とは何か？

$sin$ の中身の角 $2 π (\frac{t}{T} - \frac{x}{λ})$ 。媒質がいま振動のどの状態にあるかを表す

位相が $\frac{π}{2}$ なら山、 $\frac{3 π}{2}$ なら谷。単位はラジアン。位相が $2 π$ だけ違えば、同じ状態である。

同位相・逆位相とは？波の進む方向にどれだけ離れた 2 点がそうなるか？

同位相は位相の差が $2 π$ の整数倍で、振動の状態がいつも同じ。波長の整数倍だけ離れた 2 点。逆位相は位相の差が $π$ の奇数倍で、変位がいつも逆。半波長の奇数倍だけ離れた 2 点

山と隣の山は同位相、山と隣の谷は逆位相である。

波の進む方向に距離 $Δ x$ だけ離れた 2 点の、位相の差は？位相が遅れているのはどちらの点か？

$2 π \frac{Δ x}{λ}$ 。波が後から届く点（進む向きの先にある点）のほうが遅れている

1 波長離れるごとに位相は $2 π$ ずれる。距離を波長で割って $2 π$ を掛ければよい。

固定端と自由端での反射を、位相の言葉で言うと？

固定端反射では位相が $π$ ずれる（入射波と反射波が端で逆位相になる）。自由端反射では位相はずれない

物理基礎で学んだ「固定端では山が谷になって返り、自由端では山が山のまま返る」を、位相で言いなおしたもの。

3. 式から読み取る

根拠: 学習指導要領物理-(2)-ア-(ア)-㋐

波の式が与えられたら、 $2 π (\frac{t}{T} - \frac{x}{λ})$ の形に直して見比べます。

波の式が $y = A sin 2 π (pt - q x)$ の形（ $p$ 、 $q$ は正の定数）で与えられた。周期・波長・波の速さはどう読み取るか？

周期は $T = \frac{1}{p}$ 、波長は $λ = \frac{1}{q}$ 、速さは $v = \frac{λ}{T} = \frac{p}{q}$

$\frac{t}{T} - \frac{x}{λ}$ と見比べると、 $t$ の係数 $p$ が $\frac{1}{T}$ （振動数）、 $x$ の係数 $q$ が $\frac{1}{λ}$ 。先に $2 π$ をくくり出しておくこと。

波の式を見て、波の進む向きを見分けるには？

$sin$ の中の $t$ の項と $x$ の項の符号が異なれば $x$ 軸の正の向き、同じなら負の向き

$\frac{t}{T} - \frac{x}{λ}$ も $\frac{x}{λ} - \frac{t}{T}$ も正の向きに進む波。 $\frac{t}{T} + \frac{x}{λ}$ は負の向きに進む波。

波の式で、時刻 $t$ を 1 つの値に固定すると何が得られるか？位置 $x$ を固定すると？

$t$ を固定すると、その時刻の波形（ $y$ - $x$ グラフ）。 $x$ を固定すると、その点の媒質の振動（ $y$ - $t$ グラフ）

例えば $y = A sin 2 π (\frac{t}{T} - \frac{x}{λ})$ で $t = 0$ とすると $y = - A sin \frac{2 π x}{λ}$ 。原点のすぐ先（ $x$ が少し正）は負の変位になっている。

練習問題

根拠: 学習指導要領物理-(2)-ア-(ア)-㋐

問 1　振幅 $0.20 m$ 、周期 $0.50 s$ の正弦波が、 $x$ 軸の正の向きに速さ $4.0 m/s$ で進んでいる。原点の媒質は、時刻 0 に変位 0 から $y$ 軸の正の向きに動きはじめた。位置 $x$ 〔m〕、時刻 $t$ 〔s〕での変位 $y$ 〔m〕を表す式を作れ。

$y = 0.20 sin 2 π (\frac{t}{0.50} - \frac{x}{2.0})$

方針　原点の振動を式にし、位置 $x$ では $\frac{x}{v}$ だけ遅れることを使って $t$ を置きかえる。最後に波長を出して整理する。

原点の振動は $y = A sin \frac{2 π}{T} t$ の形。値を入れると $y = 0.20 sin \frac{2 π}{0.50} t$
正の向きに進むので、位置 $x$ の媒質は原点より $\frac{x}{4.0}$ だけ遅れる。 $t$ を $t - \frac{x}{4.0}$ に置きかえると $y = 0.20 sin \frac{2 π}{0.50} (t - \frac{x}{4.0})$
波長は $λ = v T$ なので、 $4.0 \times 0.50 = 2.0 m$
$\frac{1}{0.50}$ をかっこの中に入れると、 $x$ の項の分母は $4.0 \times 0.50 = 2.0$ になり、 $y = 0.20 sin 2 π (\frac{t}{0.50} - \frac{x}{2.0})$

問 2　 $x$ 軸上を進む正弦波が、 $y = 0.30 sin 2 π (5.0 t - 0.25 x)$ と表される（ $x$ 、 $y$ の単位は m、 $t$ の単位は s）。この波の (1) 振幅、(2) 周期、(3) 波長、(4) 速さと進む向きを求めよ。

(1) $0.30 m$ 　(2) $0.20 s$ 　(3) $4.0 m$ 　(4) $20 m/s$ で、 $x$ 軸の正の向き

方針　 $y = A sin 2 π (\frac{t}{T} - \frac{x}{λ})$ と見比べる。 $t$ の係数が $\frac{1}{T}$ 、 $x$ の係数が $\frac{1}{λ}$ である。

(1) $sin$ の前の数が振幅なので、 $0.30 m$
(2) $t$ の係数は $\frac{1}{T}$ なので、周期は $\frac{1}{5.0} = 0.20 s$
(3) $x$ の係数は $\frac{1}{λ}$ なので、波長は $\frac{1}{0.25} = 4.0 m$
(4) 速さは $v = \frac{λ}{T}$ なので、 $\frac{4.0}{0.20} = 20 m/s$
$t$ の項と $x$ の項の符号が異なるので、進む向きは $x$ 軸の正の向き

問 3　 $x$ 軸上を進む正弦波が、 $y = 0.10 sin π (4.0 t + 0.50 x)$ と表される（ $x$ 、 $y$ の単位は m、 $t$ の単位は s）。この波の (1) 周期、(2) 波長、(3) 速さと進む向きを求めよ。

(1) $0.50 s$ 　(2) $4.0 m$ 　(3) $8.0 m/s$ で、 $x$ 軸の負の向き

方針　 $sin$ の中が $π (\dots)$ になっているので、まず $2 π (\dots)$ の形に直す。そのあとで係数を読む。

$π (4.0 t + 0.50 x)$ から 2 をくくり出すと、 $2 π (2.0 t + 0.25 x)$
(1) $t$ の係数は $\frac{1}{T}$ なので、周期は $\frac{1}{2.0} = 0.50 s$
(2) $x$ の係数は $\frac{1}{λ}$ なので、波長は $\frac{1}{0.25} = 4.0 m$
(3) 速さは $v = \frac{λ}{T}$ なので、 $\frac{4.0}{0.50} = 8.0 m/s$
$t$ の項と $x$ の項の符号が同じなので、進む向きは $x$ 軸の負の向き

ここで間違えやすい　 $2 π$ の形に直さずに係数を読み、周期を $\frac{1}{4.0} s$ 、波長を $\frac{1}{0.50} m$ としてしまうこと。

問 4　正弦波が $y = 0.20 sin 2 π (\frac{t}{0.50} - \frac{x}{2.0})$ と表される（ $x$ 、 $y$ の単位は m、 $t$ の単位は s）。(1) 時刻 $0.25 s$ での、位置 $0.50 m$ の媒質の変位を求めよ。(2) 同じ時刻での、位置 $1.5 m$ の媒質の変位を求めよ。(3) この 2 点の位相の差を求め、同位相か逆位相かを答えよ。

(1) $0.20 m$ 　(2) $- 0.20 m$ 　(3) 位相の差は $π$ で、逆位相

方針　式に $t$ と $x$ を入れて、先に位相（ $sin$ の中身）を計算する。位相の差は、2 点の距離を波長で割って $2 π$ を掛けても出せる。

(1) 位相は $2 π (\frac{0.25}{0.50} - \frac{0.50}{2.0}) = 2 π \times 0.25 = \frac{π}{2}$
$sin \frac{π}{2} = 1$ なので、変位は $0.20 m$ （山）
(2) 位相は $2 π (\frac{0.25}{0.50} - \frac{1.5}{2.0}) = 2 π \times (- 0.25) = - \frac{π}{2}$
$sin (- \frac{π}{2}) = - 1$ なので、変位は $- 0.20 m$ （谷）
(3) 位相の差は $\frac{π}{2} - (- \frac{π}{2}) = π$
$π$ の奇数倍なので逆位相。2 点の距離 $1.0 m$ が、半波長（波長 $2.0 m$ の半分）にあたる。

問 5　振幅 $0.050 m$ 、振動数 $2.0 Hz$ 、波長 $3.0 m$ の正弦波が、 $x$ 軸の負の向きに進んでいる。原点の媒質は、時刻 0 に変位 0 から $y$ 軸の負の向きに動きはじめた。(1) 波の速さを求めよ。(2) 位置 $x$ 〔m〕、時刻 $t$ 〔s〕での変位 $y$ 〔m〕を表す式を作れ。

(1) $6.0 m/s$ 　(2) $y = - 0.050 sin 2 π (2.0 t + \frac{x}{3.0})$

方針　原点が負の向きに動きはじめるので、原点の振動は $- A sin$ の形になる。負の向きに進む波なので、位置 $x$ の媒質は原点より $\frac{x}{v}$ だけ早く振動する。

(1) $v = f λ$ なので、 $2.0 \times 3.0 = 6.0 m/s$
(2) 周期は $T = \frac{1}{f}$ なので $\frac{1}{T} = 2.0$ 。原点の振動は $y = - 0.050 sin (2 π \times 2.0 t)$
負の向きに進むので、 $t$ を $t + \frac{x}{6.0}$ に置きかえると $y = - 0.050 sin 2 π \times 2.0 (t + \frac{x}{6.0})$
$2.0$ をかっこの中に入れると、 $x$ の項は $\frac{2.0 x}{6.0} = \frac{x}{3.0}$ になり、 $y = - 0.050 sin 2 π (2.0 t + \frac{x}{3.0})$

ここで間違えやすい　向きが 2 つ出てくる。「原点が動きはじめる向き」は $sin$ の前の符号を決め、「波が進む向き」は $x$ の項の符号を決める。別々に考える。