気体の法則と状態方程式｜高校物理

学習指導要領物理 (1) ア (ｵ) ㋐「気体分子の運動と圧力との関係について理解すること。」。このノートは、その土台になる気体の法則と、理想気体の状態方程式を扱います。

0. どういうまとまりか

閉じこめた気体のようすは、圧力 $p$ ・体積 $V$ ・絶対温度 $T$ の 3 つの量で表せます。この 3 つは勝手な値をとれず、たがいに結びついています。
1 つを一定にしたときの関係がボイルの法則とシャルルの法則で、2 つをまとめたものがボイル・シャルルの法則、さらに気体の量（物質量 $n$ ）まで入れたものが状態方程式です。
圧力は式から出すだけでなく、気体を閉じこめているピストンの力のつり合いからも決まります。

法則	一定に保つもの	式
ボイルの法則	温度（と気体の量）	$p V =$ 一定
シャルルの法則	圧力（と気体の量）	$\frac{V}{T} =$ 一定
ボイル・シャルルの法則	気体の量	$\frac{p V}{T} =$ 一定
理想気体の状態方程式	（なし）	$p V = n R T$

このノートでは、圧力は $Pa$ 、体積は $m^{3}$ 、温度は $K$ で書きます。 $R$ は気体定数です。

分かれ目は次の 3 つ。

温度は必ず絶対温度で入れる。セルシウス温度のまま入れると、比例の関係が成り立たない
気体の量が変わらないならボイル・シャルルの法則、物質量を求めるときや気体が出入りするときは状態方程式
ピストンで閉じこめた気体の圧力は、ピストンの力のつり合いから決まる。大気とピストンの重さだけで押さえられた、なめらかに動くピストンなら、温めても圧力は変わらない

1. ボイルの法則とシャルルの法則

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(オ)-㋐

一定量の気体について、圧力・体積・温度のうち 1 つを一定に保つと、残りの 2 つの間に簡単な関係が成り立ちます。

ボイルの法則とは？

温度が一定のとき、一定量の気体の体積 $V$ は圧力 $p$ に反比例する。 $p V =$ 一定（ $p_{1} V_{1} = p_{2} V_{2}$ ）

体積を半分に押し縮めると、圧力は 2 倍になる。温度を変えないことと、気体が出入りしないことが条件。

シャルルの法則とは？

圧力が一定のとき、一定量の気体の体積 $V$ は絶対温度 $T$ に比例する。 $\frac{V}{T} =$ 一定（ $\frac{V _{1}}{T _{1}} = \frac{V _{2}}{T _{2}}$ ）

温めると膨張し、冷やすと縮む。比例するのは絶対温度に対してであって、セルシウス温度に対してではない。

気体の法則や状態方程式に入れる温度は、絶対温度か、セルシウス温度か？

必ず絶対温度 $T [K]$ 。セルシウス温度 $t [^{\circ} C]$ は $T = t + 273$ で直してから入れる

圧力一定で $27^{\circ} C$ から $54^{\circ} C$ にしても、体積は 2 倍にならない。絶対温度では $300 K$ から $327 K$ で、体積は $\frac{327}{300}$ 倍になるだけ。

ボイル・シャルルの法則とは？

一定量の気体の体積 $V$ は、圧力 $p$ に反比例し、絶対温度 $T$ に比例する。 $\frac{p V}{T} =$ 一定（ $\frac{p _{1} V _{1}}{T _{1}} = \frac{p _{2} V _{2}}{T _{2}}$ ）

ボイルの法則とシャルルの法則を 1 つにまとめたもの。 $T$ が一定ならボイルの法則に、 $p$ が一定ならシャルルの法則になる。

ボイルの法則・シャルルの法則・ボイル・シャルルの法則のどれを使うかは、何を見て決めるか？

変化の前後で何が一定かを見る。温度が一定ならボイルの法則、圧力が一定ならシャルルの法則。圧力・体積・温度がすべて変わるなら、ボイル・シャルルの法則

迷ったらボイル・シャルルの法則を書けばよい。気体が出入りしないかぎり成り立ち、一定の量は両辺で消える。

2. 理想気体の状態方程式

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(オ)-㋐

ボイル・シャルルの法則の「一定」の値は、気体の量で決まります。量を物質量で表すと、気体の種類によらない 1 つの式になります。これが状態方程式です。

気体の物質量 $n [mol]$ と、分子の数 $N$ の関係は？

$N = n N_{A}$ 。 $N_{A}$ はアボガドロ定数で、 $1 mol$ あたりの粒子の数

物質量は、粒子の数をアボガドロ定数個のまとまりで数えた量。分子 1 個の質量を $m$ とすると、 $1 mol$ の質量は $N_{A} m$ になる。

理想気体の状態方程式とは？

$p V = n R T$ （ $p$ は圧力、 $V$ は体積、 $n$ は物質量、 $R$ は気体定数、 $T$ は絶対温度）

気体定数 $R$ は気体の種類によらない定数。圧力・体積・温度・物質量の 4 つのうち 3 つが分かれば、残りの 1 つが決まる。

理想気体とは、どんな気体か？

状態方程式 $p V = n R T$ に厳密に従うと考えた気体。分子の大きさと、分子の間に働く力を無視できる

実在の気体も、温度が高く圧力が低いとき（分子がまばらなとき）には理想気体とみなせる。高校の物理で扱う気体は、断りがなければ理想気体。

状態方程式で、圧力を $Pa$ 、体積を $m^{3}$ で入れると、 $p V$ の単位は何になるか？気体定数 $R$ の単位は？

$p V$ の単位は $J$ （ $Pa \cdot m^{3} = N/ m^{2} \cdot m^{3} = N \cdot m$ ）。 $R$ の単位は $J/ (mol \cdot K)$

$p V$ はエネルギーと同じ単位をもつ。体積をリットル、圧力を気圧で入れると $R$ の数値が変わるので、 $Pa$ と $m^{3}$ にそろえてから式に入れる。

ボイル・シャルルの法則と状態方程式は、どう使い分けるか？

気体の量が変わらず、前後の状態を比べるだけならボイル・シャルルの法則。物質量を求めるとき、気体が出入りして量が変わるとき、複数の容器の気体を扱うときは、状態ごとに状態方程式を立てる

$n$ が一定なら $\frac{p V}{T} = n R$ も一定で、これがボイル・シャルルの法則。状態方程式のほうが広く使える。

3. ピストンのつり合いから圧力を求める

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(オ)-㋐

気体は、触れている面を垂直に押します。面積 $S$ の面を圧力 $p$ の気体が押す力の大きさは $pS$ です。ピストンが静止している（またはゆっくり動く）なら、ピストンが受ける力はつり合っています。

水平に置いたシリンダーに、なめらかに動くピストンで気体を閉じこめた。外は大気（大気圧 $p_{0}$ ）で、ピストンは静止している。中の気体の圧力は？

$p_{0}$ （大気圧と等しい）

ピストンが水平方向に受ける力は、中の気体が押す力 $pS$ と、大気が逆向きに押す力 $p_{0} S$ の 2 つ。つり合いの式 $pS = p_{0} S$ から $p = p_{0}$ 。

鉛直に立てたシリンダーに、質量 $m$ ・断面積 $S$ のなめらかに動くピストンを上からのせて気体を閉じこめた。大気圧を $p_{0}$ 、重力加速度の大きさを $g$ として、中の気体の圧力は？

$p = p_{0} + \frac{m g}{S}$

ピストンが受ける力は、重力 $m g$ （鉛直下向き）、大気が押す力 $p_{0} S$ （鉛直下向き）、中の気体が押す力 $pS$ （鉛直上向き）の 3 つ。つり合いの式は $pS = p_{0} S + m g$ 。大気が押す力を数え忘れやすい。

なめらかに動くピストンで閉じこめた気体を、ゆっくり温めた。気体の圧力と体積はどうなるか？

圧力は変わらず、体積が増える

圧力はピストンのつり合い（ $pS = p_{0} S + m g$ など）で決まり、この式に温度は入っていない。圧力が一定なので、シャルルの法則に従って体積が絶対温度に比例して増える。ピストンにばねが付いているときは別で、ばねの力がピストンの位置で変わるので、圧力も変わる。

練習問題

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(オ)-㋐

以下、気体は理想気体とし、気体定数を $R = 8.3 J/ (mol \cdot K)$ とします。

問 1　圧力 $1.0 \times 1 0^{5} Pa$ 、体積 $6.0 \times 1 0^{- 3} m^{3}$ の気体を、温度を一定に保ったまま体積 $2.0 \times 1 0^{- 3} m^{3}$ まで圧縮した。圧縮したあとの圧力を求めよ。

$3.0 \times 1 0^{5} Pa$

方針　温度が一定で、気体は出入りしていない。ボイルの法則 $p_{1} V_{1} = p_{2} V_{2}$ を使う。

圧縮する前は $p_{1} = 1.0 \times 1 0^{5} Pa$ 、 $V_{1} = 6.0 \times 1 0^{- 3} m^{3}$ 。圧縮したあとは $V_{2} = 2.0 \times 1 0^{- 3} m^{3}$
$p_{1} V_{1} = p_{2} V_{2}$ を $p_{2}$ について解くと、 $p_{2} = \frac{p _{1} V _{1}}{V _{2}}$
値を入れると、 $\frac{1.0 \times 1 0 ^{5} \times 6.0 \times 1 0 ^{- 3}}{2.0 \times 1 0 ^{- 3}} = 3.0 \times 1 0^{5} Pa$

問 2　温度 $27^{\circ} C$ 、体積 $3.0 \times 1 0^{- 3} m^{3}$ の気体を、圧力を一定に保ったまま $127^{\circ} C$ まで温めた。温めたあとの体積を求めよ。

$4.0 \times 1 0^{- 3} m^{3}$

方針　圧力が一定なので、シャルルの法則 $\frac{V _{1}}{T _{1}} = \frac{V _{2}}{T _{2}}$ を使う。式に入れる前に、温度を絶対温度に直す。

温める前の絶対温度は $27 + 273 = 300 K$
温めたあとの絶対温度は $127 + 273 = 400 K$
$\frac{V _{1}}{T _{1}} = \frac{V _{2}}{T _{2}}$ を $V_{2}$ について解くと、 $V_{2} = \frac{V _{1} T _{2}}{T _{1}}$
値を入れると、 $\frac{3.0 \times 1 0 ^{- 3} \times 400}{300} = 4.0 \times 1 0^{- 3} m^{3}$

ここで間違えやすい　セルシウス温度のまま $\frac{127}{27}$ 倍としてしまうこと。体積が比例するのは絶対温度で、倍率は $\frac{400}{300}$ である。

問 3　圧力 $1.0 \times 1 0^{5} Pa$ 、体積 $2.0 \times 1 0^{- 3} m^{3}$ 、温度 $300 K$ の気体がある。この気体の圧力を $2.0 \times 1 0^{5} Pa$ 、温度を $360 K$ にした。このときの体積を求めよ。

$1.2 \times 1 0^{- 3} m^{3}$

方針　圧力も温度も変わっているが、気体の量は変わっていない。ボイル・シャルルの法則 $\frac{p _{1} V _{1}}{T _{1}} = \frac{p _{2} V _{2}}{T _{2}}$ を使う。

はじめは $p_{1} = 1.0 \times 1 0^{5} Pa$ 、 $V_{1} = 2.0 \times 1 0^{- 3} m^{3}$ 、 $T_{1} = 300 K$ 。あとは $p_{2} = 2.0 \times 1 0^{5} Pa$ 、 $T_{2} = 360 K$
$\frac{p _{1} V _{1}}{T _{1}} = \frac{p _{2} V _{2}}{T _{2}}$ を $V_{2}$ について解くと、 $V_{2} = \frac{p _{1} V _{1} T _{2}}{T _{1} p _{2}}$
分子は $1.0 \times 1 0^{5} \times 2.0 \times 1 0^{- 3} \times 360 = 7.2 \times 1 0^{4}$
分母は $300 \times 2.0 \times 1 0^{5} = 6.0 \times 1 0^{7}$
割ると、 $\frac{7.2 \times 1 0 ^{4}}{6.0 \times 1 0 ^{7}} = 1.2 \times 1 0^{- 3} m^{3}$

問 4　体積 $8.3 \times 1 0^{- 3} m^{3}$ の容器に、 $0.50 mol$ の気体が入っている。温度は $300 K$ である。(1) 気体の圧力を求めよ。(2) 容器の中の分子の数を求めよ。アボガドロ定数を $6.0 \times 1 0^{23} /mol$ とする。

(1) $1.5 \times 1 0^{5} Pa$ 　(2) $3.0 \times 1 0^{23}$ 個

方針　物質量が与えられ、1 つの状態について問われているので、状態方程式 $p V = n R T$ を使う。分子の数は、物質量にアボガドロ定数を掛ける。

(1) $p V = n R T$ を $p$ について解くと、 $p = \frac{n R T}{V}$
分子は $0.50 \times 8.3 \times 300 = 1245$
割ると、 $\frac{1245}{8.3 \times 1 0 ^{- 3}} = 1.5 \times 1 0^{5} Pa$
(2) 分子の数は $N = n N_{A}$ 。値を入れると、 $0.50 \times 6.0 \times 1 0^{23} = 3.0 \times 1 0^{23}$ 個

問 5　断面積 $4.9 \times 1 0^{- 3} m^{2}$ のシリンダーを鉛直に立て、質量 $10 kg$ のなめらかに動くピストンを上からのせて気体を閉じこめた。大気圧を $1.0 \times 1 0^{5} Pa$ 、重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ とする。(1) 気体の圧力を求めよ。(2) 気体の温度が $300 K$ のとき、シリンダーの底からピストンまでの高さは $0.20 m$ だった。気体をゆっくり温めて $360 K$ にすると、高さはいくらになるか。

(1) $1.2 \times 1 0^{5} Pa$ 　(2) $0.24 m$

方針　(1) 圧力は、ピストンが受ける力のつり合いから求める。(2) ピストンはなめらかに動くので、温めても圧力は (1) のまま変わらない。圧力が一定なのでシャルルの法則を使う。

(1) ピストンが受ける力は、重力（鉛直下向き）、大気が押す力（鉛直下向き）、中の気体が押す力（鉛直上向き）の 3 つ。
気体の圧力を $p$ 、大気圧を $p_{0}$ 、断面積を $S$ 、ピストンの質量を $m$ として、つり合いの式は $pS = p_{0} S + m g$
両辺を $S$ で割ると、 $p = p_{0} + \frac{m g}{S}$
重力の大きさは $10 \times 9.8 = 98 N$
これを断面積で割ると、 $\frac{98}{4.9 \times 1 0 ^{- 3}} = 2.0 \times 1 0^{4} Pa$
大気圧に足すと、 $1.0 \times 1 0^{5} + 2.0 \times 1 0^{4} = 1.2 \times 1 0^{5} Pa$
(2) 気体の体積は「断面積 × 高さ」で、断面積は変わらない。圧力が一定なので、シャルルの法則から高さ $h$ が絶対温度に比例する。 $\frac{h _{1}}{T _{1}} = \frac{h _{2}}{T _{2}}$
$h_{2}$ について解いて値を入れると、 $\frac{0.20 \times 360}{300} = 0.24 m$

ここで間違えやすい　(1) で大気が押す力を数えず、 $p = \frac{m g}{S}$ としてしまうこと。ピストンの上面は大気に触れているので、大気からも押されている。