核反応と核エネルギー｜高校物理

学習指導要領物理 (4) ア (ｲ) ㋑「原子核の構成，原子核の崩壊及び核反応について理解すること。」。
内容の取扱いは「質量とエネルギーの等価性にも触れること。」としています。

0. どういうまとまりか

原子核に粒子を当てると、別の原子核に変わることがあります。これを核反応（原子核反応）といいます。
核反応では、反応の前後で核子の数は変わりません。ところが、質量の和をくらべると、わずかに変わっています。
この質量の変化ぶんが、エネルギーとして出入りします。質量とエネルギーは同じものの 2 つの現れ方で、 $E = m c^{2}$ で換算できるからです（質量とエネルギーの等価性）。
核分裂や核融合で、化学反応とは桁違いのエネルギーが出るしくみは、すべてここから説明できます。

核反応に出てくる粒子は、原子核と同じ書き方で表します。

粒子	書き方	質量数	電気量（電気素量の何倍か）
陽子	$_{1}^{1} H$ （または $p$ ）	1	$+ 1$
中性子	$_{0}^{1} n$	1	$0$
電子	$_{- 1}^{0} e$	0	$- 1$
重水素の原子核	$_{1}^{2} H$	2	$+ 1$
α 粒子	$_{2}^{4} He$	4	$+ 2$

分かれ目は次の 3 つ。

核反応で保存されるのは、質量数の和と電気量（原子番号）の和。質量の和は保存されない
質量が減る反応でエネルギーが出る。減った質量を $Δ m$ とすると、出てくるエネルギーは $Δ m c^{2}$
核子 1 個あたりの結合エネルギーが大きい原子核ほど、安定である。「エネルギーが大きい＝不安定」ではない。結合エネルギーは、ばらばらにするのに必要なエネルギーである

1. 核反応式

根拠: 学習指導要領物理-(4)-ア-(イ)-㋑

核反応を式で表したものを核反応式といいます。化学反応式が原子の数を合わせるように、核反応式は 2 つの数を合わせます。

核反応の前後で、和が等しくなる（保存される）ものを 2 つ言うと？

質量数の和（核子の数）と、原子番号の和（電気量）

核反応式では、左上の数の和どうし、左下の数の和どうしが、反応の前後で等しくなる。α 崩壊や β 崩壊でも、同じことが成り立つ。

核反応式で、反応後にできる粒子が 1 つ分からない。その粒子は、どうやって決めるか？

質量数の和と、原子番号の和が、反応の前後でそれぞれ等しくなるように、分からない粒子の質量数と原子番号を求める

例えば、窒素 $_{7}^{14} N$ に α 粒子 $_{2}^{4} He$ を当てて酸素 $_{8}^{17} O$ ができるとき、残りの粒子は質量数 1、原子番号 1 なので、陽子 $_{1}^{1} H$ である。

核反応式を書くとき、中性子と電子は、それぞれどう表すか？

中性子は $_{0}^{1} n$ （質量数 1、原子番号 0）。電子は $_{- 1}^{0} e$ （質量数 0、原子番号 $- 1$ ）

左下の数は電気量が電気素量の何倍かを表す、と読めば、原子核でない粒子も同じ書き方で数えられる。

2. 質量欠損と結合エネルギー

根拠: 学習指導要領物理-(4)-ア-(イ)-㋑

原子核の質量を精密に測ると、それをつくっている陽子と中性子の質量の和よりも、わずかに小さくなっています。

質量欠損とは？陽子の質量を $m_{p}$ 、中性子の質量を $m_{n}$ 、質量数 $A$ ・原子番号 $Z$ の原子核の質量を $M$ として、式で書くと？

ばらばらの核子の質量の和と、原子核の質量との差。 $Δ m = Z m_{p} + (A - Z) m_{n} - M$

陽子が $Z$ 個、中性子が $A - Z$ 個ある。核子が 2 個以上集まってできた原子核の質量 $M$ は、この和よりも小さい。

質量とエネルギーの等価性とは？式で書くと？

質量とエネルギーは互いに移り変わることができ、質量 $m$ はエネルギー $E = m c^{2}$ にあたる（ $c$ は真空中の光の速さ）

アインシュタインが相対性理論から導いた。 $c^{2}$ が非常に大きいので、わずかな質量が大きなエネルギーにあたる。

原子核の結合エネルギーとは？質量欠損 $Δ m$ を使って書くと？

原子核を、ばらばらの核子に分けるのに必要なエネルギー。 $Δ m c^{2}$

逆に、ばらばらの核子が集まって原子核をつくるときには、同じ大きさのエネルギーが放出される。そのぶんだけ質量が減っている。

統一原子質量単位（記号 $u$ ）は、どう決められているか？

炭素 $_{6}^{12} C$ の原子 1 個の質量の $\frac{1}{12}$ を $1 u$ とする

陽子や中性子の質量は、どちらもおよそ $1 u$ 。このため、原子核の質量を $u$ で表すと、質量数に近い値になる。

質量欠損が $u$ の単位で分かっているとき、結合エネルギーを $MeV$ で求めるには、どうするか？

「 $1 u$ の質量はエネルギー約 $931 MeV$ にあたる」を使い、 $u$ で表した質量欠損に 931 をかける

$1 MeV$ は $1 0^{6} eV$ 。 $kg$ に直して $c^{2}$ をかけ、 $J$ から $MeV$ に直しても同じ値になるが、問題で換算の値が与えられていれば、かけ算 1 回で済む。

3. 核エネルギー

根拠: 学習指導要領物理-(4)-ア-(イ)-㋑

原子核の安定さは、結合エネルギーを核子の数で割った「核子 1 個あたりの結合エネルギー」でくらべます。この値が質量数によってどう変わるかを知ると、核分裂と核融合の両方でエネルギーが出る理由が分かります。

核子 1 個あたりの結合エネルギーが大きい原子核は、安定か、不安定か？

安定。核子 1 個を取り出すのに大きなエネルギーが要る、つまり、核子が強く結びついているから

結合エネルギーそのものは、核子の数が多い原子核ほど大きくなる。安定さをくらべるときは、核子 1 個あたりに直す。

核子 1 個あたりの結合エネルギーは、質量数によってどう変わるか？

質量数が 60 に近い原子核（鉄のあたり）で最も大きく、それより軽い原子核でも、重い原子核でも小さくなる

最大の値は約 $8.8 MeV$ 。鉄のあたりの原子核が、最も安定である。

ウランのような重い原子核が核分裂すると、エネルギーが放出されるのはなぜか？

分裂してできる中くらいの質量数の原子核のほうが、核子 1 個あたりの結合エネルギーが大きいから。反応後のほうが質量の和が小さくなり、そのぶんがエネルギーとして出る

ウラン 235 の核分裂では、1 回あたりおよそ $200 MeV$ のエネルギーが出る。

水素のような軽い原子核どうしが核融合すると、エネルギーが放出されるのはなぜか？

融合してできる原子核のほうが、核子 1 個あたりの結合エネルギーが大きいから。反応後のほうが質量の和が小さくなり、そのぶんがエネルギーとして出る

太陽の中心部では、水素の原子核がヘリウムの原子核になる核融合が起こっている。原子核どうしは正の電気で反発しあうので、核融合を起こすには非常に高い温度が必要である。

核反応で放出されるエネルギーを、反応の前後の質量から求める式は？

（反応前の質量の和 − 反応後の質量の和） $\times c^{2}$

かっこの中が正なら、エネルギーが放出される。負なら、外からエネルギーを与えないと起こらない反応である。

核反応で放出されたエネルギーは、ふつう何のエネルギーになるか？

反応後にできた粒子の運動エネルギー（γ 線が出るときは、その光子のエネルギーも）

静止していた原子核が 2 つに分かれるときは、運動量保存の法則から、2 つの粒子は逆向きに同じ大きさの運動量で飛び出す。このとき運動エネルギーは、質量の小さい粒子のほうが大きくなる。

練習問題

根拠: 学習指導要領物理-(4)-ア-(イ)-㋑

以下、質量 $1 u$ はエネルギー $931 MeV$ にあたるものとします。

問 1　次の核反応でできる粒子 X、Y は、それぞれ何か。(1) ベリリウム $_{4}^{9} Be$ に α 粒子 $_{2}^{4} He$ を当てると、炭素 $_{6}^{12} C$ と粒子 X ができた。(2) リチウム $_{3}^{7} Li$ に陽子 $_{1}^{1} H$ を当てると、同じ粒子 Y が 2 個できた。

(1) X は中性子 $_{0}^{1} n$ 　(2) Y は α 粒子（ヘリウムの原子核） $_{2}^{4} He$

方針　質量数の和と原子番号の和が、反応の前後で等しい。反応前の和を求め、分かっている粒子のぶんを引く。

(1) 反応前の質量数の和は $9 + 4 = 13$ 、原子番号の和は $4 + 2 = 6$
X の質量数は $13 - 12 = 1$ 、原子番号は $6 - 6 = 0$
質量数 1、原子番号 0 の粒子は、中性子である
(2) 反応前の質量数の和は $7 + 1 = 8$ 、原子番号の和は $3 + 1 = 4$
同じ粒子が 2 個できるので、Y の質量数は $\frac{8}{2} = 4$ 、原子番号は $\frac{4}{2} = 2$
質量数 4、原子番号 2 の粒子は、ヘリウムの原子核である

問 2　ある核反応で、反応後の質量の和が、反応前より $3.0 \times 1 0^{- 29} kg$ だけ小さくなった。放出されたエネルギーは、(1) 何 $J$ か。(2) 何 $MeV$ か。真空中の光の速さを $3.0 \times 1 0^{8} m/s$ 、電気素量を $1.6 \times 1 0^{- 19} C$ とする。

(1) $2.7 \times 1 0^{- 12} J$ 　(2) $17 MeV$

方針　減った質量 $Δ m$ が、エネルギー $Δ m c^{2}$ になって出てくる。質量を $kg$ で入れれば、エネルギーは $J$ で出る。 $MeV$ に直すには、 $1 MeV$ が何 $J$ かを先に求める。

(1) $E = Δ m c^{2}$ に値を入れると、 $3.0 \times 1 0^{- 29} \times (3.0 \times 1 0^{8})^{2} = 2.7 \times 1 0^{- 12} J$
(2) $1 eV$ は $1.6 \times 1 0^{- 19} J$ なので、 $1 MeV$ はその $1 0^{6}$ 倍の $1.6 \times 1 0^{- 13} J$
したがって、 $\frac{2.7 \times 1 0 ^{- 12}}{1.6 \times 1 0 ^{- 13}} = 16.875 ≒ 17 MeV$

ここで間違えやすい　 $c$ を 2 乗し忘れて、 $3.0 \times 1 0^{- 29} \times 3.0 \times 1 0^{8}$ としてしまうこと。

問 3　ヘリウムの原子核 $_{2}^{4} He$ の質量は $4.0015 u$ 、陽子の質量は $1.0073 u$ 、中性子の質量は $1.0087 u$ である。 $_{2}^{4} He$ について、(1) 質量欠損、(2) 結合エネルギー、(3) 核子 1 個あたりの結合エネルギーを求めよ。

(1) $0.0305 u$ 　(2) $28.4 MeV$ 　(3) $7.10 MeV$

方針　 $_{2}^{4} He$ は陽子 2 個と中性子 2 個でできている。ばらばらのときの質量の和から、原子核の質量を引くと質量欠損になる。 $u$ で表した質量欠損に 931 をかければ、結合エネルギーが $MeV$ で出る。

陽子 2 個と中性子 2 個の質量の和は $2 \times 1.0073 + 2 \times 1.0087 = 4.0320 u$
(1) 質量欠損は $4.0320 - 4.0015 = 0.0305 u$
(2) 結合エネルギーは $0.0305 \times 931 = 28.3955 ≒ 28.4 MeV$
(3) 核子は 4 個なので、1 個あたり $\frac{28.4}{4} = 7.10 MeV$

ここで間違えやすい　(3) で、陽子の数の 2 で割ってしまうこと。核子の数は、質量数の 4 である。

問 4　重水素の原子核 $_{1}^{2} H$ 2 個が核融合して、ヘリウム 3 の原子核 $_{2}^{3} He$ と中性子 $_{0}^{1} n$ ができた。このとき放出されるエネルギーは何 $MeV$ か。質量は、 $_{1}^{2} H$ が $2.01355 u$ 、 $_{2}^{3} He$ が $3.01493 u$ 、中性子が $1.00866 u$ とする。

$3.27 MeV$

方針　反応前の質量の和から、反応後の質量の和を引く。減った質量がエネルギーになって出てくる。 $u$ で表した質量の減りに 931 をかける。

質量数の和は反応前が $2 + 2 = 4$ 、反応後が $3 + 1 = 4$ 。原子番号の和は反応前が $1 + 1 = 2$ 、反応後が $2 + 0 = 2$ で、式は合っている
反応前の質量の和は $2 \times 2.01355 = 4.02710 u$
反応後の質量の和は $3.01493 + 1.00866 = 4.02359 u$
質量の減りは $4.02710 - 4.02359 = 0.00351 u$
放出されるエネルギーは $0.00351 \times 931 = 3.26781 ≒ 3.27 MeV$

ここで間違えやすい　反応前の質量を、重水素の原子核 1 個ぶんの $2.01355 u$ のまま使ってしまうこと。反応するのは 2 個である。質量の減りは小数第 3 位から始まる小さな数なので、質量を小数第 5 位まで与えている。

問 5　静止していたラジウム $_{88}^{226} Ra$ の原子核が α 崩壊して、ラドン $_{86}^{222} Rn$ の原子核と α 粒子になった。この崩壊で放出されたエネルギー $4.9 MeV$ が、すべてラドンの原子核と α 粒子の運動エネルギーになったとする。α 粒子の運動エネルギーは何 $MeV$ か。原子核の質量の比は、質量数の比に等しいものとする。

$4.8 MeV$

方針　はじめ静止していたので、運動量保存の法則から、ラドンの原子核と α 粒子は逆向きに、同じ大きさの運動量で飛び出す。運動量の大きさ $p$ が同じとき、運動エネルギー $\frac{p ^{2}}{2 m}$ は質量に反比例する。これを使って、 $4.9 MeV$ を 2 つの粒子に分ける。

α 粒子の質量を $m_{1}$ 、速さを $v_{1}$ 、ラドンの原子核の質量を $m_{2}$ 、速さを $v_{2}$ とする。運動量保存の法則から $m_{1} v_{1} = m_{2} v_{2}$ 。この大きさを $p$ とする
運動エネルギーは $\frac{1}{2} m v^{2} = \frac{p ^{2}}{2 m}$ と書けるので、α 粒子は $\frac{p ^{2}}{2 m _{1}}$ 、ラドンの原子核は $\frac{p ^{2}}{2 m _{2}}$
$p$ が共通なので、運動エネルギーの比は質量の逆の比になる。α 粒子とラドンの原子核で $m_{2} : m_{1}$ 、つまり $222 : 4$
α 粒子が受けとるのは、全体を $222 + 4 = 226$ に分けたうちの 222
したがって、 $4.9 \times \frac{222}{226} ≒ 4.8 MeV$

ここで間違えやすい　重いラドンの原子核のほうが大きなエネルギーを受けとる、と考えてしまうこと。運動量が同じなら、軽い粒子のほうが速く、運動エネルギーも大きい。放出されたエネルギーのほとんどは、α 粒子が持ち去る。