交流の発生と実効値｜高校物理

学習指導要領物理 (3) ア (ｲ) ㋒「電磁誘導に関する実験などを行い，磁束の変化と誘導起電力の向きや大きさとの関係を見いだして理解するとともに，電磁誘導の法則を理解すること。また，交流の発生について理解すること。」。

0. どういうまとまりか

一様な磁界の中でコイルを一定の速さで回転させると、コイルを貫く磁束が周期的に変化し、向きと大きさが周期的に変わる起電力が生じます。これが交流で、発電機のしくみです。
交流の電圧や電流は絶えず変わるので、大きさを 1 つの数で表すときは実効値を使います。実効値を使えば、抵抗で消費する電力を直流と同じ式で書けます。

知りたいもの	式	補足
コイルを貫く磁束	$Φ = B S cos ω t$	時刻 0 に、コイルの面が磁界に垂直
交流の起電力	$V = V_{0} sin ω t$	$V_{0}$ は最大値。巻数 $N$ のコイルで $V_{0} = N B S ω$
角周波数・周波数・周期	$ω = 2 π f = \frac{2 π}{T}$	$ω [rad/s]$ 、 $f [Hz]$ 、 $T [s]$
実効値	$V_{e} = \frac{V _{0}}{2}$ 、 $I_{e} = \frac{I _{0}}{2}$	$V_{0}$ 、 $I_{0}$ は最大値
抵抗で消費する電力の平均	$P = V_{e} I_{e} = R I_{e}^{2} = \frac{V _{e}^{2}}{R}$	最大値で書くと $\frac{1}{2} V_{0} I_{0}$

分かれ目は次の 3 つ。

起電力が最大になるのは、コイルを貫く磁束が 0 の瞬間（コイルの面が磁界に平行）。磁束が最大の瞬間（面が磁界に垂直）は、起電力は 0
実効値は最大値の $\frac{1}{2}$ 倍で、 $\frac{1}{2}$ 倍ではない。 $\frac{1}{2}$ 倍になるのは電力の平均（最大値 $V_{0} I_{0}$ に対して）
家庭用の $100 V$ や、交流電圧計・交流電流計の読みは実効値。最大値はその $2$ 倍

1. 交流の発生

根拠: 学習指導要領物理-(3)-ア-(イ)-㋒

磁束密度 $B$ の一様な磁界の中で、面積 $S$ 、巻数 $N$ のコイルを、磁界に垂直な軸のまわりに一定の角速度 $ω$ で回転させます。
コイルを貫く磁束は、等速円運動を真横から見た影（単振動）と同じ形で変化します。単振動で変位が $A cos ω t$ のとき、速度は $- A ω sin ω t$ になります（変位が $A sin ω t$ のとき速度が $A ω cos ω t$ になるのと同じ関係を、4 分の 1 周期ずらしたものです）。磁束の変化の速さも、同じ形になります。

一様な磁界（磁束密度 $B$ ）の中で、面積 $S$ のコイルを角速度 $ω$ で回転させる。時刻 0 にコイルの面が磁界に垂直だったとして、時刻 $t$ にコイルを貫く磁束は？

$Φ = B S cos ω t$

コイルの面は、時刻 $t$ までに角 $ω t$ だけ回る。面が磁界に垂直のとき磁束は最大の $B S$ 、そこから 4 分の 1 回転して面が磁界に平行になると 0、半回転すると裏返しに貫かれて $- B S$ になる。

一様な磁界の中で、巻数 $N$ 、面積 $S$ のコイルを角速度 $ω$ で回転させる。コイルに生じる誘導起電力を、時刻 $t$ の式で表すと？

$V = V_{0} sin ω t$ 。最大値は $V_{0} = N B S ω$

磁束 $B S cos ω t$ の変化の速さは $\frac{ΔΦ}{Δ t} = - B S ω sin ω t$ 。これを $V = - N \frac{ΔΦ}{Δ t}$ に入れる。コイルが半回転するごとに、起電力の向きが入れかわる。

磁界中で回転するコイルの誘導起電力が最大になるのは、コイルの面がどの向きのときか？　0 になるのは？

最大になるのは、コイルの面が磁界に平行な瞬間（貫く磁束は 0）。0 になるのは、コイルの面が磁界に垂直な瞬間（貫く磁束は最大）

起電力を決めるのは磁束の大きさではなく、変化の速さ。磁束が最大の瞬間は、増加から減少へ折り返すところで、変化の速さが 0 になる。

交流発電機の起電力の最大値 $V_{0} = N B S ω$ を大きくするには、どうすればよいか？

巻数 $N$ を増やす、磁界を強くする（ $B$ を大きくする）、コイルの面積 $S$ を大きくする、速く回す（ $ω$ を大きくする）

速く回すと、最大値が大きくなるのと同時に、交流の周波数も高くなる。ほかの 3 つは、周波数を変えずに最大値だけを変える。

2. 周期・周波数・角周波数

根拠: 学習指導要領物理-(3)-ア-(イ)-㋒

交流の式 $V = V_{0} sin ω t$ に出てくる $ω$ を、交流の角周波数といいます。発電機のコイルの角速度と同じものです。

交流の角周波数 $ω$ 、周波数 $f$ 、周期 $T$ の関係は？

$ω = 2 π f = \frac{2 π}{T}$ 、 $f = \frac{1}{T}$

等速円運動の角速度・回転数・周期の関係と同じ。角周波数の単位は $rad/s$ 。コイルが 1 回転する時間が 1 周期で、そのあいだに $ω t$ は $2 π$ だけ進む。

交流の式 $V = V_{0} sin ω t$ の $ω t$ を、何というか？

位相

位相が $\frac{π}{2}$ のとき電圧は最大値 $V_{0}$ 、 $π$ のとき 0、 $\frac{3 π}{2}$ のとき $- V_{0}$ 。2 つの交流の山の時刻がずれているとき、「位相がずれている」という。

3. 実効値と電力

根拠: 学習指導要領物理-(3)-ア-(イ)-㋒

抵抗に交流を流すと、電流の向きが入れかわっても、ジュール熱は発生し続けます。その電力の平均を、直流と同じ式で書けるように決めた値が実効値です。

交流の電圧と電流の実効値 $V_{e}$ 、 $I_{e}$ を、最大値 $V_{0}$ 、 $I_{0}$ で表すと？

$V_{e} = \frac{V _{0}}{2}$ 、 $I_{e} = \frac{I _{0}}{2}$

実効値は、同じ抵抗につないだときに、同じ電力を消費する直流の値に置きかえたもの。逆に、最大値は実効値の $2$ 倍である。

抵抗 $R$ に交流電圧 $V = V_{0} sin ω t$ を加えた。瞬間の消費電力は、どのように変化するか？

$P = V_{0} I_{0} sin^{2} ω t$ 。0 と $V_{0} I_{0}$ のあいだを、交流の 2 倍の周波数で変動する。負にはならない

抵抗では、電圧と電流がどの瞬間もオームの法則 $V = R I$ を満たすので、電流は $I = I_{0} sin ω t$ （ $I_{0} = \frac{V _{0}}{R}$ ）。電流の向きが逆になっても、抵抗はエネルギーを消費する。

実効値が最大値の $\frac{1}{2}$ 倍になるのは、なぜか？

瞬間の電力 $V_{0} I_{0} sin^{2} ω t$ の時間平均が、最大値の半分の $\frac{1}{2} V_{0} I_{0}$ になるから。これを $V_{e} I_{e}$ と書けるように、 $\frac{1}{2}$ を電圧と電流に $\frac{1}{2}$ ずつ分けた

$sin^{2} ω t$ は 0 と 1 のあいだを対称に振動するので、1 周期の平均は $\frac{1}{2}$ になる。

抵抗 $R$ で消費する交流の電力の平均を、実効値を使って 3 つの形で書くと？

$P = V_{e} I_{e} = R I_{e}^{2} = \frac{V _{e}^{2}}{R}$

直流の電力の式と同じ形になる。実効値どうしにはオームの法則 $V_{e} = R I_{e}$ も成り立つ。最大値を使って $V_{0} I_{0}$ とすると、平均の 2 倍になってしまう。

家庭用のコンセントの電圧 $100 V$ は実効値である。最大値はおよそいくらか？

約 $141 V$

$2 = 1.41$ として $100 \times 1.41 = 141 V$ 。電圧は $+ 141 V$ と $- 141 V$ のあいだを振動している。

交流電圧計・交流電流計が示す値は、最大値・実効値・瞬間の値のどれか？

実効値

断りなく「交流 $100 V$ 」「 $2.0 A$ の交流」と書いてあるときも、実効値を指す。

練習問題

根拠: 学習指導要領物理-(3)-ア-(イ)-㋒

円周率と $2$ の扱いは、問題ごとに指定します。

問 1　周波数 $50 Hz$ の交流について、(1) 周期を求めよ。(2) 角周波数を求めよ。円周率は $3.14$ とする。

(1) $0.020 s$ 　(2) $3.1 \times 1 0^{2} rad/s$

方針　周期は周波数の逆数、角周波数は $ω = 2 π f$ 。どちらも定義の式に入れるだけである。

(1) $T = \frac{1}{f}$ に値を入れると、 $\frac{1}{50} = 0.020 s$
(2) $ω = 2 π f$ に値を入れると、 $2 \times 3.14 \times 50 = 314 rad/s$
有効数字 2 桁にすると、 $3.1 \times 1 0^{2} rad/s$

ここで間違えやすい　角周波数と周波数を同じものとして、 $50 rad/s$ と答えてしまうこと。1 回の振動で位相は $2 π$ 進むので、角周波数は周波数の $2 π$ 倍である。

問 2　磁束密度 $0.50 T$ の一様な磁界の中で、巻数 100 回、面積 $2.0 \times 1 0^{- 2} m^{2}$ のコイルを、磁界に垂直な軸のまわりに角速度 $20 rad/s$ で回転させた。(1) 誘導起電力の最大値を求めよ。(2) 誘導起電力の実効値を求めよ。 $2 = 1.41$ とする。(3) 誘導起電力が最大になるのは、コイルの面が磁界に対してどの向きになった瞬間か。(4) 回転の角速度だけを 2 倍にすると、起電力の最大値と周期は、それぞれ何倍になるか。

(1) $20 V$ 　(2) $14 V$ 　(3) コイルの面が磁界に平行になった瞬間　(4) 最大値は 2 倍、周期は $\frac{1}{2}$ 倍

方針　最大値は $V_{0} = N B S ω$ 、実効値はその $\frac{1}{2}$ 倍。起電力が最大になるのは、磁束の変化がいちばん速い瞬間である。

(1) $V_{0} = N B S ω$ に値を入れると、 $100 \times 0.50 \times 2.0 \times 1 0^{- 2} \times 20 = 20 V$
(2) $V_{e} = \frac{V _{0}}{2}$ に値を入れると、 $\frac{20}{1.41} ≒ 14 V$
(3) 磁束は $B S cos ω t$ 、起電力は $V_{0} sin ω t$ 。起電力が最大のとき $sin ω t = 1$ で、このとき $cos ω t = 0$ 。磁束が 0 なので、コイルの面は磁界に平行。
(4) $V_{0} = N B S ω$ は $ω$ に比例するので、最大値は 2 倍。
周期は $T = \frac{2 π}{ω}$ で $ω$ に反比例するので、 $\frac{1}{2}$ 倍。

ここで間違えやすい　(3) で、磁束がいちばん多く貫く「面が磁界に垂直な瞬間」と答えてしまうこと。その瞬間は磁束の変化の速さが 0 で、起電力も 0 である。

問 3　実効値 $100 V$ の交流電源に、 $50 Ω$ の抵抗をつないだ。 $2 = 1.41$ とする。(1) 電流の実効値を求めよ。(2) 電流の最大値を求めよ。(3) 抵抗で消費する電力の平均を求めよ。(4) 抵抗で消費する瞬間の電力の最大値を求めよ。

(1) $2.0 A$ 　(2) $2.8 A$ 　(3) $2.0 \times 1 0^{2} W$ 　(4) $4.0 \times 1 0^{2} W$

方針　実効値どうしは、直流と同じ式（オームの法則、 $P = V_{e} I_{e}$ ）で結べる。最大値は実効値の $2$ 倍。瞬間の電力の最大値は $V_{0} I_{0}$ で、平均の 2 倍になる。

(1) $I_{e} = \frac{V _{e}}{R}$ に値を入れると、 $\frac{100}{50} = 2.0 A$
(2) $I_{0} = 2 I_{e}$ に値を入れると、 $1.41 \times 2.0 = 2.82 ≒ 2.8 A$
(3) $P = V_{e} I_{e}$ に値を入れると、 $100 \times 2.0 = 200 W$
(4) 瞬間の電力の最大値は $V_{0} I_{0} = 2 V_{e} \times 2 I_{e} = 2 V_{e} I_{e}$ で、平均の 2 倍。
値を入れると、 $2 \times 200 = 400 W$

ここで間違えやすい　(3) を最大値どうしの積で計算して、 $4.0 \times 1 0^{2} W$ としてしまうこと。平均の電力は実効値どうしの積である。

問 4　時刻 $t [s]$ における電圧が $V = 141 sin 100 π t$ （単位は $V$ ）で表される交流電源がある。 $2 = 1.41$ とする。(1) 電圧の最大値と実効値を求めよ。(2) 周波数と周期を求めよ。(3) この電源に $20 Ω$ の抵抗をつないだとき、電流の実効値と、消費する電力の平均を求めよ。

(1) 最大値 $141 V$ 、実効値 $100 V$ 　(2) 周波数 $50 Hz$ 、周期 $0.020 s$ 　(3) 電流 $5.0 A$ 、電力 $5.0 \times 1 0^{2} W$

方針　式を $V = V_{0} sin ω t$ と見比べて、 $V_{0}$ と $ω$ を読みとる。 $sin$ の前の数が最大値、 $t$ に掛かっている数が角周波数である。

(1) $V = V_{0} sin ω t$ と見比べると、最大値は $V_{0} = 141 V$
実効値は $\frac{V _{0}}{2}$ なので、 $\frac{141}{1.41} = 100 V$
(2) 角周波数は $ω = 100 π rad/s$ 。 $ω = 2 π f$ から $f = \frac{ω}{2 π} = \frac{100 π}{2 π}$ で、 $\frac{100}{2} = 50 Hz$
周期は $\frac{1}{50} = 0.020 s$
(3) 電流の実効値は $\frac{V _{e}}{R}$ で、 $\frac{100}{20} = 5.0 A$
電力の平均は $V_{e} I_{e}$ で、 $100 \times 5.0 = 500 W$

ここで間違えやすい　 $100 π$ をそのまま周波数として読んでしまうこと。 $t$ に掛かっているのは角周波数で、周波数はそれを $2 π$ で割った値である。

問 5　一次コイルの巻数が 1000 回、二次コイルの巻数が 100 回の変圧器がある。一次コイルに実効値 $100 V$ の交流電圧を加え、二次コイルに $10 Ω$ の抵抗をつないだ。変圧器でのエネルギーの損失は無いものとし、 $2 = 1.41$ とする。(1) 二次コイルの電圧の実効値と最大値を求めよ。(2) 抵抗を流れる電流の実効値と、抵抗で消費する電力の平均を求めよ。(3) 一次コイルを流れる電流の実効値を求めよ。

(1) 実効値 $10 V$ 、最大値 $14 V$ 　(2) 電流 $1.0 A$ 、電力 $10 W$ 　(3) $0.10 A$

方針　変圧器の電圧の比は巻数の比に等しい（物理基礎で学んだ $V_{1} : V_{2} = N_{1} : N_{2}$ ）。この関係は実効値どうしで使える。損失が無ければ、一次側と二次側の電力の平均は等しい。

(1) $V_{2} = V_{1} \times \frac{N _{2}}{N _{1}}$ に値を入れると、 $100 \times \frac{100}{1000} = 10 V$ 。これが実効値。
最大値は実効値の $2$ 倍なので、 $1.41 \times 10 = 14.1 ≒ 14 V$
(2) 電流の実効値は $\frac{V _{2}}{R}$ で、 $\frac{10}{10} = 1.0 A$
電力の平均は $V_{2} I_{2}$ で、 $10 \times 1.0 = 10 W$
(3) 一次側の電力も $10 W$ なので、 $100 \times I_{1} = 10$
両辺を 100 で割ると、 $I_{1} = \frac{10}{100} = 0.10 A$

ここで間違えやすい　(3) で、電流の比も巻数の比と同じだと考えて、一次側を $10 A$ としてしまうこと。電圧の高い一次側のほうが、電流は小さい。