万有引力の法則｜高校物理 — みならいノート

学習指導要領物理 (1) ア (ｴ) ㋑「万有引力の法則及び万有引力による物体の運動について理解すること。」。

0. どういうまとまりか

質量をもつ物体どうしは、必ず互いに引き合っています。この力が万有引力で、惑星がケプラーの法則どおりに動く理由も、りんごが落ちる理由も、同じこの力です。
このノートでは、万有引力の式と、地表の重力との関係、そして万有引力を向心力として等速円運動する人工衛星を扱います。
エネルギーで考える問題（打ち上げや楕円軌道）は、次のノート「万有引力による位置エネルギー」で扱います。

記号は、万有引力定数 $G$ 、地球の質量 $M$ 、地球の半径 $R$ 、地表での重力加速度の大きさ $g$ 、物体や人工衛星の質量 $m$ 、地球の中心からの距離 $r$ です。

場面	式
万有引力の大きさ	$F = G \frac{M m}{r ^{2}}$
地表での重力加速度	$g = \frac{GM}{R ^{2}}$ （書きかえると $GM = g R^{2}$ ）
地表から高さ $h$ での重力加速度	$g^{'} = \frac{GM}{( R + h ) ^{2}}$
半径 $r$ の円軌道を回る人工衛星の速さ	$v = \frac{GM}{r}$
その周期	$T = 2 π \frac{r ^{3}}{GM}$
第 1 宇宙速度（地表すれすれの円軌道）	$v = g R$

分かれ目は次の 3 つ。

$r$ は中心から中心までの距離。地表から高さ $h$ のところなら $r = R + h$ で、 $h$ をそのまま入れない
人工衛星の式は覚えずに、「万有引力が向心力」として円運動の運動方程式から作る。速さも周期も、この 1 本の式から出る
$G$ や $M$ が与えられていなければ、 $GM = g R^{2}$ で $g$ と $R$ に置きかえる。地表の重力が万有引力であることから出る関係である

1. 万有引力の法則

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(エ)-㋑

万有引力は、2 つの物体の質量と、そのあいだの距離だけで決まります。

万有引力の法則とは？質量 $M$ と $m$ の 2 物体が距離 $r$ だけ離れているとき、万有引力の大きさ $F$ は？

2 つの物体は、質量の積に比例し、距離の 2 乗に反比例する引力を及ぼしあう。 $F = G \frac{M m}{r ^{2}}$

$G$ は万有引力定数で、物体の種類によらない。力の向きは、2 つの物体を結ぶ直線に沿って、互いに引き合う向き。

地球と物体のあいだの万有引力を求めるとき、距離 $r$ はどこからどこまでを測るか？

地球の中心から物体（の中心）まで

地球のように球形で、質量が中心のまわりに対称に分布している物体は、全部の質量が中心に集まっているとみなしてよい。地表にある物体なら $r = R$ 、地表から高さ $h$ なら $r = R + h$ 。

地球が物体を引く万有引力と、物体が地球を引く万有引力は、どちらが大きいか？

同じ大きさ（向きは逆）

作用・反作用の関係にある 2 力である。 $F = G \frac{M m}{r ^{2}}$ は $M$ と $m$ を入れかえても変わらない。地球が動いて見えないのは、質量が大きく加速度が小さいから。

2 つの物体のあいだの距離を 2 倍にすると、万有引力の大きさは何倍になるか？ 3 倍にすると？

2 倍にすると $\frac{1}{4}$ 倍、3 倍にすると $\frac{1}{9}$ 倍

距離の 2 乗に反比例する。 $\frac{1}{2}$ 倍や $\frac{1}{3}$ 倍ではない。

2. 重力との関係

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(エ)-㋑

物理基礎で使ってきた重力 $m g$ の正体は、地球が物体に及ぼす万有引力です。ここから、 $g$ と $G$ を結ぶ式が出ます。

地表での重力加速度の大きさ $g$ を、万有引力定数 $G$ 、地球の質量 $M$ 、地球の半径 $R$ で表すと？どう導くか？

$g = \frac{GM}{R ^{2}}$ 。地表の物体が受ける重力 $m g$ が万有引力 $G \frac{M m}{R ^{2}}$ に等しい、と置いて $m$ を消す

地球の自転の影響は小さいので無視している。 $m$ が消えるので、 $g$ は落とす物体の質量によらない。

問題に $G$ と $M$ が与えられず、 $g$ と $R$ が与えられている。 $GM$ はどう書きかえるか？

$GM = g R^{2}$

$g = \frac{GM}{R ^{2}}$ の分母を払っただけの式。人工衛星の速さや周期の式に出てくる $GM$ を、これで $g$ と $R$ に置きかえられる。

地表から高さ $h$ の点での重力加速度の大きさ $g^{'}$ を、地表での値 $g$ と地球の半径 $R$ で表すと？

$g^{'} = g (\frac{R}{R + h})^{2}$

高さ $h$ では中心からの距離が $R + h$ なので $g^{'} = \frac{GM}{( R + h ) ^{2}}$ 。これに $GM = g R^{2}$ を入れる。 $h$ が $R$ に比べて十分小さければ、 $g^{'}$ は $g$ とほぼ同じである。

3. 人工衛星の円運動

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(エ)-㋑

地球のまわりを等速円運動する人工衛星は、万有引力だけを受けています。この万有引力が、円運動の向心力になっています。

地球の中心から距離 $r$ の円軌道を、質量 $m$ の人工衛星が速さ $v$ で回っている。運動方程式はどう立てるか？そこから速さ $v$ は？

万有引力が向心力なので $m \frac{v ^{2}}{r} = G \frac{M m}{r ^{2}}$ 。これを解いて $v = \frac{GM}{r}$

人工衛星が受ける力は、地球の中心に向かう万有引力の 1 つだけ。「向心力」という別の力を足さない。

半径 $r$ の円軌道を回る人工衛星の周期 $T$ は？

$T = \frac{2 π r}{v} = 2 π \frac{r ^{3}}{GM}$

1 周の長さ $2 π r$ を速さ $v = \frac{GM}{r}$ で割る。

円軌道を回る人工衛星の速さと周期は、人工衛星の質量と軌道半径によってどう変わるか？

人工衛星の質量にはよらない。軌道半径が大きいほど、速さは小さく、周期は長い

運動方程式の両辺の $m$ が消える。 $v = \frac{GM}{r}$ は $r$ が大きいほど小さく、 $T = 2 π \frac{r ^{3}}{GM}$ は $r$ が大きいほど大きい。

第 1 宇宙速度とは？ $g$ と $R$ で表すと？およその値は？

地表すれすれの円軌道を回る人工衛星の速さ。 $v = g R$ で、約 $7.9 \times 1 0^{3} m/s$ （約 $7.9 km/s$ ）

$v = \frac{GM}{r}$ に $r = R$ と $GM = g R^{2}$ を入れる。 $m \frac{v ^{2}}{R} = m g$ と置いても同じ式になる。

静止衛星とは？静止衛星になるための条件を 3 つ言うと？

地上から見て静止して見える人工衛星。①周期が地球の自転周期（約 24 時間）と同じ　②赤道の上空を回る　③地球の自転と同じ向きに回る

周期が決まると軌道半径も 1 つに決まる（地表からの高さ約 $3.6 \times 1 0^{7} m$ ）。好きな高さに置くことはできない。

円軌道の場合について、万有引力の法則からケプラーの第 3 法則を導くと、 $\frac{T ^{2}}{r ^{3}}$ はどう表されるか？

$\frac{T ^{2}}{r ^{3}} = \frac{4 π ^{2}}{GM}$

$T = 2 π \frac{r ^{3}}{GM}$ の両辺を 2 乗して整理する。右辺は中心の天体の質量 $M$ だけで決まり、回っているものの質量によらない。これが第 3 法則の定数の中身である。

地球のまわりを回る宇宙船の中で物体が浮いて見える（無重量状態）のは、万有引力が働かなくなるからか？

そうではない。万有引力は働いている。宇宙船も中の物体も、万有引力だけを受けて同じ加速度で運動しているから

宇宙船の床が物体を支える必要が無いので、垂直抗力が 0 になる。地表から数百 km の高さでは、重力加速度は地表の 9 割ほどある。

練習問題

根拠: 学習指導要領物理-(1)-ア-(エ)-㋑

以下、地表での重力加速度の大きさを $g = 9.8 m/ s^{2}$ 、地球の半径を $R = 6.4 \times 1 0^{6} m$ 、円周率を $3.14$ とします。

問 1　質量 $60 kg$ と $80 kg$ の 2 つの球が、中心間の距離 $2.0 m$ で置かれている。2 つの球のあいだに働く万有引力の大きさを求めよ。万有引力定数を $6.7 \times 1 0^{- 11} N \cdot m^{2} /k g^{2}$ とする。

$8.0 \times 1 0^{- 8} N$

方針　万有引力の法則 $F = G \frac{M m}{r ^{2}}$ にそのまま入れる。距離は中心間の距離を使い、2 乗を忘れない。

$F = G \frac{M m}{r ^{2}}$ に $M = 60 kg$ 、 $m = 80 kg$ 、 $r = 2.0 m$ を入れる。
質量の積を距離の 2 乗で割ると、 $\frac{60 \times 80}{2. 0 ^{2}} = 1200$
これに $G$ を掛けると、 $6.7 \times 1 0^{- 11} \times 1200 = 8.04 \times 1 0^{- 8}$
有効数字 2 桁にして、 $8.0 \times 1 0^{- 8} N$

ここで間違えやすい　身のまわりの物体どうしの万有引力は、このようにきわめて小さい。答えの桁が $1 0^{- 8}$ になっても、計算の誤りではない。

問 2　(1) 地表から、地球の半径の 2 倍の高さにある点での重力加速度の大きさを求めよ。(2) 重力加速度の大きさが地表の $\frac{1}{4}$ になるのは、地表からどれだけの高さの点か。

(1) $1.1 m/ s^{2}$ 　(2) $6.4 \times 1 0^{6} m$

方針　万有引力は中心からの距離の 2 乗に反比例する。高さ $h$ の点の重力加速度 $g^{'} = g (\frac{R}{R + h})^{2}$ を使い、 $h$ ではなく $R + h$ で比べる。

(1) 高さ $2 R$ の点は、地球の中心から $R + 2 R = 3 R$ の距離にある。
中心からの距離が地表の 3 倍なので、重力加速度は $\frac{1}{3 ^{2}} = \frac{1}{9}$ 倍になる。
$g^{'} = \frac{g}{9}$ に値を入れると、 $\frac{9.8}{9} ≒ 1.1 m/ s^{2}$
(2) $\frac{1}{4}$ 倍になるのは、中心からの距離が 2 倍、つまり $2 R$ になる点。
地表からの高さは $2 R - R = R$ なので、 $6.4 \times 1 0^{6} m$

ここで間違えやすい　(1) で「高さが 2 倍だから $\frac{1}{4}$ 倍」としてしまうこと。距離は地表からではなく、地球の中心から測る。

問 3　地表すれすれの円軌道を回る人工衛星について、(1) 速さ（第 1 宇宙速度）と、(2) 周期を求めよ。

(1) $7.9 \times 1 0^{3} m/s$ 　(2) $5.1 \times 1 0^{3} s$ （約 85 分）

方針　人工衛星が受ける力は万有引力（地表すれすれなので重力 $m g$ と同じ）だけで、これが向心力になる。円運動の運動方程式を立てて速さを出し、周期は 1 周の長さを速さで割る。

(1) 半径 $R$ の円運動の運動方程式は $m \frac{v ^{2}}{R} = m g$
両辺の $m$ を消して $v$ について解くと、 $v = g R$
根号の中は $9.8 \times 6.4 \times 1 0^{6} = 6.272 \times 1 0^{7}$
平方根をとると、 $v ≒ 7.92 \times 1 0^{3}$ 。有効数字 2 桁で $7.9 \times 1 0^{3} m/s$
(2) 周期は $T = \frac{2 π R}{v}$ 。値を入れると、 $\frac{2 \times 3.14 \times 6.4 \times 1 0 ^{6}}{7.92 \times 1 0 ^{3}} ≒ 5.1 \times 1 0^{3} s$
分になおすと、 $\frac{5.1 \times 1 0 ^{3}}{60} = 85$ 分

問 4　地表から、地球の半径と同じ高さ $R$ のところを、人工衛星が等速円運動している。(1) 速さを求めよ。(2) 周期を求めよ。

(1) $5.6 \times 1 0^{3} m/s$ 　(2) $1.4 \times 1 0^{4} s$

方針　軌道半径は地球の中心から測るので $r = R + R = 2 R$ 。万有引力を向心力として運動方程式を立て、 $GM$ は $g R^{2}$ に置きかえる。

軌道半径は $r = 2 R$ 。運動方程式は $m \frac{v ^{2}}{2 R} = G \frac{M m}{( 2 R ) ^{2}}$
$v$ について解くと、 $v = \frac{GM}{2 R}$
$GM = g R^{2}$ を入れると、 $v = \frac{g R}{2}$
(1) 値を入れると、 $\frac{9.8 \times 6.4 \times 1 0 ^{6}}{2} = 3.136 \times 1 0^{7} = 5.6 \times 1 0^{3} m/s$
(2) 周期は $T = \frac{2 π \times 2 R}{v}$ 。値を入れると、 $\frac{2 \times 3.14 \times 2 \times 6.4 \times 1 0 ^{6}}{5.6 \times 1 0 ^{3}} ≒ 1.4 \times 1 0^{4} s$

ここで間違えやすい　軌道半径に高さ $R$ をそのまま入れてしまうこと。それでは地表すれすれの衛星（問 3）と同じ式になる。高い軌道ほど遅いので、答えが第 1 宇宙速度より小さいことを確かめる。

問 5　静止衛星の軌道半径（地球の中心からの距離）を求めよ。地球の自転周期を $8.64 \times 1 0^{4} s$ とし、 $376 ≒ 4.2$ を使ってよい。

$4.2 \times 1 0^{7} m$

方針　静止衛星の周期は地球の自転周期と同じ。円軌道の周期の式 $T = 2 π \frac{r ^{3}}{GM}$ を $r^{3}$ について解き、 $GM = g R^{2}$ を入れる。

$T = 2 π \frac{r ^{3}}{GM}$ の両辺を 2 乗すると、 $T^{2} = \frac{4 π ^{2} r ^{3}}{GM}$
$r^{3}$ について解き、 $GM = g R^{2}$ を入れると、 $r^{3} = \frac{g R ^{2} T ^{2}}{4 π ^{2}}$
$g R^{2}$ は $9.8 \times (6.4 \times 1 0^{6})^{2} ≒ 4.01 \times 1 0^{14}$
$T^{2}$ は $(8.64 \times 1 0^{4})^{2} ≒ 7.46 \times 1 0^{9}$
$4 π^{2}$ は $4 \times 3.1 4^{2} ≒ 39.4$
$r^{3} = \frac{4.01 \times 1 0 ^{14} \times 7.46 \times 1 0 ^{9}}{39.4} ≒ 7.6 \times 1 0^{22}$
$7.6 \times 1 0^{22}$ を $76 \times 1 0^{21}$ と書きなおして 3 乗根をとると、 $r = 376 \times 1 0^{7} ≒ 4.2 \times 1 0^{7} m$

ここで間違えやすい　3 乗根をとる前に、10 の指数を 3 の倍数（ここでは 21）にそろえておくこと。 $1 0^{22}$ のままでは指数を 3 で割れない。