ドップラー効果の応用｜高校物理

学習指導要領物理 (2) ア (ｲ) ㋑「音のドップラー効果について理解すること。」。

0. どういうまとまりか

前のノートの式 $f^{'} = \frac{V - v _{o}}{V - v _{s}} f$ を、少し込み入った場面で使います。
場面は 3 つです。音源と観測者の両方が動くとき、音が壁（反射板）ではね返るとき、音源が観測者の前を通り過ぎるとき。
どれも新しい公式は要りません。正の向きを決めて符号を入れることと、反射では壁を「観測者」と「音源」の 2 役に分けることだけで解けます。

以下、音の速さを $V$ 、音源の振動数を $f$ とし、速さ（向きを含まない大きさ）は $u$ や $v$ で表します。音源、観測者、壁は同じ一直線の上にあるとします。

場面	聞こえる振動数
音源（速さ $u_{s}$ ）と観測者（速さ $u_{o}$ ）が向かい合って近づく	$\frac{V + u _{o}}{V - u _{s}} f$
音源（速さ $u_{s}$ ）と観測者（速さ $u_{o}$ ）が互いに遠ざかる	$\frac{V - u _{o}}{V + u _{s}} f$
音源が速さ $v$ で静止した壁に近づく。壁ではね返った音を、静止した観測者が聞く	$\frac{V}{V - v} f$
音源と観測者が同じ車に乗り、速さ $v$ で静止した壁に近づく。反射音を聞く	$\frac{V + v}{V - v} f$
静止した音源に、壁が速さ $u$ で近づく。音源のそばで反射音を聞く	$\frac{V + u}{V - u} f$

分かれ目は次の 3 つ。

正の向きは、音が伝わる向き（音源から観測者へ）に、場面ごとに取り直す。反射の 2 段階目では、音の伝わる向きが逆になる
壁は、まず観測者として音を受け、次にその振動数の音源として音を出す。静止した壁は振動数を変えない
うなりの回数は、2 つの音の振動数の差。直接音と反射音の振動数を別々に求めてから引く

1. 音源と観測者の両方が動くとき

根拠: 学習指導要領物理-(2)-ア-(イ)-㋑

両方が動いても、式は変わりません。迷うのは符号だけなので、符号を決める手順を固定します。

音源と観測者の両方が動くとき、ドップラー効果の式を立てる手順は？

①音源から観測者へ向かう向きを正と決める　②音源の速度 $v_{s}$ と観測者の速度 $v_{o}$ に、その向きを基準にして符号を付ける　③ $f^{'} = \frac{V - v _{o}}{V - v _{s}} f$ に入れる

速さ（大きさ）をそのまま入れずに、必ず符号を付けてから入れる。式を立てたら、「近づくなら高く、遠ざかるなら低く」で確かめる。

音源が速さ $u_{s}$ 、観測者が速さ $u_{o}$ で、向かい合って互いに近づいている。観測者の聞く振動数は？

$f^{'} = \frac{V + u _{o}}{V - u _{s}} f$

音源から観測者へ向かう向きを正とすると、 $v_{s} = u_{s}$ 、 $v_{o} = - u_{o}$ 。分子は大きく、分母は小さくなり、どちらも振動数を上げる向きに効く。

音源が速さ $u_{s}$ 、観測者が速さ $u_{o}$ で、背を向け合って互いに遠ざかっている。観測者の聞く振動数は？

$f^{'} = \frac{V - u _{o}}{V + u _{s}} f$

音源から観測者へ向かう向きを正とすると、 $v_{s} = - u_{s}$ 、 $v_{o} = u_{o}$ 。分子は小さく、分母は大きくなり、どちらも振動数を下げる向きに効く。

観測者が速さ $u_{o}$ で逃げ、その後ろから音源が速さ $u_{s}$ で同じ向きに追いかけている。観測者の聞く振動数は？もとの音より高いか低いか？

$f^{'} = \frac{V - u _{o}}{V - u _{s}} f$ 。 $u_{s} > u_{o}$ （音源のほうが速く、距離が縮まる）なら高く、 $u_{s} < u_{o}$ （距離が開く）なら低い

どちらの速度も音源から観測者へ向かう向きなので、ともに正。距離が縮まっていれば近づいているのと同じで、高く聞こえる。

2. 反射板があるとき

根拠: 学習指導要領物理-(2)-ア-(イ)-㋑

壁ではね返った音を考えるときは、いちどに式を立てようとせず、「壁に届くまで」と「壁から出たあと」の 2 段階に分けます。

壁（反射板）ではね返った音の振動数は、どう考えて求めるか？

2 段階に分ける。①壁を「観測者」とみなし、壁が受け取る振動数 $f_{1}$ を求める　②壁を「振動数 $f_{1}$ の音を出す音源」とみなし、観測者が聞く振動数を求める

1 段階目と 2 段階目では音の伝わる向きが逆になるので、正の向きを段階ごとに取り直す。

静止した壁は、受け取った音の振動数を変えてはね返すか？

変えない。受け取った振動数と同じ振動数の音を出す

壁に 1 秒間に届いた波の数だけ、壁から 1 秒間に波が出ていく。振動数が変わるのは、壁が動いているときである。

振動数 $f$ の音源が、静止した壁に向かって速さ $v$ で進んでいる。音源の後方（壁と反対の側）に静止した観測者には、音源から直接届く音と壁ではね返った音が聞こえる。それぞれの振動数は？

直接音は $\frac{V}{V + v} f$ 、反射音は $\frac{V}{V - v} f$

直接音は、遠ざかる音源からの音なので低い。壁は、近づく音源からの音を受けるので、高い振動数 $\frac{V}{V - v} f$ を受け取る。壁も観測者も静止しているので、反射音はそのままの振動数で届く。

振動数 $f$ の音源と観測者が同じ車に乗り、静止した壁に向かって速さ $v$ で進んでいる。観測者が聞く反射音の振動数は？

$\frac{V + v}{V - v} f$

①壁は、近づく音源からの音を受ける: $f_{1} = \frac{V}{V - v} f$ 。②壁から出た振動数 $f_{1}$ の音を、壁に近づく観測者が聞く: $\frac{V + v}{V} f_{1}$ 。2 つを掛け合わせる。音源から直接届く音は、音源と観測者が一緒に動いているので $f$ のままである。

静止した振動数 $f$ の音源に向かって、壁が速さ $u$ で近づいている。音源のそばに静止した観測者が聞く反射音の振動数は？

$\frac{V + u}{V - u} f$

①壁は、音源に近づく「観測者」として音を受ける: $f_{1} = \frac{V + u}{V} f$ 。②壁は、観測者に近づく「音源」として音を出す: $\frac{V}{V - u} f_{1}$ 。動く壁は、受けるときと出すときの 2 回、振動数を上げる。

3. うなりと、通過の前後

根拠: 学習指導要領物理-(2)-ア-(イ)-㋑

振動数の少し違う 2 つの音が重なると、うなりが聞こえます。直接音と反射音の組は、その代表です。音源が目の前を通り過ぎるときの音の変化も、ここで扱います。

直接音の振動数が $f_{1}$ 、反射音の振動数が $f_{2}$ のとき、1 秒あたりに聞こえるうなりの回数は？

$∣ f_{1} - f_{2} ∣$

うなりの回数は 2 つの音の振動数の差である。先に 2 つの振動数を別々に求め、最後に引く。

振動数 $f$ の音源が、速さ $v$ で一直線上を進み、その直線上に静止している観測者のすぐそばを通り過ぎる。通過の前と後で、聞こえる振動数はそれぞれいくらか？

通過の前は $\frac{V}{V - v} f$ 、通過の後は $\frac{V}{V + v} f$

通過の前は近づく音源、後は遠ざかる音源である。前も後も一定の高さで聞こえ、通過の瞬間に高い音から低い音へ切りかわる。

一定の速さで進む音源が観測者のそばを通り過ぎた。通過の前に聞こえた振動数が $f_{1}$ 、後に聞こえた振動数が $f_{2}$ のとき、音源の速さ $v$ は？

$v = \frac{f _{1} - f _{2}}{f _{1} + f _{2}} V$

$f_{1} = \frac{V}{V - v} f$ と $f_{2} = \frac{V}{V + v} f$ の比をとると、音源の振動数 $f$ が消えて $\frac{f _{1}}{f _{2}} = \frac{V + v}{V - v}$ 。これを $v$ について解く。音源の振動数を知らなくても速さが分かる。

練習問題

根拠: 学習指導要領物理-(2)-ア-(イ)-㋑

以下、音の速さを $340 m/s$ とし、割り切れないときは有効数字 3 桁で答えます。音源、観測者、壁は同じ一直線の上にあるものとします。

問 1　振動数 $640 Hz$ の音を出す音源が $20 m/s$ の速さで、観測者が $10 m/s$ の速さで、一直線上を向かい合って進み、すれ違った。(1) すれ違う前に観測者が聞く音の振動数を求めよ。(2) すれ違った後、互いに遠ざかっているときに観測者が聞く音の振動数を求めよ。

(1) $700 Hz$ 　(2) $587 Hz$

方針　音源から観測者へ向かう向きを正として、音源と観測者の速度に符号を付け、 $f^{'} = \frac{V - v _{o}}{V - v _{s}} f$ に入れる。すれ違う前と後で、符号がどちらも逆になる。

(1) すれ違う前。音源は観測者へ向かうので $v_{s} = 20 m/s$ 。観測者は音源へ向かうので、正の向きと逆で $v_{o} = - 10 m/s$
分子は $340 + 10 = 350$ 、分母は $340 - 20 = 320$
振動数は $\frac{350}{320} \times 640 = 700 Hz$
(2) すれ違った後。音源は観測者から遠ざかるので $v_{s} = - 20 m/s$ 。観測者は音源から遠ざかるので $v_{o} = 10 m/s$
分子は $340 - 10 = 330$ 、分母は $340 + 20 = 360$
振動数は $\frac{330}{360} \times 640 ≒ 587 Hz$

問 2　静止した壁に向かって、振動数 $720 Hz$ の音を出す音源が $20 m/s$ の速さで進んでいる。音源の後方（壁と反対の側）に、観測者が静止している。(1) 観測者が聞く、音源から直接届く音の振動数を求めよ。(2) 観測者が聞く、壁ではね返った音の振動数を求めよ。

(1) $680 Hz$ 　(2) $765 Hz$

方針　直接音は、観測者から遠ざかる音源の音。反射音は 2 段階で考える。壁は近づく音源の音を受け、静止した壁はその振動数のまま音を出す。

(1) 直接音について、音源から観測者へ向かう向きを正とする。音源は観測者から遠ざかるので $v_{s} = - 20 m/s$ 、 $v_{o} = 0$
分母は $340 + 20 = 360$ なので、振動数は $\frac{340}{360} \times 720 = 680 Hz$
(2) 1 段階目。壁を観測者とみなし、音源から壁へ向かう向きを正とする。音源は壁に近づくので $v_{s} = 20 m/s$ 、壁は静止しているので $v_{o} = 0$
分母は $340 - 20 = 320$ なので、壁が受け取る振動数は $\frac{340}{320} \times 720 = 765 Hz$
2 段階目。静止した壁は、受け取った $765 Hz$ のまま音を出す。観測者も静止しているので、聞こえる反射音は $765 Hz$

ここで間違えやすい　反射音も「遠ざかる音源の音」として低くしてしまうこと。反射音を出しているのは壁で、壁が受けたのは、近づいてくる音源の音である。

問 3　振動数 $338 Hz$ のおんさを鳴らしながら、人が静止した壁に向かって $2.0 m/s$ の速さで歩いている。(1) この人が聞く、壁ではね返った音の振動数を求めよ。(2) この人には、1 秒あたり何回のうなりが聞こえるか。

(1) $342 Hz$ 　(2) 1 秒あたり 4 回

方針　反射音は 2 段階で考える。壁は近づく音源の音を受け、次に、壁に近づく観測者がその音を聞く。おんさから直接届く音は、おんさと人が一緒に動いているので、もとの振動数のままである。

(1) 1 段階目。壁を観測者とみなす。音源（おんさ）は壁に近づくので、壁が受け取る振動数は $f_{1} = \frac{V}{V - v} f$
2 段階目。壁を振動数 $f_{1}$ の音源とみなす。人は壁に近づく観測者なので、聞こえる振動数は $\frac{V + v}{V} f_{1}$
2 つを合わせると、反射音の振動数は $\frac{V + v}{V - v} f$
$V + v$ は $340 + 2.0 = 342$ 、 $V - v$ は $340 - 2.0 = 338$
値を入れると、 $\frac{342}{338} \times 338 = 342 Hz$
(2) 直接音は $338 Hz$ のまま。うなりの回数は振動数の差なので、 $342 - 338 = 4$ 。1 秒あたり 4 回

ここで間違えやすい　2 段階目を忘れて、壁が受け取る振動数 $\frac{340}{338} \times 338 = 340 Hz$ を答えにしてしまうこと。人も壁に向かって動いているので、もう 1 度、振動数が上がる。

問 4　一定の速さで走る救急車が、道ばたに立っている人のすぐそばを通り過ぎた。サイレンの音は、通過の前は $720 Hz$ 、通過の後は $640 Hz$ に聞こえた。(1) 救急車の速さを求めよ。(2) サイレンが出している音の振動数を求めよ。

(1) $20 m/s$ 　(2) $678 Hz$

方針　通過の前は近づく音源、後は遠ざかる音源の式を立てる。2 つの式の比をとると音源の振動数が消え、速さだけの式になる。

救急車の速さを $v$ 、サイレンの振動数を $f$ とする。通過の前は $720 = \frac{340}{340 - v} f$ 、通過の後は $640 = \frac{340}{340 + v} f$
辺々を割ると、 $\frac{720}{640} = \frac{340 + v}{340 - v}$
分母を払うと、 $720 \times (340 - v) = 640 \times (340 + v)$
$v$ についてまとめると、 $(720 + 640) v = (720 - 640) \times 340$ 。つまり $1360 v = 80 \times 340$
(1) $v$ は $\frac{80 \times 340}{1360} = 20 m/s$
(2) 通過の前の式から $f = 720 \times \frac{340 - v}{340}$ 。 $340 - 20 = 320$ なので、 $\frac{720 \times 320}{340} ≒ 678 Hz$

ここで間違えやすい　サイレンの振動数を、前後の平均 $680 Hz$ としてしまうこと。音源が動くときの式は速さが分母に入るので、単純な平均にはならない。

問 5　静止したスピーカーが振動数 $660 Hz$ の音を出している。このスピーカーに向かって、反射板が $10 m/s$ の速さで近づいている。スピーカーのそばに静止している観測者が聞く、反射板ではね返った音の振動数を求めよ。

$700 Hz$

方針　反射板を、まず「音源に近づく観測者」として、次に「観測者に近づく音源」として扱う。反射板が動いているので、2 段階のどちらでも振動数が上がる。

1 段階目。スピーカーから反射板へ向かう向きを正とする。スピーカーは静止していて $v_{s} = 0$ 。反射板はスピーカーへ向かって動くので、正の向きと逆で $v_{o} = - 10 m/s$
反射板が受け取る振動数は $f_{1} = \frac{V + u}{V} f$ （ $u$ は反射板の速さ）
2 段階目。反射板から観測者へ向かう向きを正に取り直す。反射板は観測者へ向かって動くので $v_{s} = 10 m/s$ 、観測者は静止していて $v_{o} = 0$
観測者が聞く振動数は $\frac{V}{V - u} f_{1}$ 。1 段階目の式を入れると $\frac{V + u}{V - u} f$
$V + u$ は $340 + 10 = 350$ 、 $V - u$ は $340 - 10 = 330$
値を入れると、 $\frac{350}{330} \times 660 = 700 Hz$

【発展】観測者が、音源の進む直線から離れているとき

音源の速度のうち、音源と観測者を結ぶ直線の方向の成分だけが、ドップラー効果に効く

音源が進む直線から少し離れたところに立っていると、通過のときの音は急に切りかわらず、高い音から低い音へなめらかに下がっていきます。音源の速さを $v$ 、音源の進む向きと「音源から観測者へ向かう向き」とがなす角を $θ$ とすると、観測者に近づく速度の成分は $v cos θ$ で、聞こえる振動数は $\frac{V}{V - v c o s θ} f$ です。遠くから近づいてくるあいだに出た音は $θ$ がほぼ $0^{\circ}$ で高い音、真横の位置で出た音は $θ = 9 0^{\circ}$ でもとの振動数 $f$ 、通り過ぎたあとに出た音は $cos θ$ が負になって低い音として届きます。

【発展】風が吹いているとき

地面に対する音の速さが変わる。音源から観測者へ向かう向きに速さ $w$ の風が吹いていれば、式の $V$ を $V + w$ に置きかえる

音は空気に対して速さ $V$ で伝わるので、空気そのものが動いていれば、地面から見た音の速さは風の速度のぶんだけ変わります。追い風（音源から観測者へ向かう風）なら $f^{'} = \frac{( V + w ) - v _{o}}{( V + w ) - v _{s}} f$ 、向かい風なら $V - w$ に置きかえます。音源も観測者も地面に対して静止しているときは、分母と分子が等しくなり、風が吹いていても振動数は変わりません。