いろいろな円運動

(1) $4.9\mathrm{N}$　(2) $0.15\mathrm{m}$　(3) $7.0rad/s$　(4) $0.90\mathrm{s}$

方針　おもりが受ける力は重力と張力の 2 つ。鉛直方向はつり合いの式、水平方向は円の中心の向きの運動方程式を書く。円の半径は糸の長さではなく $l\sin \theta$ である。

1. (1) 鉛直方向のつり合いは $S\cos \theta =mg$ なので $S=\frac{mg}{\cos \theta }$。値を入れると、$\frac{0.40\times 9.8}{0.80}=4.9\mathrm{N}$
2. (2) 半径は $r=l\sin \theta$。値を入れると、$0.25\times 0.60=0.15\mathrm{m}$
3. (3) 中心の向きの運動方程式は $mr{\omega }^2=S\sin \theta$
4. $r=l\sin \theta$ と $S=\frac{mg}{\cos \theta }$ を入れて整理すると ${\omega }^2=\frac{g}{l\cos \theta }$
5. 値を入れると、$\frac{9.8}{0.25\times 0.80}=49$。よって $\omega =\sqrt{49}=7.0rad/s$
6. (4) $T=\frac{2\pi }{\omega }$ に値を入れると、$\frac{2\times 3.14}{7.0}\fallingdotseq 0.90\mathrm{s}$

ここで間違えやすい　(3) で半径を $0.25\mathrm{m}$ としてしまうこと。$0.25\mathrm{m}$ は糸の長さで、円の半径は $0.15\mathrm{m}$ である。

(1) $2.5\times 10^3\mathrm{N}$　(2) $14m/s$

方針　水平方向に車が受ける力は静止摩擦力だけなので、これが向心力の役をする。(2) は、静止摩擦力が最大摩擦力 $\mu N$ に達するときの速さを求める。

1. 鉛直方向のつり合いから $N=mg$
2. カーブの中心の向きを正として、運動方程式は $m\frac{v^2}{r}=f$
3. (1) 値を入れると、$\frac{1.0\times 10^3\times 10^2}{40}=2500$。よって $2.5\times 10^3\mathrm{N}$
4. (2) すべらない条件は $f\leqq \mu N=\mu mg$。運動方程式を入れると $m\frac{v^2}{r}\leqq \mu mg$
5. 両辺を $m$ で割って整理すると $v^2\leqq \mu gr$。値を入れると、$0.50\times 9.8\times 40=196$
6. よって最大の速さは $v=\sqrt{196}=14m/s$

ここで間違えやすい　(1) で摩擦力を $\mu mg$（$4.9\times 10^3\mathrm{N}$）と答えてしまうこと。それは最大値で、実際の静止摩擦力は運動方程式から決まる。

$21m/s$

方針　摩擦力が無いので、車が受ける力は重力と垂直抗力の 2 つ。車は水平面内で円運動をするので、力を水平方向と鉛直方向に分ける（斜面に平行・垂直には分けない）。垂直抗力の水平成分が向心力の役をする。

1. 垂直抗力 $N$ は路面に垂直なので、鉛直から角 $\theta$ だけカーブの内側へ傾いている。水平成分は $N\sin \theta$（カーブの中心の向き）、鉛直成分は $N\cos \theta$（上向き）
2. 鉛直方向のつり合いは $N\cos \theta =mg$
3. 中心の向きの運動方程式は $m\frac{v^2}{r}=N\sin \theta$
4. 下の式を上の式で割ると $\frac{v^2}{gr}=\tan \theta$。よって $v^2=gr\tan \theta$
5. 値を入れると、$9.8\times 150\times 0.30=441$。よって $v=\sqrt{441}=21m/s$

ここで間違えやすい　斜面上の物体のときのように $N=mg\cos \theta$ としてしまうこと。それは斜面に垂直な方向に加速度が無いときの式である。ここでは加速度が水平なので、つり合うのは鉛直方向で、$N\cos \theta =mg$ となる。

(1) $15\mathrm{N}$　(2) $3.0\mathrm{N}$　(3) $3.5m/s$

方針　それぞれの点で、円の中心の向きの運動方程式を書く。最高点の速さは、力学的エネルギーの保存で最下点の速さから求める。(3) は、最高点で張力が 0 以上という条件を使う。

1. 重力の大きさは $mg$ で、$0.20\times 9.8=1.96\mathrm{N}$
2. (1) 最下点では中心の向きは鉛直上向き。運動方程式は $m\frac{v_0^2}{r}=S-mg$ なので $S=m\frac{v_0^2}{r}+mg$
3. $m\frac{v_0^2}{r}$ は $\frac{0.20\times 4.0^2}{0.25}=12.8\mathrm{N}$。よって張力は $12.8+1.96=14.76\fallingdotseq 15\mathrm{N}$
4. (2) 最高点は最下点より $2r$ 高い。最高点の速さを $v$ とすると、力学的エネルギーの保存から $v^2=v_0^2-4gr$
5. 両辺に $\frac{m}{r}$ を掛けると $m\frac{v^2}{r}=m\frac{v_0^2}{r}-4mg$
6. 最高点では中心の向きは鉛直下向き。運動方程式は $m\frac{v^2}{r}=S+mg$ なので $S=m\frac{v^2}{r}-mg$
7. 手順 5 を入れると $S=m\frac{v_0^2}{r}-5mg$
8. $5mg$ は $5\times 1.96=9.8\mathrm{N}$。よって張力は $12.8-9.8=3.0\mathrm{N}$
9. (3) 最高点で $S\geqq 0$ となる条件は、手順 7 から $m\frac{v_0^2}{r}\geqq 5mg$。整理すると $v_0^2\geqq 5gr$
10. 値を入れると、$5\times 9.8\times 0.25=12.25$。よって最小値は $v_0=\sqrt{12.25}=3.5m/s$

ここで間違えやすい　(3) で「最高点に届けばよい」と考えて $v_0^2=4gr$ としてしまうこと。その速さでは、最高点に着く前に糸がたるむ。

$\frac{2}{3}r$

方針　球面上をすべる間は、球の中心を中心とする円運動の一部である。離れる瞬間は垂直抗力が 0。その点での中心の向きの運動方程式と、力学的エネルギーの保存を連立する。

1. 小物体の質量を $m$、重力加速度の大きさを $g$ とする。球の中心から見て、鉛直上向きから角 $\theta$ だけ下がった位置での速さを $v$、垂直抗力の大きさを $N$ とする。
2. 重力の、球の中心へ向かう成分は $mg\cos \theta$。垂直抗力は中心から遠ざかる向き。中心の向きの運動方程式は $m\frac{v^2}{r}=mg\cos \theta -N$
3. 頂点からの高さの減りは $r-r\cos \theta$。力学的エネルギーの保存から $\frac{1}{2}m{v}^2=mgr(1-\cos \theta )$。よって $v^2=2gr(1-\cos \theta )$
4. 離れる瞬間は $N=0$ なので、運動方程式は $m\frac{v^2}{r}=mg\cos \theta$。よって $v^2=gr\cos \theta$
5. 手順 3 と手順 4 の $v^2$ を等しいとおくと $2gr(1-\cos \theta )=gr\cos \theta$
6. 両辺を $gr$ で割ると $2-2\cos \theta =\cos \theta$。よって $\cos \theta =\frac{2}{3}$
7. 床からの高さは $r\cos \theta$ なので、$\frac{2}{3}r$

ここで間違えやすい　運動方程式の右辺を $N-mg\cos \theta$ としてしまうこと。球面の外側をすべる物体では、中心に向かうのは重力の成分のほうで、垂直抗力は中心から遠ざかる向きである。