重ね合わせと定在波｜高校物理基礎

学習指導要領物理基礎 (2) ア (ｱ) ㋐「波の性質について，直線状に伝わる場合を中心に理解すること。」。内容の取扱いは「作図を用いる方法を中心に扱うこと。また，定在波も扱い，縦波や横波にも触れること。」としています。

0. どういうまとまりか

2 つの波が同じ場所に来ると、その場所の変位は、それぞれの波が単独で来たときの変位を足したものになります（重ね合わせの原理）。
重なっている間だけ波形は変わりますが、通り過ぎれば 2 つの波は元の形のまま進んでいきます（波の独立性）。
同じ形の波が逆向きに進んで重なり続けると、右にも左にも進まない波ができます。これが定在波（定常波）です。

	進行波	定在波（定常波）
波形	一方向へ進む	進まず、その場で大きくなったり小さくなったりする
各点の振幅	どの点も同じ（ $A$ ）	場所で決まっている。腹で最大（ $2 A$ ）、節で 0
でき方	波源から送り出される	波長・振幅の等しい 2 つの波が、逆向きに進んで重なる

分かれ目は次の 3 つ。

変位は符号をつけて足す。山と谷が重なれば打ち消し合う
重なった後の波は、元の形のまま進む。ぶつかってはね返ったり、消えたりしない
隣り合う節の間隔は半波長 $\frac{λ}{2}$ 。1 波長ではない

1. 重ね合わせの原理と波の独立性

根拠: 学習指導要領物基-(2)-ア-(ア)-㋐

波は物体と違って、同じ場所に同時にいることができます。そのときの変位は足し算で決まります。

波の重ね合わせの原理とは？

2 つの波が重なったとき、媒質の変位 $y$ は、それぞれの波が単独で来たときの変位 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ の和になる。 $y = y_{1} + y_{2}$

変位は符号つきで足す。重なってできた波を合成波という。

波の独立性とは？

2 つの波が重なっても互いに影響を与えず、通り過ぎた後は、それぞれ元の波形・元の速さのまま進んでいくこと

2 人が同時に話しても、それぞれの声が聞き分けられるのは、音の波が独立に伝わるため。

同じ高さ $A$ の山と山が重なった瞬間の変位は？高さ $A$ の山と深さ $A$ の谷が重なった瞬間は？

山と山なら $2 A$ に強め合う。山と谷なら 0 に打ち消し合う

$A + A = 2 A$ 、 $A + (- A) = 0$ 。高さが違う山と谷なら、差の分だけ残る。

山のパルスと、同じ形の谷のパルスがちょうど重なり、変位がどこも 0 になった。波は消えたのか？

消えていない。その瞬間も媒質は動いていて、直後に 2 つのパルスが元の形で現れ、そのまま進んでいく

変位が 0 でも媒質の速度は 0 ではない。波の独立性から、重なりは通過の途中の一瞬にすぎない。

2 つの波の合成波を作図する手順は？

① 同じ時刻の 2 つの波形を描く。② 位置ごとに 2 つの変位を符号つきで足し、その高さに点を打つ。③ 点をなめらかに結ぶ

点を打つ位置は、山・谷・変位 0 の点など、足しやすいところを選ぶ。片方の変位が 0 の点では、合成波はもう片方の波形と一致する。

2. 定在波のでき方

根拠: 学習指導要領物基-(2)-ア-(ア)-㋐

逆向きに進む同じ形の波を重ね、時刻を少しずつ進めて作図していくと、まったく動かない点と、大きく振動する点が交互に並ぶことが分かります。

定在波（定常波）とは？どんなときにできるか？

右にも左にも進まず、その場で振動しているように見える波。波長・振幅・振動数の等しい 2 つの波が、一直線上を逆向きに進んで重なるとできる

定在波に対して、一方向へ進むふつうの波を進行波という。

定在波の「腹」「節」とは？

腹は、最も大きく振動する点。節は、まったく振動しない点

節では、2 つの波の変位がいつも同じ大きさで逆符号になり、打ち消し合い続ける。腹では、2 つの波の山どうし・谷どうしが重なる。

振幅 $A$ の 2 つの進行波がつくる定在波で、腹の振幅はいくらか？

$2 A$

腹では山と山、谷と谷が重なるので、変位は $+ 2 A$ から $- 2 A$ まで変わる。腹と節の間の点の振幅は、0 と $2 A$ の間の値で、場所ごとに決まっている。

定在波の波形は、1 周期の間にどう変わるか？

全体が一直線（どの点も変位 0）になる瞬間と、腹の変位が最大になる瞬間を、 $\frac{1}{4}$ 周期ごとに交互にくり返す

一直線になるのは半周期に 1 回。そのたびに山と谷が入れかわる。山や谷の位置（腹）は左右に動かない。

3. 腹と節の間隔

根拠: 学習指導要領物基-(2)-ア-(ア)-㋐

定在波の問題は、腹と節の間隔を元の進行波の波長で表せれば解けます。

定在波の隣り合う節と節の間隔は、元の進行波の波長 $λ$ の何倍か？隣り合う腹と腹の間隔は？

どちらも半波長 $\frac{λ}{2}$

節と節の間に腹が 1 つあり、定在波の「ふくらみ 1 つ」が半波長にあたる。

定在波の腹と、その隣の節の間隔は？

$\frac{λ}{4}$

腹と節は交互に等間隔で並ぶ。節と節の間隔 $\frac{λ}{2}$ のちょうど真ん中に腹がある。

定在波で、1 つの節をはさんだ両隣の腹は、どのように振動するか？

互いに逆向きに振動する（一方が山のとき、もう一方は谷）

隣り合う節と節の間にある媒質は、そろって同じ向きに動く。節を越えると向きが逆になる。

定在波の節の間隔を測ると、何が分かるか？

元の進行波の波長。節の間隔を 2 倍すれば $λ$ が出る

振動数 $f$ も分かっていれば、 $v = f λ$ で進行波の速さまで求められる。弦の振動や気柱の共鳴は、この考え方で波長を求める。

練習問題

根拠: 学習指導要領物基-(2)-ア-(ア)-㋐

問 1　2 つの波 a、b が重なっている。ある瞬間、点 P では a だけなら変位 $3.0 cm$ 、b だけなら変位 $- 1.2 cm$ である。点 Q では a だけなら $- 2.0 cm$ 、b だけなら $- 1.5 cm$ である。この瞬間の点 P、点 Q の変位を求めよ。

点 P は $1.8 cm$ 、点 Q は $- 3.5 cm$

方針　重ね合わせの原理 $y = y_{1} + y_{2}$ を使う。変位は符号をつけたまま足す。

点 P の変位は $3.0 + (- 1.2) = 1.8 cm$
点 Q の変位は $(- 2.0) + (- 1.5) = - 3.5 cm$

ここで間違えやすい　大きさだけを足して、点 P を $4.2 cm$ としない。逆符号の変位は打ち消し合う。

問 2　 $x$ 軸上を 2 つのパルスが進んでいる。パルス P は幅 $2.0 m$ で変位が一様に $2.0 cm$ の四角い山で、正の向きに速さ $1.0 m/s$ で進む。パルス Q は幅 $2.0 m$ で変位が一様に $- 1.0 cm$ の四角い谷で、負の向きに速さ $1.0 m/s$ で進む。時刻 0 に、P は $0 ≦ x ≦ 2.0 m$ 、Q は $6.0 m ≦ x ≦ 8.0 m$ にある。時刻 $2.5 s$ と時刻 $3.0 s$ の波形を答えよ。

$2.5 s$ : $2.5 m$ から $3.5 m$ までが $2.0 cm$ 、 $3.5 m$ から $4.5 m$ までが $1.0 cm$ 、 $4.5 m$ から $5.5 m$ までが $- 1.0 cm$ 。 $3.0 s$ : $3.0 m$ から $5.0 m$ までが $1.0 cm$ 。それ以外の場所の変位は 0

方針　まず、相手がいないものとして、それぞれのパルスをその時刻の位置まで進める。次に、重なっている区間だけ変位を足す。

$2.5 s$ の間に、どちらも $1.0 \times 2.5 = 2.5 m$ 進む。
P は正の向きへ進んで $2.5 m$ から $4.5 m$ までに、Q は負の向きへ進んで $3.5 m$ から $5.5 m$ までに来る。
P だけがある $2.5 m$ から $3.5 m$ までは $2.0 cm$ 、Q だけがある $4.5 m$ から $5.5 m$ までは $- 1.0 cm$ 。
重なっている $3.5 m$ から $4.5 m$ までは、 $2.0 + (- 1.0) = 1.0 cm$
$3.0 s$ の間には、どちらも $1.0 \times 3.0 = 3.0 m$ 進む。P も Q も $3.0 m$ から $5.0 m$ までに来て、完全に重なる。
この区間の変位は $2.0 + (- 1.0) = 1.0 cm$ で、ほかの場所は 0。

ここで間違えやすい　重なったところで 2 つのパルスが止まったり、はね返ったりすると考えない。それぞれ元の速さで進み続ける。

問 3　問 2 の 2 つのパルスについて、時刻 $6.0 s$ の波形を答えよ。

$0$ から $2.0 m$ までが $- 1.0 cm$ （パルス Q）、 $6.0 m$ から $8.0 m$ までが $2.0 cm$ （パルス P）。それ以外の場所の変位は 0

方針　波の独立性から、重なりを通り過ぎた後は、それぞれ元の形のまま進む。相手がいないものとして位置だけを進めればよい。

$6.0 s$ の間に、どちらも $1.0 \times 6.0 = 6.0 m$ 進む。
P の左端は $0 + 6.0 = 6.0$ 、右端は $2.0 + 6.0 = 8.0$ なので、P は $6.0 m$ から $8.0 m$ までにある。
Q の左端は $6.0 - 6.0 = 0$ 、右端は $8.0 - 6.0 = 2.0$ なので、Q は $0$ から $2.0 m$ までにある。
2 つは重なっていないので、P は $2.0 cm$ の山、Q は $- 1.0 cm$ の谷のまま。

ここで間違えやすい　重なったときに打ち消し合った分だけ、P の山が低くなったままだと考えない。通り過ぎれば元の高さに戻る。

問 4　波長 $0.80 m$ 、振幅 $0.030 m$ の 2 つの波が、一直線上を逆向きに進んで重なり、定在波ができた。隣り合う節の間隔、腹とその隣の節の間隔、腹の振幅を求めよ。

節の間隔 $0.40 m$ 、腹と節の間隔 $0.20 m$ 、腹の振幅 $0.060 m$

方針　定在波の節の間隔は半波長、腹と節の間隔は 4 分の 1 波長。腹の振幅は元の波の振幅の 2 倍。

節と節の間隔は $\frac{λ}{2} = \frac{0.80}{2} = 0.40 m$
腹と隣の節の間隔は $\frac{λ}{4} = \frac{0.80}{4} = 0.20 m$
腹の振幅は $2 A = 2 \times 0.030 = 0.060 m$

ここで間違えやすい　節の間隔を波長そのもの（ $0.80 m$ ）としない。

問 5　ひもに定在波ができている。位置 $x = 0$ と $x = 1.2 m$ がどちらも節で、その間にさらに節が 3 個ある。ひもを伝わる波の振動数は $40 Hz$ である。元の進行波の波長と速さを求めよ。また、 $x = 0$ と $x = 1.2 m$ の間にある腹の数を答えよ。

波長 $0.60 m$ 、速さ $24 m/s$ 、腹は 4 個

方針　節の数から、 $1.2 m$ が節の間隔いくつ分かを数える。節の間隔が半波長なので、2 倍して波長にし、 $v = f λ$ を使う。

両端の節と間の 3 個で、節は全部で 5 個。節と節の間（区間）は $5 - 1 = 4$ 個ある。
節の間隔は $\frac{1.2}{4} = 0.30 m$
これが半波長なので、 $λ = 2 \times 0.30 = 0.60 m$
速さは $v = f λ = 40 \times 0.60 = 24 m/s$
腹は節と節の間に 1 個ずつあるので、区間の数と同じ 4 個。

ここで間違えやすい　 $1.2 m$ を、間の節の数 3 や、節の総数 5 で割らない。割るのは区間の数。