波の反射｜高校物理基礎 — みならいノート

学習指導要領物理基礎 (2) ア (ｱ) ㋐「波の性質について，直線状に伝わる場合を中心に理解すること。」。内容の取扱いは、㋐について「作図を用いる方法を中心に扱うこと」、㋑について「波の反射，共振，うなりなどを扱うこと」としています。

0. どういうまとまりか

波は、媒質の端や、別の媒質との境界に達すると、はね返って戻ってきます。これが波の反射です。
端へ向かう波を入射波、端から戻ってくる波を反射波といいます。
端の媒質が自由に動ける場合（自由端）と、固定されて動けない場合（固定端）とで、反射波の形が変わります。

	自由端反射	固定端反射
端の媒質	自由に動ける	固定されていて動けない
反射波の形	山は山のまま、谷は谷のまま戻る	山は谷に、谷は山になって戻る（上下が逆になる）
反射波の作図	端の向こうへ延ばした波を、端で折り返す	端の向こうへ延ばした波を、上下に反転してから折り返す
入射波と反射波がつくる定在波	端が腹	端が節

弦の振動や気柱の共鳴は、端で反射した波が入射波と重なってできる定在波です。ここでの「端が腹か節か」が、そのまま使われます。

分かれ目は次の 3 つ。

固定端だけ上下が逆になる。自由端はそのまま折り返す
実際に見える波形は、入射波と反射波の合成波。反射波を描いただけで終わらせない
定在波では、自由端が腹、固定端が節。端の媒質が動けるかどうかで決まる

1. 自由端と固定端

根拠: 学習指導要領物基-(2)-ア-(ア)-㋐、物基-(2)-ア-(ア)-㋑

端の媒質が動けるかどうかが、反射のしかたを決めます。

波の反射とは？入射波・反射波とは？

波が媒質の端や境界ではね返って戻ること。端へ向かう波が入射波、端から戻る波が反射波

反射しても、波の速さ・波長・振動数は入射波と変わらない。同じ媒質の中を戻っていくため。

自由端とは？固定端とは？

自由端は、端の媒質が自由に動ける端。固定端は、端の媒質が固定されていて動けない端

ひもの端を、棒に通した軽い輪につないで上下に動けるようにしたものが自由端。ひもの端を壁に結びつけたものが固定端。

自由端に山が入射すると、反射波はどうなるか？

山のまま戻ってくる（上下が変わらない）

谷が入射すれば谷のまま戻る。自由端反射では、波の位相は変わらない。

固定端に山が入射すると、反射波はどうなるか？

谷になって戻ってくる（上下が逆になる）

谷が入射すれば山になって戻る。固定端反射では、波の位相が逆になる（山と谷が入れかわる）。

固定端反射で上下が逆になるのは、なぜか？

固定端の変位は、いつも 0 でなければならないから。端で入射波の変位を打ち消すには、反射波の変位が同じ大きさで逆符号である必要がある

重ね合わせの原理から、端の変位は入射波と反射波の和。和が常に 0 になるのは、反射波が上下逆のときだけ。

2. 反射波の作図

根拠: 学習指導要領物基-(2)-ア-(ア)-㋐、物基-(2)-ア-(ア)-㋑

反射波は、端が無いものとして波をそのまま先へ延ばし、それを端で折り返して描きます。固定端のときだけ、折り返す前に上下を反転します。

自由端反射の反射波を作図する手順は？

① 端が無いものとして、入射波を端の向こう側へそのまま延ばして描く。② 端の向こう側の波形を、端を軸にして左右に折り返す

折り返して端のこちら側に来た波形が反射波。端を鏡と見て、向こう側の波形を写すことにあたる。

固定端反射の反射波を作図する手順は？

① 端が無いものとして、入射波を端の向こう側へそのまま延ばして描く。② 端の向こう側の波形を上下に反転する。③ それを、端を軸にして左右に折り返す

自由端との違いは ② が入ることだけ。端の点を中心に 180° 回した形になる。

反射波を作図した後、実際に観察される波形を得るには、何をするか？

端のこちら側で、入射波と反射波を重ね合わせて合成波を描く

端の近くでは入射波と反射波が同時に存在する。見えるのは、2 つの変位を足した合成波だけ。

自由端に入射波の山の頂上（高さ $A$ ）がちょうど達した瞬間、端の変位はいくらか？固定端ならいくらか？

自由端なら $2 A$ 。固定端なら 0

自由端では、折り返した反射波も端で同じ高さ $A$ になり、足して $2 A$ 。固定端では反射波が $- A$ になり、足して 0。

3. 反射でできる定在波

根拠: 学習指導要領物基-(2)-ア-(ア)-㋐、物基-(2)-ア-(ア)-㋑

連続した波が端に入射し続けると、入射波と反射波は「波長・振幅が等しく、逆向きに進む 2 つの波」になります。これは定在波ができる条件そのものです。

連続した波が端で反射し続けると、端の近くにはどんな波ができるか？

入射波と反射波が重なり合って、定在波ができる

反射波は入射波と同じ波長・同じ速さで逆向きに進むので、定在波のできる条件を満たす。

反射でできる定在波で、自由端は腹か節か？固定端は？

自由端は腹、固定端は節

自由端の媒質は最も大きく振動する。固定端の媒質は動けないので、変位がいつも 0 の節になる。

固定端で反射してできる定在波で、端に最も近い腹は、端からどれだけ離れているか？端の次の節は？

腹は端から $\frac{λ}{4}$ 。次の節は端から $\frac{λ}{2}$

端が節で、そこから $\frac{λ}{4}$ ごとに腹、節、腹、…と交互に並ぶ。

自由端で反射してできる定在波で、端に最も近い節は、端からどれだけ離れているか？端の次の腹は？

節は端から $\frac{λ}{4}$ 。次の腹は端から $\frac{λ}{2}$

端が腹で、そこから $\frac{λ}{4}$ ごとに節、腹、節、…と交互に並ぶ。固定端の場合と、腹と節がちょうど入れかわる。

練習問題

根拠: 学習指導要領物基-(2)-ア-(ア)-㋐、物基-(2)-ア-(ア)-㋑

問 1　ひもを、高さ $3.0 cm$ の山のパルスが速さ $2.0 m/s$ で端に向かって進んでいる。いま、山の頂上は端から $6.0 m$ の位置にある。 $5.0 s$ 後、パルスの頂上は端から何 m の位置にあるか。また、そのときの頂上の変位を、端が (a) 自由端の場合、(b) 固定端の場合について答えよ。

端から $4.0 m$ の位置。(a) $3.0 cm$ （山のまま）　(b) $- 3.0 cm$ （谷になる）

方針　反射しても速さは変わらないので、進む道のりは「速さ × 時間」。端までの距離を引いた残りが、端から戻った距離になる。山か谷かは端の種類で決まる。

$5.0 s$ の間に進む道のりは $2.0 \times 5.0 = 10 m$
端に着くまでに $6.0 m$ 進むので、反射してから戻る距離は $10 - 6.0 = 4.0 m$
(a) 自由端では上下が変わらないので、頂上の変位は $3.0 cm$
(b) 固定端では上下が逆になるので、頂上の変位は $- 3.0 cm$

ここで間違えやすい　 $10 m$ 進むからといって、端の向こう側 $4.0 m$ の位置と答えない。端の向こうに媒質は無く、波は折り返す。

問 2　 $x$ 軸上のひもの右端が $x = 10 m$ にある。幅 $4.0 m$ で変位が一様に $2.0 cm$ の四角い山のパルスが、正の向きに速さ $1.0 m/s$ で進んでいる。時刻 0 にパルスは $4.0 m$ から $8.0 m$ までにある。時刻 $4.0 s$ に観察される波形を、右端が (a) 自由端の場合、(b) 固定端の場合について答えよ。

(a) $8.0 m$ から $10 m$ までが $4.0 cm$ 、ほかは 0　(b) ひも全体が変位 0（一直線）

方針　端が無いものとしてパルスを進め、端の向こうへ出た部分を折り返して反射波にする。固定端なら上下も反転する。最後に、ひもの上で入射波と反射波を足す。

$4.0 s$ の間にパルスは $1.0 \times 4.0 = 4.0 m$ 進む。端が無ければ、 $8.0 m$ から $12 m$ までにある。
このうち、ひもの上に残っている入射波は $8.0 m$ から $10 m$ までで、変位は $2.0 cm$
端の向こうへ出た $10 m$ から $12 m$ までの部分を、 $x = 10 m$ で折り返すと、 $8.0 m$ から $10 m$ までに来る。これが反射波。
(a) 自由端では反射波の変位は $2.0 cm$ のまま。入射波と足して $2.0 + 2.0 = 4.0 cm$
(b) 固定端では反射波の変位は $- 2.0 cm$ になる。入射波と足して $2.0 + (- 2.0) = 0$ なので、ひもは一直線になる。

ここで間違えやすい　反射波だけを答えにしない。観察されるのは入射波と反射波の合成波である。

問 3　問 2 のパルスについて、時刻 $7.0 s$ に観察される波形を、右端が (a) 自由端の場合、(b) 固定端の場合について答えよ。

(a) $5.0 m$ から $9.0 m$ までが $2.0 cm$ の山　(b) $5.0 m$ から $9.0 m$ までが $- 2.0 cm$ の谷。どちらも負の向きに進んでいる

方針　問 2 と同じ手順。端が無いものとして進めたパルスが全部端の向こうへ出ていれば、ひもの上にあるのは反射波だけになる。

$7.0 s$ の間にパルスは $1.0 \times 7.0 = 7.0 m$ 進む。端が無ければ、 $11 m$ から $15 m$ までにある。
パルス全体が端の向こうにあるので、ひもの上に入射波は残っていない。
$x = 10 m$ で折り返す。端から $1.0 m$ 向こうの $11 m$ は $10 - 1.0 = 9.0$ へ、端から $5.0 m$ 向こうの $15 m$ は $10 - 5.0 = 5.0$ へ移る。反射波は $5.0 m$ から $9.0 m$ までにある。
(a) 自由端では上下が変わらないので、 $2.0 cm$ の山。
(b) 固定端では上下が逆になるので、 $- 2.0 cm$ の谷。

問 4　波長 $0.80 m$ の連続した波がひもの端に入射し続け、反射波と重なって定在波ができている。端から $1.0 m$ までの範囲（端を含む）にある節の位置を、端からの距離で、端が (a) 固定端の場合、(b) 自由端の場合についてすべて答えよ。

(a) $0$ 、 $0.40 m$ 、 $0.80 m$ 　(b) $0.20 m$ 、 $0.60 m$ 、 $1.0 m$

方針　固定端は節、自由端は腹。そこから、節と節は半波長ごと、腹と隣の節は 4 分の 1 波長離れて並ぶ。

節と節の間隔は $\frac{λ}{2} = \frac{0.80}{2} = 0.40 m$ 、腹と隣の節の間隔は $\frac{λ}{4} = \frac{0.80}{4} = 0.20 m$
(a) 固定端は節なので、端（距離 0）が節。そこから $0.40 m$ ごとに、 $0.40 m$ 、 $0.80 m$ 。次の $1.2 m$ は範囲の外。
(b) 自由端は腹なので、最初の節は端から $0.20 m$ 。
そこから $0.40 m$ ごとに、 $0.20 + 0.40 = 0.60$ 、 $0.60 + 0.40 = 1.0$ で、 $0.60 m$ と $1.0 m$ が節。

ここで間違えやすい　自由端の場合に、端そのものを節に数えない。自由端は最も大きく振動する腹である。

問 5　振動数 $5.0 Hz$ 、速さ $2.0 m/s$ の連続した波が、ひもの自由端に入射し続けている。この波の波長を求めよ。また、できた定在波で、端に最も近い節は端から何 m の位置にあるか。

波長 $0.40 m$ 、端に最も近い節は端から $0.10 m$

方針　波長は $v = f λ$ から求める。自由端は腹になるので、最初の節は端から 4 分の 1 波長の位置にある。

$v = f λ$ から、 $λ = \frac{v}{f} = \frac{2.0}{5.0} = 0.40 m$
自由端は腹。腹と隣の節の間隔は $\frac{λ}{4}$
端から最初の節までは $\frac{0.40}{4} = 0.10 m$

ここで間違えやすい　半波長の $0.20 m$ と答えない。 $0.20 m$ は腹から次の腹までの間隔で、そこにあるのは腹。