運動方程式の立て方｜高校物理基礎

学習指導要領物理基礎 (1) ア (ｲ) ㋒「物体に一定の力を加え続けたときの運動に関する実験などを行い，物体の質量，物体に働く力，物体に生じる加速度の関係を見いだして理解するとともに，運動の三法則を理解すること。」。

0. どういうまとまりか

運動方程式 $ma = F$ は、式そのものは短くても、右辺の $F$ を正しく作るところでつまずきます。
立て方は決まった手順にできます。「物体を決める」「受ける力を全部挙げる」「正の向きを決める」「運動する方向の成分で式にする」の 4 つです。
どんな場面でもこの順に進めれば、式は機械的に立ちます。

場面ごとの式は次のとおりです（質量 $m$ 、加速度 $a$ 、重力加速度の大きさ $g$ 、動摩擦係数 $μ^{'}$ 、斜面の傾きの角 $θ$ 。正の向きは運動の向き）。

場面	運動する方向の運動方程式	運動に垂直な方向のつり合い
なめらかな水平面で、水平に力 $F$ で引く	$ma = F$	$N = m g$
あらい水平面で、水平に力 $F$ で引く	$ma = F - μ^{'} N$	$N = m g$
なめらかな斜面をすべり下りる	$ma = m g sin θ$	$N = m g cos θ$
あらい斜面をすべり下りる	$ma = m g sin θ - μ^{'} N$	$N = m g cos θ$
糸で鉛直に引き上げる（張力 $T$ ）	$ma = T - m g$	（なし）

分かれ目は次の 3 つ。

式を書く前に、物体が受ける力を全部挙げる。重力と、触れているものから受ける力。挙げ忘れた力は式に入らない
正の向きを先に決め、逆向きの力には負の符号を付ける。向きを決めずに書くと符号が合わなくなる
運動に垂直な方向は、力のつり合いの式にする。垂直抗力はここから決まり、摩擦力の大きさに効く

1. 立てる手順

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(イ)-㋒

式を立てる前の準備が、式そのものより大事です。どの物体について、どの力を、どの向きを正として書くのかを先に決めます。

運動方程式を立てる手順を、順に 4 つ言うと？

①どの物体について立てるかを決める　②その物体が受ける力を全部挙げる　③正の向きを決める　④運動する方向の力の成分で $ma = F$ を書く

正の向きは、ふつう物体が運動する向きにとる（減速しているときは、加速度が負になる）。運動に垂直な方向は、つり合いの式を別に書く。

物体が受ける力を、漏れなく挙げるにはどうするか？

まず重力を挙げる。次に、物体に触れているものを 1 つずつ確かめ、それぞれから受ける力（垂直抗力・摩擦力・張力・弾性力など）を挙げる

物理基礎の力学の問題では、離れていても受ける力は重力だけ。あとは必ず「触れているもの」から受ける。

運動方程式の右辺に入れてよいのは、どんな力か？

注目している物体が「受ける」力だけ

その物体がほかの物体に「及ぼす」力は入れない。例えば、物体が床を押す力は床が受ける力なので、物体の運動方程式には出てこない。

運動方程式の右辺を作るとき、力の符号はどう決めるか？

正の向きと同じ向きの力は正、逆向きの力は負として足しあわせる

斜めの力は、運動する方向とそれに垂直な方向に分解してから、運動する方向の成分だけを入れる。

力を挙げるときに「 $ma$ 」を力の 1 つとして数えてよいか？

数えない。 $ma$ は力ではなく、力の合計がもたらす結果

「進む向きに $ma$ という力が働く」と書くと、力が 1 つ余分になる。力として挙げるのは、何かから受けているものだけ。

運動方程式で加速度が求まったあと、速さや進んだ距離を求めるにはどうするか？

等加速度直線運動の式（ $v = v_{0} + a t$ 、 $x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ 、 $v^{2} - v_{0}^{2} = 2 a x$ ）に、その加速度を入れる

力が一定なら加速度も一定なので、等加速度直線運動になる。運動方程式は「力から加速度を出す」ところまでを受けもつ。

2. 水平面上の運動

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(イ)-㋒

水平面上を水平に進む物体は、鉛直方向には動きません。鉛直方向はつり合い、水平方向は運動方程式、と分けて書きます。

なめらかな水平面上の質量 $m$ の物体を、水平に力 $F$ で引く。水平方向と鉛直方向の式は？

水平方向は運動方程式 $ma = F$ 。鉛直方向はつり合いの式 $N = m g$

受ける力は、重力 $m g$ （下向き）、垂直抗力 $N$ （上向き）、引く力 $F$ （水平）の 3 つ。重力と垂直抗力は水平方向の運動に関わらない。

あらい水平面上の質量 $m$ の物体を、水平に力 $F$ で引いて動かしている。動摩擦係数を $μ^{'}$ として、運動方程式は？

$ma = F - μ^{'} N$ 。鉛直方向のつり合い $N = m g$ を入れると $ma = F - μ^{'} m g$

動摩擦力は運動の向きと逆向きなので、負の符号が付く。垂直抗力 $N$ を先に鉛直方向のつり合いから求めておく。

あらい水平面上をすべっている物体から手を離した（引く力が無い）。動摩擦係数を $μ^{'}$ として、加速度はどうなるか？

運動の向きを正として $a = - μ^{'} g$ （運動と逆向きに、大きさ $μ^{'} g$ ）。質量によらない

水平方向に受ける力は動摩擦力だけなので、 $ma = - μ^{'} m g$ 。両辺の $m$ が消える。物体は減速してやがて止まる。

3. 鉛直方向の運動

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(イ)-㋒

糸でつるした物体を引き上げたり下ろしたりするとき、物体が受ける力は重力と糸の張力の 2 つです。

質量 $m$ の物体を、糸で鉛直に引き上げている。糸の張力の大きさを $T$ 、鉛直上向きを正として、運動方程式は？

$ma = T - m g$

張力は上向きなので正、重力は下向きなので負。 $a$ が正なら上向きに加速、負なら下向きに加速している。

糸でつるした質量 $m$ の物体について、張力 $T$ と重力 $m g$ の大小と、物体の運動の関係は？

$T > m g$ なら加速度は上向き、 $T = m g$ なら加速度 0（静止または等速）、 $T < m g$ なら加速度は下向き

張力が重力と等しいのは、静止しているときと一定の速度で動いているときだけ。上向きに動いていても、減速中なら $T < m g$ である。

4. 斜面上の運動

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(イ)-㋒

斜面上の物体は斜面に沿って動くので、重力を「斜面に平行な方向」と「斜面に垂直な方向」に分解して考えます。

傾きの角 $θ$ のなめらかな斜面を、質量 $m$ の物体がすべり下りる。運動方程式と加速度は？

斜面に沿って下向きを正として $ma = m g sin θ$ 。加速度は $a = g sin θ$ で、質量によらない

斜面に平行な方向に受ける力は、重力の成分 $m g sin θ$ だけ。斜面に垂直な方向はつり合っていて $N = m g cos θ$ 。

傾きの角 $θ$ のあらい斜面を、質量 $m$ の物体がすべり下りる。動摩擦係数を $μ^{'}$ として、運動方程式は？

斜面に沿って下向きを正として $ma = m g sin θ - μ^{'} m g cos θ$

動摩擦力は斜面に沿って上向きで、大きさは $μ^{'} N$ 。垂直抗力は $N = m g cos θ$ で、水平面のときの $m g$ とは違う。

練習問題

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(イ)-㋒

以下、重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ とします。

問 1　なめらかな水平面上に静止している質量 $4.0 kg$ の物体を、水平に $10 N$ の力で引き続けた。(1) 加速度の大きさを求めよ。(2) 引きはじめてから $4.0 s$ 後の速さを求めよ。

(1) $2.5 m/ s^{2}$ 　(2) $10 m/s$

方針　まず運動方程式で加速度を出す。力が一定なので等加速度直線運動になり、速さは $v = v_{0} + a t$ で求められる。

物体が受ける力は、重力（下向き）、垂直抗力（上向き）、引く力（水平）の 3 つ。水平方向の力は引く力だけ。
引く向きを正として、運動方程式 $ma = F$ から $a = \frac{F}{m}$
(1) 値を入れると、 $\frac{10}{4.0} = 2.5 m/ s^{2}$
(2) 初速度は 0 なので $v = a t$ 。値を入れると、 $2.5 \times 4.0 = 10 m/s$

問 2　あらい水平面上で、質量 $5.0 kg$ の物体を水平に $19.8 N$ の力で引いて動かしている。物体と面との間の動摩擦係数は $0.20$ である。物体の加速度の大きさを求めよ。

$2.0 m/ s^{2}$

方針　動摩擦力の大きさは $μ^{'} N$ なので、先に鉛直方向のつり合いから垂直抗力 $N$ を求める。そのあと、水平方向の運動方程式を立てる。

物体が受ける力は、重力（下向き）、垂直抗力（上向き）、引く力（運動の向き）、動摩擦力（運動と逆向き）の 4 つ。
鉛直方向のつり合いから $N = m g$ 。値を入れると、 $5.0 \times 9.8 = 49 N$
動摩擦力の大きさは $μ^{'} N$ なので、 $0.20 \times 49 = 9.8 N$
運動の向きを正とすると、水平方向の合力は $19.8 - 9.8 = 10 N$
運動方程式から $a = \frac{F}{m}$ なので、 $\frac{10}{5.0} = 2.0 m/ s^{2}$

ここで間違えやすい　動摩擦力を引き忘れて $\frac{19.8}{5.0}$ としてしまうこと。右辺は合力である。

問 3　質量 $2.0 kg$ の物体に糸を付けて鉛直につるした。次のそれぞれの場合について、糸の張力の大きさを求めよ。(1) 鉛直上向きに $1.2 m/ s^{2}$ の加速度で引き上げているとき。(2) 一定の速度で引き上げているとき。(3) 鉛直下向きに $1.2 m/ s^{2}$ の加速度で下ろしているとき。

(1) $22 N$ 　(2) $20 N$ 　(3) $17 N$

方針　物体が受ける力は、張力 $T$ （上向き）と重力 $m g$ （下向き）の 2 つだけ。鉛直上向きを正として $ma = T - m g$ を立て、加速度の符号を場合ごとに入れかえる。

重力の大きさは $m g$ なので、 $2.0 \times 9.8 = 19.6 N$
鉛直上向きを正として、運動方程式は $ma = T - m g$ 。張力について解くと $T = ma + m g$
(1) 加速度は上向きなので $a = 1.2 m/ s^{2}$ 。 $2.0 \times 1.2 + 19.6 = 2.4 + 19.6 = 22 N$
(2) 一定の速度なので $a = 0$ 。張力は重力と等しく、 $19.6 ≒ 20 N$
(3) 加速度は下向きなので $a = - 1.2 m/ s^{2}$ 。 $2.0 \times (- 1.2) + 19.6 = 17.2 ≒ 17 N$

ここで間違えやすい　(2) で「上向きに動いているから張力のほうが大きい」と考えてしまうこと。速度が一定なら合力は 0 で、張力は重力と等しい。

問 4　水平面と $3 0^{\circ}$ の角をなすなめらかな斜面の上に、物体を静かに置いたところ、物体は斜面に沿ってすべり下りた。(1) 加速度の大きさを求めよ。(2) すべりはじめてから $2.0 s$ の間にすべった距離を求めよ。 $sin 3 0^{\circ} = 0.50$ とする。

(1) $4.9 m/ s^{2}$ 　(2) $9.8 m$

方針　質量は与えられていないが、文字 $m$ でおいて式を立てると途中で消える。斜面に平行な方向の力は重力の成分 $m g sin 3 0^{\circ}$ だけである。

物体が受ける力は、重力（鉛直下向き）と垂直抗力（斜面に垂直）の 2 つ。
重力を分解すると、斜面に平行な成分は $m g sin 3 0^{\circ}$ （斜面に沿って下向き）。垂直抗力は斜面に垂直なので、平行な方向の成分をもたない。
斜面に沿って下向きを正として、運動方程式は $ma = m g sin 3 0^{\circ}$
両辺を $m$ で割ると $a = g sin 3 0^{\circ}$ 。(1) 値を入れると、 $9.8 \times 0.50 = 4.9 m/ s^{2}$
(2) 初速度は 0 なので $x = \frac{1}{2} a t^{2}$ 。値を入れると、 $\frac{1}{2} \times 4.9 \times 2. 0^{2} = 9.8 m$

ここで間違えやすい　重力 $m g$ をそのまま右辺に入れてしまうこと。斜面に沿った方向に効くのは、重力のうち斜面に平行な成分だけである。

問 5　あらい水平面上で、物体を初速度 $7.0 m/s$ ですべらせた。物体と面との間の動摩擦係数は $0.50$ である。(1) すべっている間の加速度の向きと大きさを求めよ。(2) 物体が止まるまでにすべった距離を求めよ。

(1) 運動と逆向きに $4.9 m/ s^{2}$ 　(2) $5.0 m$

方針　すべっている間に水平方向に受ける力は動摩擦力だけ。質量を $m$ でおいて運動方程式を立てると $m$ が消える。距離は、時間を使わない式 $v^{2} - v_{0}^{2} = 2 a x$ で求める。

物体が受ける力は、重力（下向き）、垂直抗力（上向き）、動摩擦力（運動と逆向き）の 3 つ。押す力や引く力は受けていない。
鉛直方向のつり合いから $N = m g$ 。動摩擦力の大きさは $μ^{'} N = μ^{'} m g$
運動の向きを正として、運動方程式は $ma = - μ^{'} m g$ 。両辺を $m$ で割ると $a = - μ^{'} g$
(1) 大きさは $0.50 \times 9.8 = 4.9 m/ s^{2}$ 。符号が負なので、向きは運動と逆向き。
(2) 止まるとき $v = 0$ 。 $v^{2} - v_{0}^{2} = 2 a x$ に入れると $0 - 7. 0^{2} = 2 \times (- 4.9) \times x$
$x$ について解くと、 $\frac{7. 0 ^{2}}{2 \times 4.9} = \frac{49}{9.8} = 5.0 m$

ここで間違えやすい　「前に進んでいるのだから、前向きの力も受けている」と考えて力を 1 つ足してしまうこと。手を離れたあとは、進む向きの力は無い。物体は慣性で進み、動摩擦力で減速する。