複数の物体の運動方程式｜高校物理基礎

学習指導要領物理基礎 (1) ア (ｲ) ㋒「物体に一定の力を加え続けたときの運動に関する実験などを行い，物体の質量，物体に働く力，物体に生じる加速度の関係を見いだして理解するとともに，運動の三法則を理解すること。」。

0. どういうまとまりか

糸でつながれた 2 つの物体や、くっついて押される 2 つの物体は、一緒に動きます。
このときも立て方は 1 つの物体のときと同じで、物体ごとに、その物体が受ける力だけで運動方程式を立てます。
式は物体の数だけでき、未知数（加速度と、物体のあいだの力）もちょうどその数だけあるので、連立して解けます。

2 つの物体 A（質量 $m_{A}$ ）と B（質量 $m_{B}$ ）について、場面ごとの式は次のとおりです（面はなめらか、糸と滑車は軽いものとする）。

場面	A の運動方程式	B の運動方程式	加速度の大きさ
水平面上で糸でつなぎ、A を力 $F$ で引く	$m_{A} a = F - T$	$m_{B} a = T$	$\frac{F}{m _{A} + m _{B}}$
水平面上で接して置き、A を力 $F$ で押す	$m_{A} a = F - f$	$m_{B} a = f$	$\frac{F}{m _{A} + m _{B}}$
A は水平な机の上、B は滑車を通してつるす	$m_{A} a = T$	$m_{B} a = m_{B} g - T$	$\frac{m _{B}}{m _{A} + m _{B}} g$
滑車の両側に A と B をつるす（ $m_{A} > m_{B}$ ）	$m_{A} a = m_{A} g - T$	$m_{B} a = T - m_{B} g$	$\frac{m _{A} - m _{B}}{m _{A} + m _{B}} g$

分かれ目は次の 3 つ。

物体ごとに力を挙げ、物体ごとに式を立てる。A を引く力 $F$ は A が受ける力で、B の式には入らない
1 本の軽い糸の張力は両端で同じ大きさ。A が引かれる力と B が引かれる力を、同じ文字 $T$ でおける
糸でつながれた（または接した）物体の加速度の大きさは共通。同じ文字 $a$ でおき、正の向きはそれぞれが動く向きにとる

1. 考え方の基本

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(イ)-㋒

物体が 2 つになっても、新しい法則は要りません。使うのは運動方程式と作用・反作用の法則だけです。

2 つの物体が一緒に動くとき、運動方程式はどう立てるか？

物体ごとに、その物体が受ける力を全部挙げ、物体ごとに運動方程式を立てる。できた式を連立して解く

物体のあいだで及ぼしあう力（張力や押しあう力）は、作用・反作用の関係で大きさが等しいので、同じ文字でおく。

軽い糸でつないだ 2 つの物体が、糸から受ける張力の大きさについて言えることは？

糸の両端で同じ大きさ

「軽い」は糸の質量を無視できるという意味。糸の質量が無視できれば、糸がどちらの物体を引く力も同じ大きさになる。

伸びない糸でつないだ 2 つの物体の加速度について言えることは？

加速度の大きさが等しい（糸がたるまないかぎり）

糸が伸びも縮みもしないので、2 つの物体は同じ時間に同じ距離だけ進む。速さの変わり方も同じになる。接して動く 2 つの物体も同じ。

2 つの物体を 1 つのかたまりとみて運動方程式を立てると、何が求まり、何が求まらないか？

加速度は求まる。物体のあいだで及ぼしあう力（張力や押しあう力）は求まらない

かたまりの中で及ぼしあう力は作用・反作用で打ち消しあい、式に出てこない。その力を知りたいときは、物体を 1 つだけ取り出して式を立てる。

2. 糸でつながれた 2 物体・接して押される 2 物体

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(イ)-㋒

なめらかな水平面上の 2 物体を考えます。外から加えた力を直接受けるのは、片方の物体だけです。

なめらかな水平面上で、A（質量 $m_{A}$ ）と B（質量 $m_{B}$ ）を軽い糸でつなぎ、A を水平に力 $F$ で引く。張力を $T$ 、加速度を $a$ として、それぞれの運動方程式は？

A: $m_{A} a = F - T$ 　　B: $m_{B} a = T$

A は前から $F$ で引かれ、後ろから糸に $T$ で引かれる。B が水平方向に受ける力は糸の張力 $T$ だけ。

上の 2 式 $m_{A} a = F - T$ 、 $m_{B} a = T$ から、加速度 $a$ と張力 $T$ を求めると？

$a = \frac{F}{m _{A} + m _{B}}$ 、 $T = \frac{m _{B}}{m _{A} + m _{B}} F$

2 式を足すと $T$ が消えて $(m_{A} + m_{B}) a = F$ 。張力は後ろの B だけを加速する力なので、 $F$ より小さい。

なめらかな水平面上で、A（質量 $m_{A}$ ）と B（質量 $m_{B}$ ）を接して置き、A を B の側へ水平に力 $F$ で押す。押しあう力を $f$ 、加速度を $a$ として、それぞれの運動方程式は？

A: $m_{A} a = F - f$ 　　B: $m_{B} a = f$

A は $F$ で押され、B から逆向きに $f$ で押し返される。B が水平方向に受ける力は、A から押される力 $f$ だけ。

接した 2 物体 A、B のうち A を力 $F$ で押すとき、B が A から受ける力の大きさは $F$ と等しいか？

等しくない。 $F$ より小さい（ $f = \frac{m _{B}}{m _{A} + m _{B}} F$ ）

$F$ は A が受ける力で、B には直接働かない。 $F$ のうち A 自身を加速するのに使われた残りが、B を押す力になる。

3. 滑車にかけた 2 物体

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(イ)-㋒

滑車を使うと、糸の向きが途中で変わります。2 つの物体は別々の向きに動くので、正の向きを物体ごとに決めます。

軽くてなめらかに回る滑車は、糸の張力に対してどんな働きをするか？

力の向きを変えるだけで、張力の大きさは変えない

滑車の両側で、糸の張力は同じ大きさ。だから滑車にかけた糸でつないだ 2 物体も、同じ文字 $T$ でおける。

滑車にかけた糸でつないだ 2 つの物体について、正の向きはどう決めるか？

物体ごとに、その物体が動く向きを正にとる（一方が下向きなら、もう一方は上向きや水平向き）

こうすると 2 つの物体の加速度を同じ文字 $a$ （同じ符号）でおける。向きは糸に沿ってひとつながりに決める、と考えてもよい。

なめらかな水平な机の上の A（質量 $m_{A}$ ）に糸を付け、机の端の滑車を通して B（質量 $m_{B}$ ）をつるす。張力を $T$ 、加速度を $a$ として、それぞれの運動方程式は？

A: $m_{A} a = T$ 　　B: $m_{B} a = m_{B} g - T$

A は水平方向に張力だけを受ける。B は鉛直下向きを正として、重力 $m_{B} g$ が正、張力 $T$ が負。足すと $a = \frac{m _{B}}{m _{A} + m _{B}} g$ 。

上の場合、B をつるしている糸の張力 $T$ は、B の重力 $m_{B} g$ と比べてどうか？その理由は？

$T$ は $m_{B} g$ より小さい。B が下向きに加速しているから

B の式 $m_{B} a = m_{B} g - T$ で $a > 0$ なので $T < m_{B} g$ 。張力が重力と等しくなるのは、B が静止または等速のときだけ。

天井からつるした滑車に糸をかけ、両端に A（質量 $m_{A}$ ）と B（質量 $m_{B}$ ）をつるす（ $m_{A} > m_{B}$ ）。張力を $T$ 、加速度を $a$ として、それぞれの運動方程式は？

A（下向きを正）: $m_{A} a = m_{A} g - T$ 　　B（上向きを正）: $m_{B} a = T - m_{B} g$

重い A が下がり、軽い B が上がる。2 式を足すと $T$ が消えて $a = \frac{m _{A} - m _{B}}{m _{A} + m _{B}} g$ 。

滑車の両側に 2 つの物体をつるして動かすと、加速度の大きさは $g$ と比べてどうなるか？

$g$ より小さい

動かす力は重力の差 $(m_{A} - m_{B}) g$ だけなのに、加速される質量は合計の $m_{A} + m_{B}$ だから。質量の差が小さいほど、ゆっくり加速する。

練習問題

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(イ)-㋒

以下、糸と滑車は軽く、滑車はなめらかに回るものとし、重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ とします。

問 1　なめらかな水平面上に、質量 $2.0 kg$ の物体 A と質量 $3.0 kg$ の物体 B を糸でつないで置き、A を水平に $10 N$ の力で引いた。B は A の後ろを糸に引かれて動く。加速度の大きさと、糸の張力の大きさを求めよ。

加速度 $2.0 m/ s^{2}$ 、張力 $6.0 N$

方針　A と B のそれぞれについて、水平方向に受ける力を挙げて運動方程式を立てる。2 式を足すと張力が消えて、加速度が先に求まる。

引く向きを正とし、加速度を $a$ 、張力の大きさを $T$ とおく。
A が水平方向に受ける力は、引く力（正の向き）と糸の張力（負の向き）。運動方程式は $2.0 a = 10 - T$
B が水平方向に受ける力は、糸の張力（正の向き）だけ。運動方程式は $3.0 a = T$
2 式を足すと $T$ が消えて、 $5.0 a = 10$
よって加速度は $\frac{10}{5.0} = 2.0 m/ s^{2}$
B の式に入れると、張力は $3.0 \times 2.0 = 6.0 N$
確かめ: A の式の右辺は $10 - 6.0 = 4.0$ 、左辺は $2.0 \times 2.0 = 4.0$ で合っている。

ここで間違えやすい　B の式に引く力の $10 N$ を入れてしまうこと。 $10 N$ の力を受けているのは A だけである。

問 2　なめらかな水平面上に、質量 $3.0 kg$ の物体 A と質量 $1.0 kg$ の物体 B を接して置いた。(1) A を B の側へ水平に $8.0 N$ の力で押すとき、A と B が押しあう力の大きさを求めよ。(2) 逆に、B を A の側へ水平に $8.0 N$ の力で押すとき、押しあう力の大きさを求めよ。

(1) $2.0 N$ 　(2) $6.0 N$

方針　どちらの場合も 2 物体は一緒に動くので、加速度は全体の質量から決まる。押しあう力は、「外から押されていないほうの物体」だけを取り出して運動方程式を立てると、すぐに求まる。

2 物体を 1 つのかたまりとみると、質量は $3.0 + 1.0 = 4.0 kg$
かたまりが水平方向に受ける力は押す力だけなので、加速度は $\frac{8.0}{4.0} = 2.0 m/ s^{2}$ 。これは (1) と (2) で共通。
(1) B が水平方向に受ける力は、A から押される力だけ。B の運動方程式から、その大きさは $1.0 \times 2.0 = 2.0 N$
(2) 今度は A が水平方向に受ける力が、B から押される力だけ。A の運動方程式から、その大きさは $3.0 \times 2.0 = 6.0 N$
確かめ: (1) の A について、合力は $8.0 - 2.0 = 6.0$ 、質量と加速度の積は $3.0 \times 2.0 = 6.0$ で合っている。

ここで間違えやすい　押しあう力を $8.0 N$ と答えてしまうこと。押しあう力は、先にある物体を加速するのに必要なぶんだけで、先にある物体の質量が大きいほど大きい。

問 3　なめらかな水平な机の上に質量 $4.0 kg$ の物体 A を置き、A に付けた糸を机の端の滑車にかけて、他端に質量 $1.0 kg$ の物体 B をつるした。静かに手を離すと、A は机の上をすべり、B は下降した。加速度の大きさと、糸の張力の大きさを求めよ。

加速度 $2.0 m/ s^{2}$ 、張力 $7.8 N$

方針　A は水平に、B は鉛直下向きに動く。それぞれ動く向きを正にとると、同じ加速度 $a$ と同じ張力 $T$ で 2 つの式が立つ。

A が動く向き（滑車の側）と、B が動く向き（鉛直下向き）をそれぞれ正とし、加速度を $a$ 、張力の大きさを $T$ とおく。
A が水平方向に受ける力は張力だけ。運動方程式は $4.0 a = T$
B が受ける力は、重力（正の向き）と張力（負の向き）。重力の大きさは $1.0 \times 9.8 = 9.8 N$ なので、運動方程式は $1.0 a = 9.8 - T$
2 式を足すと $T$ が消えて、 $5.0 a = 9.8$
よって加速度は $\frac{9.8}{5.0} = 1.96 ≒ 2.0 m/ s^{2}$
A の式に入れると、張力は $4.0 \times 1.96 = 7.84 ≒ 7.8 N$

ここで間違えやすい　張力を B の重力と同じ $9.8 N$ としてしまうこと。B は下向きに加速しているので、張力は重力より小さい。

問 4　天井からつるした滑車に糸をかけ、一端に質量 $3.0 kg$ の物体 A を、他端に質量 $2.0 kg$ の物体 B をつるして、静かに手を離した。加速度の大きさと、糸の張力の大きさを求めよ。

加速度 $2.0 m/ s^{2}$ 、張力 $24 N$

方針　重い A が下がり、軽い B が上がる。A は下向き、B は上向きを正にとって、物体ごとに運動方程式を立てる。

加速度を $a$ 、張力の大きさを $T$ とおく。A の重力は $3.0 \times 9.8 = 29.4 N$ 、B の重力は $2.0 \times 9.8 = 19.6 N$
A（下向きを正）が受ける力は、重力（正の向き）と張力（負の向き）。運動方程式は $3.0 a = 29.4 - T$
B（上向きを正）が受ける力は、張力（正の向き）と重力（負の向き）。運動方程式は $2.0 a = T - 19.6$
2 式を足すと $T$ が消えて、 $5.0 a = 29.4 - 19.6$ 。右辺は $29.4 - 19.6 = 9.8$
よって加速度は $\frac{9.8}{5.0} = 1.96 ≒ 2.0 m/ s^{2}$
B の式から $T = 2.0 a + 19.6$ 。値を入れると、 $2.0 \times 1.96 + 19.6 = 23.52 ≒ 24 N$
確かめ: A の式から求めても、 $29.4 - 3.0 \times 1.96 = 23.52$ で同じになる。

ここで間違えやすい　2 つの物体で正の向きを同じ（どちらも下向きなど）にして、加速度を同じ $a$ とおいてしまうこと。A と B は逆向きに動くので、正の向きも逆にとる。

問 5　質量 $1.0 kg$ の物体 A の下に、糸で質量 $2.0 kg$ の物体 B をつるし、A に付けた別の糸を鉛直上向きに $36 N$ の力で引いて、全体を引き上げた。加速度の大きさと、A と B をつなぐ糸の張力の大きさを求めよ。

加速度 $2.2 m/ s^{2}$ 、張力 $24 N$

方針　鉛直上向きを正として、A と B のそれぞれが受ける力を挙げる。A は「上の糸・重力・下の糸」の 3 つ、B は「下の糸・重力」の 2 つ。2 式を足すと、あいだの糸の張力が消える。

加速度を $a$ 、A と B をつなぐ糸の張力の大きさを $T$ とおく。A の重力は $1.0 \times 9.8 = 9.8 N$ 、B の重力は $2.0 \times 9.8 = 19.6 N$
A が受ける力は、上の糸が引く力（上向き、 $36 N$ ）、重力（下向き）、下の糸の張力（下向き）。運動方程式は $1.0 a = 36 - 9.8 - T$
B が受ける力は、糸の張力（上向き）と重力（下向き）。運動方程式は $2.0 a = T - 19.6$
2 式を足すと $T$ が消えて、 $3.0 a = 36 - 9.8 - 19.6$ 。右辺は $36 - 9.8 - 19.6 = 6.6$
よって加速度は $\frac{6.6}{3.0} = 2.2 m/ s^{2}$
B の式から $T = 2.0 a + 19.6$ 。値を入れると、 $2.0 \times 2.2 + 19.6 = 24 N$
確かめ: A の式の右辺は $36 - 9.8 - 24 = 2.2$ 、左辺は $1.0 \times 2.2 = 2.2$ で合っている。

ここで間違えやすい　A が受ける力から、下の糸の張力を落としてしまうこと。A は B を糸でつり下げているので、その糸から下向きに引かれている。