自由落下と鉛直投射｜高校物理基礎

学習指導要領物理基礎 (1) ア (ｲ) ㋓「物体が落下する際の運動の特徴及び物体に働く力と運動との関係について理解すること。」。

0. どういうまとまりか

空中の物体が受ける力は、空気抵抗が無視できれば重力だけです。重力は一定なので、落下する物体は鉛直方向の等加速度直線運動をします。
その加速度が重力加速度で、大きさを $g$ と書きます。落下運動は新しい運動ではなく、等加速度直線運動の式の $a$ を $g$ に置きかえたものです。
初速度が 0 なら自由落下、初速度を鉛直方向に与えたものが鉛直投射で、下向きに投げる鉛直投げ下ろしと、上向きに投げる鉛直投げ上げがあります。

運動	正の向き	初速度	加速度	速度	位置	時間を含まない式
自由落下	鉛直下向き	0	$g$	$v = g t$	$y = \frac{1}{2} g t^{2}$	$v^{2} = 2 g y$
鉛直投げ下ろし	鉛直下向き	$v_{0}$	$g$	$v = v_{0} + g t$	$y = v_{0} t + \frac{1}{2} g t^{2}$	$v^{2} - v_{0}^{2} = 2 g y$
鉛直投げ上げ	鉛直上向き	$v_{0}$	$- g$	$v = v_{0} - g t$	$y = v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2}$	$v^{2} - v_{0}^{2} = - 2 g y$

$y$ は、落としはじめた点（投げた点）からの位置です。

分かれ目は次の 3 つ。

落下の加速度は質量によらない。重い物体も軽い物体も、同じ $g$ で落ちる
正の向きを先に決める。投げ上げは上向きを正にとるので、加速度は $- g$ になる
投げ上げの最高点では速度が 0 になるが、加速度は 0 にならない。上りも最高点も下りも、加速度はずっと下向きに $g$

1. 重力加速度

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(イ)-㋓

落下する物体に運動方程式を当てはめると、加速度が質量と関係なく決まることが分かります。

重力加速度とは？その向きと大きさは？

重力だけを受けて運動する物体の加速度。鉛直下向きで、大きさは $g = 9.8 m/ s^{2}$

落下する物体の速さは、1 秒ごとに $9.8 m/s$ ずつ増える。大きさは場所によってわずかに違うが、ふつう $9.8 m/ s^{2}$ を使う。

落下の加速度が物体の質量によらないことを、運動方程式から説明すると？

質量 $m$ の物体が受ける重力は $m g$ 。運動方程式 $ma = m g$ の両辺を $m$ で割ると $a = g$ となり、 $m$ が消える

質量が大きいほど重力は大きいが、同じだけ加速しにくくもなるので、加速度は同じになる。

落下運動は、どんな種類の運動か？そう言える理由は？

鉛直方向の等加速度直線運動。物体が受ける力が、一定の重力だけだから

力が一定なら加速度も一定。だから等加速度直線運動の 3 つの式が、 $a$ を $g$ または $- g$ に置きかえてそのまま使える。

2. 自由落下

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(イ)-㋓

物体を静かに離して落とす運動です。落としはじめた点を原点とし、鉛直下向きを正にとります。

自由落下とは？

物体が初速度 0 で、重力だけを受けて落下する運動

「静かに離す」「静かに落とす」と書いてあれば初速度 0 の意味。加速度は鉛直下向きに $g$ で一定。

自由落下で、落としてから時間 $t$ 後の速さ $v$ と落下距離 $y$ の式は？時間を含まない式は？

$v = g t$ 、 $y = \frac{1}{2} g t^{2}$ 。時間を含まない式は $v^{2} = 2 g y$

等加速度直線運動の式で $v_{0} = 0$ 、 $a = g$ としたもの。速さは時間に比例し、落下距離は時間の 2 乗に比例する。

自由落下で、落下にかかる時間が 2 倍になると、落下距離は何倍になるか？

4 倍（落下距離は時間の 2 乗に比例する）

$y = \frac{1}{2} g t^{2}$ から。例えば、落としてから $1.0 s$ で $4.9 m$ 、 $2.0 s$ で $19.6 m$ 落ちる。

3. 鉛直投射

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(イ)-㋓

初速度を鉛直方向に与えた落下運動です。自由落下との違いは初速度があることだけで、加速度は同じ重力加速度です。

鉛直投射とは？どんな 2 つの運動をまとめた呼び名か？

物体を鉛直方向に初速度を与えて投げる運動。鉛直下向きに投げる鉛直投げ下ろしと、鉛直上向きに投げる鉛直投げ上げ

どちらも手を離れたあとに受ける力は重力だけなので、加速度は鉛直下向きに $g$ 。

鉛直投げ下ろし（初速度 $v_{0}$ ）で、鉛直下向きを正としたときの 3 つの式は？

$v = v_{0} + g t$ 、 $y = v_{0} t + \frac{1}{2} g t^{2}$ 、 $v^{2} - v_{0}^{2} = 2 g y$

初速度も加速度も下向きなので、どちらも正。自由落下の式に、初速度のぶんが足されている。

鉛直投げ上げ（初速度 $v_{0}$ ）で、鉛直上向きを正としたときの 3 つの式は？

$v = v_{0} - g t$ 、 $y = v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2}$ 、 $v^{2} - v_{0}^{2} = - 2 g y$

初速度は上向きで正、加速度は下向きなので $- g$ 。 $v$ が負になったら、物体は下向きに動いている。

鉛直投げ上げで、物体の加速度は、上っているとき・最高点・下りているときでどう変わるか？

変わらない。どのときも鉛直下向きに大きさ $g$

手を離れたあと、物体が受ける力はずっと重力だけだから。最高点で 0 になるのは速度で、加速度ではない。

鉛直投げ上げの最高点は、どんな条件で求めるか？最高点に達するまでの時間と、最高点の高さは？

条件は $v = 0$ 。時間は $t = \frac{v _{0}}{g}$ 、高さは $\frac{v _{0}^{2}}{2 g}$

時間は $v = v_{0} - g t$ に $v = 0$ を入れて出す。高さは $v^{2} - v_{0}^{2} = - 2 g y$ に $v = 0$ を入れて出す。

鉛直投げ上げで、上りと下りのあいだに成り立つ対称性は？

最高点まで上る時間と、最高点から投げた高さまで戻る時間は等しい。同じ高さを通るときの速さは、上りと下りで等しい（向きは逆）

だから投げた点に戻るまでの時間は $\frac{2 v _{0}}{g}$ 、戻ってきたときの速さは初速度と同じ $v_{0}$ になる。

鉛直投げ上げの式 $y = v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2}$ で、 $y$ が負になるのはどんなときか？

物体が、投げた点より下にあるとき

$y$ は進んだ道のりではなく、投げた点からの位置（変位）。がけの上から投げ上げて下の地面に落ちる問題は、 $y$ に負の値を入れれば 1 つの式で解ける。

練習問題

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(イ)-㋓

以下、重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ とし、空気抵抗は無視できるものとします。

問 1　小球を静かに離して自由落下させた。離してから $2.0 s$ 後の速さと、それまでに落下した距離を求めよ。

速さ $20 m/s$ 、距離 $20 m$

方針　自由落下は、初速度 0、加速度 $g$ の等加速度直線運動。時間が分かっているので、 $v = g t$ と $y = \frac{1}{2} g t^{2}$ を使う。

鉛直下向きを正とする。 $g = 9.8 m/ s^{2}$ 、 $t = 2.0 s$
速さは $v = g t$ から、 $9.8 \times 2.0 = 19.6 ≒ 20 m/s$
落下距離は $y = \frac{1}{2} g t^{2}$ から、 $\frac{1}{2} \times 9.8 \times 2. 0^{2} = 19.6 ≒ 20 m$

ここで間違えやすい　 $t^{2}$ の 2 乗を落として $\frac{1}{2} \times 9.8 \times 2.0$ としないこと。

問 2　高さ $44.1 m$ のビルの屋上から、小球を静かに落とした。地面に達するまでの時間と、地面に達する直前の速さを求めよ。

時間 $3.0 s$ 、速さ $29 m/s$

方針　落下距離が分かっているので、 $y = \frac{1}{2} g t^{2}$ を $t$ について解く。時間が出れば、速さは $v = g t$ で求まる。

鉛直下向きを正とする。 $y = 44.1 m$
$y = \frac{1}{2} g t^{2}$ を変形すると $t^{2} = \frac{2 y}{g}$
値を入れると、 $\frac{2 \times 44.1}{9.8} = \frac{88.2}{9.8} = 9.0$
$t^{2} = 9.0$ で $t > 0$ なので、 $t = 3.0 s$
速さは $v = g t$ から、 $9.8 \times 3.0 = 29.4 ≒ 29 m/s$
確かめ: $v^{2} = 2 g y$ で見ると、左辺は $29. 4^{2} = 864.36$ 、右辺は $2 \times 9.8 \times 44.1 = 864.36$ で合っている。

問 3　橋の上から、小球を鉛直下向きに初速度 $5.0 m/s$ で投げ下ろした。投げてから $2.0 s$ 後に小球は水面に達した。水面に達する直前の速さと、橋の水面からの高さを求めよ。

速さ $25 m/s$ 、高さ $30 m$

方針　鉛直投げ下ろしは、初速度 $v_{0}$ 、加速度 $g$ の等加速度直線運動。鉛直下向きを正にとると、初速度も加速度も正になる。

鉛直下向きを正とする。 $v_{0} = 5.0 m/s$ 、 $t = 2.0 s$
速さは $v = v_{0} + g t$ から、 $5.0 + 9.8 \times 2.0 = 5.0 + 19.6 = 24.6 ≒ 25 m/s$
落下距離は $y = v_{0} t + \frac{1}{2} g t^{2}$ から、 $5.0 \times 2.0 + \frac{1}{2} \times 9.8 \times 2. 0^{2} = 10 + 19.6 = 29.6 ≒ 30 m$
落下距離が橋の高さなので、高さは $30 m$

問 4　地面から、小球を鉛直上向きに初速度 $19.6 m/s$ で投げ上げた。(1) 最高点に達するまでの時間を求めよ。(2) 最高点の高さを求めよ。(3) 投げてから $3.0 s$ 後の速度の向きと速さ、そのときの地面からの高さを求めよ。(4) 地面に戻ってくるまでの時間を求めよ。

(1) $2.0 s$ 　(2) $20 m$ 　(3) 鉛直下向きに $9.8 m/s$ 、高さ $15 m$ 　(4) $4.0 s$

方針　鉛直上向きを正にとり、加速度を $- g$ として $v = v_{0} - g t$ 、 $y = v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2}$ を使う。最高点は $v = 0$ 、地面に戻るのは $y = 0$ が条件。

鉛直上向きを正とする。 $v_{0} = 19.6 m/s$
(1) 最高点では $v = 0$ 。 $v = v_{0} - g t$ から $t = \frac{v _{0}}{g}$ なので、 $\frac{19.6}{9.8} = 2.0 s$
(2) $y = v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2}$ に $t = 2.0 s$ を入れると、 $19.6 \times 2.0 - \frac{1}{2} \times 9.8 \times 2. 0^{2} = 39.2 - 19.6 = 19.6 ≒ 20 m$
(3) 速度は $v = v_{0} - g t$ から、 $19.6 - 9.8 \times 3.0 = 19.6 - 29.4 = - 9.8 m/s$ 。負なので鉛直下向きで、速さは $9.8 m/s$
高さは、 $19.6 \times 3.0 - \frac{1}{2} \times 9.8 \times 3. 0^{2} = 58.8 - 44.1 = 14.7 ≒ 15 m$
(4) 上りと下りの時間は等しいので、最高点までの時間の 2 倍で $2.0 \times 2 = 4.0 s$
確かめ: $t = 4.0 s$ のとき、 $19.6 \times 4.0 - \frac{1}{2} \times 9.8 \times 4. 0^{2} = 78.4 - 78.4 = 0$ で、たしかに地面に戻っている。

ここで間違えやすい　(3) で速度が負になったときに、計算違いだと思ってしまうこと。負の速度は「下向きに動いている」という意味で、最高点（ $2.0 s$ ）を過ぎているので正しい。

問 5　高さ $24.5 m$ のがけの上から、小球を鉛直上向きに初速度 $19.6 m/s$ で投げ上げた。小球はいったん上がったあと落ちてきて、がけの下の地面に達した。投げてから地面に達するまでの時間と、地面に達する直前の速さを求めよ。

時間 $5.0 s$ 、速さ $29 m/s$

方針　上りと下りを分けずに、1 つの式で解く。投げた点を原点、鉛直上向きを正にとると、地面は投げた点より下なので $y = - 24.5 m$ 。これを $y = v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2}$ に入れて $t$ を求める。

鉛直上向きを正とする。 $v_{0} = 19.6 m/s$ 、地面の位置は $y = - 24.5 m$
$y = v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2}$ に入れると、 $- 24.5 = 19.6 t - 4.9 t^{2}$
全部を左辺に移すと、 $4.9 t^{2} - 19.6 t - 24.5 = 0$
両辺を $4.9$ で割ると、 $t^{2} - 4 t - 5 = 0$
因数分解すると $(t - 5) (t + 1) = 0$ なので、 $t = 5$ または $t = - 1$
$t > 0$ なので、 $t = 5.0 s$
速度は $v = v_{0} - g t$ から、 $19.6 - 9.8 \times 5.0 = 19.6 - 49 = - 29.4 m/s$ 。負なので下向きで、速さは $29.4 ≒ 29 m/s$

ここで間違えやすい　 $y$ に $+ 24.5$ を入れてしまうこと。上向きを正にとったので、投げた点より下の位置は負になる。