運動エネルギー｜高校物理基礎

学習指導要領物理基礎 (1) ア (ｳ) ㋐「運動エネルギーと位置エネルギーについて，仕事と関連付けて理解すること。」。

0. どういうまとまりか

動いている物体は、ほかの物体にぶつかると、それを押して動かすことができます。つまり仕事をする能力をもっています。
この「仕事をする能力」をエネルギーといい、動いている物体がもつエネルギーを運動エネルギーといいます。
運動エネルギーは仕事と直接つながっています。物体が仕事をされると、されたぶんだけ運動エネルギーが変わります。
この関係を使うと、加速度や時間を求めなくても、「どれだけの距離でどれだけ速さが変わるか」が分かります。

知りたいもの	式	読み方
運動エネルギー	$K = \frac{1}{2} m v^{2}$	質量に比例し、速さの 2 乗に比例する
仕事との関係	$\frac{1}{2} m v^{2} - \frac{1}{2} m v_{0}^{2} = W$	運動エネルギーの変化（後 − 前）は、その間にされた仕事に等しい

分かれ目は次の 3 つ。

運動エネルギーは速さの 2 乗に比例する。速さが 2 倍なら 4 倍で、2 倍ではない
変化は「後 − 前」で、右辺の $W$ は物体がされた仕事の合計。はたらく力を全部挙げて、符号つきで足す
負の仕事をされると運動エネルギーは減る。動摩擦力やブレーキの力は負の仕事をする

1. 運動エネルギー

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(ウ)-㋐

エネルギーの大きさは、その物体がほかの物体にすることのできる仕事の量で測ります。だから単位は仕事と同じジュールです。

物理でいうエネルギーとは？単位は？

ほかの物体に仕事をする能力。単位は仕事と同じジュール（ $J$ ）

エネルギーの量は、その物体がすることのできる仕事の量で測る。

質量 $m$ の物体が速さ $v$ で動いているときの運動エネルギー $K$ は？

$K = \frac{1}{2} m v^{2}$

質量を $kg$ 、速さを $m/s$ で入れると、単位は $J$ になる。例えば $2.0 kg$ の物体が $3.0 m/s$ で動いていれば $\frac{1}{2} \times 2.0 \times 3. 0^{2} = 9.0 J$ 。

同じ物体の速さが 2 倍、3 倍になると、運動エネルギーは何倍になるか？同じ速さで質量が 2 倍になると？

速さが 2 倍なら 4 倍、3 倍なら 9 倍。質量が 2 倍なら 2 倍

運動エネルギーは速さの 2 乗に比例し、質量には比例する。

運動エネルギーは向きをもつか？負の値になることはあるか？

向きをもたない。負にもならない（0 以上）

速度は向きをもつが、 $v^{2}$ は必ず 0 以上になる。右向きに動いても左向きに動いても、速さが同じなら運動エネルギーは同じ。

運動エネルギーが $\frac{1}{2} m v^{2}$ と表せることは、どう確かめられるか？

速さ $v$ の物体が、一定の力を受けて止まるまでにする仕事を計算すると $\frac{1}{2} m v^{2}$ になる

物体が相手を大きさ $F$ の力で押しながら距離 $x$ 進んで止まるとする。物体の加速度の大きさは $\frac{F}{m}$ なので $v^{2} = 2 \times \frac{F}{m} \times x$ 。これを整理すると、相手にした仕事は $F x = \frac{1}{2} m v^{2}$ 。

2. 仕事と運動エネルギーの関係

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(ウ)-㋐

物体が仕事をされると、そのぶんだけ運動エネルギーが変わります。式を立てるときは、どの力がどれだけ仕事をしたかを、符号つきで漏れなく数えます。

質量 $m$ の物体の速さが $v_{0}$ から $v$ に変わる間に、物体が仕事 $W$ をされた。このとき成り立つ関係式は？

$\frac{1}{2} m v^{2} - \frac{1}{2} m v_{0}^{2} = W$

運動エネルギーの変化は、その間に物体がされた仕事に等しい。

仕事と運動エネルギーの関係式の $W$ は、どの力の仕事か？

物体にはたらくすべての力がした仕事の合計（合力がした仕事）

引く力・動摩擦力・重力などを全部挙げ、それぞれの仕事を符号つきで足す。仕事が 0 の力（動く向きに垂直な垂直抗力など）は足しても変わらない。

物体が正の仕事をされると、運動エネルギーはどうなるか？負の仕事をされると？

正の仕事をされると増える（速くなる）。負の仕事をされると減る（遅くなる）

動く向きに押されれば速くなり、動く向きと逆向きの力（動摩擦力やブレーキの力）を受ければ遅くなる。

運動エネルギーの「変化」は、どちらからどちらを引くか？

後の運動エネルギーから、前の運動エネルギーを引く（後 − 前）

止まる場合は後が 0 なので、変化は $0 - \frac{1}{2} m v_{0}^{2}$ で負になる。された仕事も負のはずで、符号が合う。

水平なあらい面をすべる物体が、動摩擦力だけで止まる。初めの速さが 2 倍になると、止まるまでにすべる距離は何倍になるか？

4 倍

動摩擦力の大きさを $F^{'}$ 、止まるまでの距離を $x$ とすると $0 - \frac{1}{2} m v_{0}^{2} = - F^{'} x$ 。 $F^{'}$ が同じなら、 $x$ は $v_{0}^{2}$ に比例する。自動車がブレーキをかけてから止まるまでの距離が、速さを上げると急に長くなるのはこのため。

仕事と運動エネルギーの関係で式を立てるとき、どんな順で進めるか？

①前と後の速さを決める ②物体にはたらく力を全部挙げる ③それぞれの力の仕事を符号つきで求める ④「後 − 前 = 仕事の合計」の式にする

力を挙げるときは、重力・垂直抗力・摩擦力・引く力のように、接しているものと重力を順に確かめる。

同じ問題を、運動方程式で解くか、仕事と運動エネルギーの関係で解くか。後者が向いているのはどんなときか？

時間が問われず、「距離」と「速さの変化」の関係だけを知りたいとき

仕事と運動エネルギーの関係には時間も加速度も出てこない。かかった時間を聞かれたら、運動方程式と等加速度直線運動の式を使う。

練習問題

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(ウ)-㋐

問 1　質量 $4.0 kg$ の台車が速さ $5.0 m/s$ で動いている。運動エネルギーを求めよ。また、速さが $10 m/s$ になると、運動エネルギーは何倍になるか。

$50 J$ 。速さが $10 m/s$ のときは 4 倍（ $2.0 \times 1 0^{2} J$ ）

方針　 $K = \frac{1}{2} m v^{2}$ にそのまま入れる。2 乗するのは速さだけで、 $\frac{1}{2} m$ にはかからない。

速さ $5.0 m/s$ のとき、 $\frac{1}{2} \times 4.0 \times 5. 0^{2} = 50 J$
速さ $10 m/s$ のとき、 $\frac{1}{2} \times 4.0 \times 1 0^{2} = 200 J$
比べると $\frac{200}{50} = 4$ で、4 倍。速さが 2 倍になると、運動エネルギーは 2 の 2 乗で 4 倍になる

ここで間違えやすい　 $\frac{1}{2} \times 4.0 \times 5.0$ として 2 乗を落とさない。

問 2　なめらかな水平面の上に静止している質量 $4.0 kg$ の物体に、水平に大きさ $10 N$ の力を加え続けて $5.0 m$ 動かした。このときの物体の速さを求めよ。

$5.0 m/s$

方針　時間は問われていないので、仕事と運動エネルギーの関係を使う。面がなめらかなので、仕事をするのは加えた力だけである。

加えた力の仕事は $10 \times 5.0 = 50 J$ 。重力と垂直抗力は動く向きに垂直なので、仕事は 0
はじめ静止しているので、前の運動エネルギーは 0。後の速さを $v$ とすると、 $\frac{1}{2} \times 4.0 \times v^{2} - 0 = 50$
整理すると $2.0 v^{2} = 50$ なので、 $v^{2} = 25$
$v$ は正なので、 $v = 5.0 m/s$

問 3　質量 $1.0 \times 1 0^{3} kg$ の自動車が、水平な道路を速さ $10 m/s$ で走っている。ブレーキをかけたところ、 $20 m$ 進んで止まった。この間に自動車が受けた、動きを止める向きの力は一定であったとして、その大きさを求めよ。

$2.5 \times 1 0^{3} N$

方針　止まるまでの距離と速さが分かっているので、仕事と運動エネルギーの関係を使う。止める力は動く向きと逆向きなので、負の仕事をする。

前の運動エネルギーは $\frac{1}{2} \times 1.0 \times 1 0^{3} \times 1 0^{2} = 50000 J$ 。後は止まるので 0
止める力の大きさを $F$ とすると、その仕事は $- F \times 20$
「後 − 前 = 仕事」から、 $0 - 50000 = - F \times 20$
両辺に $- 1$ をかけて $20 F = 50000$ なので、 $F = 2500 = 2.5 \times 1 0^{3} N$

ここで間違えやすい　左辺を「前 − 後」にして、右辺の負の符号と合わなくなること。左辺を「後 − 前」に決めておけば、負の仕事で運動エネルギーが減ることがそのまま式に出る。

問 4　あらい水平面の上で、質量 $2.0 kg$ の物体を速さ $7.0 m/s$ ですべらせた。物体と面の間の動摩擦係数を $0.50$ 、重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ として、物体が止まるまでにすべる距離を求めよ。

$5.0 m$

方針　止まるまでに運動エネルギーをすべて失う。失わせるのは動摩擦力がする負の仕事なので、動摩擦力の大きさを出してから、仕事と運動エネルギーの関係に入れる。

垂直抗力の大きさは重力と同じで $2.0 \times 9.8 = 19.6 N$
動摩擦力の大きさは $0.50 \times 19.6 = 9.8 N$
前の運動エネルギーは $\frac{1}{2} \times 2.0 \times 7. 0^{2} = 49 J$ 。後は 0
すべる距離を $x$ とすると、動摩擦力の仕事は $- 9.8 \times x$ 。「後 − 前 = 仕事」から $0 - 49 = - 9.8 \times x$
$x = \frac{49}{9.8} = 5.0 m$

問 5　あらい水平面の上を、質量 $0.50 kg$ の物体が速さ $4.0 m/s$ で動いている。この物体を、動く向きに大きさ $3.0 N$ の力で押しながら $4.0 m$ 進ませた。この間、物体は大きさ $1.0 N$ の動摩擦力を受けていた。 $4.0 m$ 進んだときの速さを求めよ。

$6.9 m/s$

方針　仕事をする力が 2 つある。押す力は正の仕事、動摩擦力は負の仕事をするので、符号つきで足して合計を出し、「後 − 前 = 仕事の合計」に入れる。

押す力の仕事は $3.0 \times 4.0 = 12 J$
動摩擦力の仕事は $- 1.0 \times 4.0 = - 4.0 J$
仕事の合計は $12 - 4.0 = 8.0 J$
前の運動エネルギーは $\frac{1}{2} \times 0.50 \times 4. 0^{2} = 4.0 J$
後の運動エネルギーは $4.0 + 8.0 = 12 J$
後の速さを $v$ とすると $\frac{1}{2} \times 0.50 \times v^{2} = 12$ なので、 $v^{2} = 48$
$v = 48 ≒ 6.9 m/s$

ここで間違えやすい　前の運動エネルギーを忘れて $\frac{1}{2} \times 0.50 \times v^{2} = 8.0$ としない。物体ははじめから動いている。