位置エネルギー｜高校物理基礎

学習指導要領物理基礎 (1) ア (ｳ) ㋐「運動エネルギーと位置エネルギーについて，仕事と関連付けて理解すること。」。

0. どういうまとまりか

高いところにある物体は、落ちるときに重力から仕事をされ、そのぶんほかの物体に仕事をすることができます。
伸ばしたり縮めたりしたばねにつながれた物体も、ばねが元に戻るときに弾性力から仕事をされます。
このように、物体が「その位置にあること」でもっているエネルギーを位置エネルギーといいます。
物理基礎で扱うのは、重力による位置エネルギーと弾性力による位置エネルギーの 2 つです。

	重力による位置エネルギー	弾性力による位置エネルギー
式	$U = m g h$	$U = \frac{1}{2} k x^{2}$
何で決まるか	基準面からの高さ $h$	ばねの自然の長さからの伸び（縮み） $x$
0 になるところ	基準面（自分で決める）	自然の長さのとき
負になるか	基準面より下では負	ならない（伸びでも縮みでも正）
もとになる仕事	基準面まで下がる間に重力がする仕事	自然の長さに戻る間に弾性力がする仕事

分かれ目は次の 3 つ。

重力による位置エネルギーは、基準面をどこにとるかで値が変わる。ただし 2 点の間の差は変わらない
弾性力による位置エネルギーの $x$ は、自然の長さからの伸び（縮み）。ばね全体の長さではない
位置エネルギーを考えられるのは、仕事が道すじによらない力（保存力）だけ。動摩擦力には位置エネルギーが無い

1. 重力による位置エネルギー

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(ウ)-㋐

高さ $h$ にある物体が基準面まで下がる間に、重力は $m g h$ の仕事をします。この「することのできる仕事」が、重力による位置エネルギーです。

質量 $m$ の物体が、基準面から高さ $h$ のところにあるときの、重力による位置エネルギー $U$ は？

$U = m g h$

$g$ は重力加速度の大きさ。物体が基準面まで下がる間に、重力がする仕事 $m g h$ に等しい。

重力による位置エネルギーを測る「基準面」は、どこにとるか？

どこにとってもよい（自分で決めて、問題の途中で変えない）

地面や床、物体のいちばん低い位置にとると計算が楽になることが多い。基準面では位置エネルギーが 0。

物体が基準面より $h$ だけ低いところにあるとき、重力による位置エネルギーは？

$- m g h$ （負になる）

基準面まで上がる間に、重力は負の仕事 $- m g h$ をする。位置エネルギーが負でも、おかしなことではない。

基準面のとり方を変えると、重力による位置エネルギーで変わるものと変わらないものは？

それぞれの点での値は変わるが、2 点の間の位置エネルギーの差は変わらない

差は高さの差だけで決まる。運動を決めるのは差なので、基準面はどこにとっても同じ結果になる。

物体を、力を加えてゆっくりと高さ $h$ だけ持ち上げた。加えた力がした仕事と、重力による位置エネルギーの変化の関係は？

加えた力がした仕事 $m g h$ のぶんだけ、重力による位置エネルギーが増える

ゆっくり持ち上げるので、加える力は重力とつり合う大きさ $m g$ 。された仕事が位置エネルギーとして蓄えられる。

2. 弾性力による位置エネルギー

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(ウ)-㋐

伸びた（縮んだ）ばねは、自然の長さに戻るときに物体に仕事をします。ばねの弾性力は伸びに比例して変わるので、仕事は「力 × 距離」の単純な掛け算にはなりません。

ばね定数 $k$ のばねが、自然の長さから $x$ だけ伸びている（または縮んでいる）とき、ばねにつながれた物体がもつ弾性力による位置エネルギー $U$ は？

$U = \frac{1}{2} k x^{2}$

弾性エネルギーともいう。ばね定数の単位は $N/m$ 、 $x$ を $m$ で入れると単位は $J$ になる。

弾性力による位置エネルギーが $k x^{2}$ でなく $\frac{1}{2} k x^{2}$ になるのはなぜか？

弾性力の大きさが 0 から $k x$ まで伸びに比例して変わるので、仕事は三角形の面積 $\frac{1}{2} \times x \times k x$ になるから

縦軸に力、横軸に伸びをとったグラフは原点を通る直線になる。その下の面積が仕事で、平均の力 $\frac{1}{2} k x$ に距離 $x$ をかけたものと同じ。

弾性力による位置エネルギーの式の $x$ は、何を表すか？

ばねの自然の長さからの伸び（または縮み）

ばね全体の長さではない。自然の長さが $0.30 m$ のばねが $0.35 m$ になっていれば、 $x$ は $0.05 m$ 。

ばねの伸びが 2 倍になると、弾性力による位置エネルギーは何倍になるか？同じ長さだけ縮めた場合は、伸ばした場合と比べてどうか？

伸びが 2 倍なら 4 倍。同じ長さだけ縮めた場合は、伸ばした場合と同じ値

$x$ の 2 乗に比例するので、伸びでも縮みでも正の値になる。

3. 保存力と位置エネルギー

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(ウ)-㋐

重力や弾性力がする仕事は、物体が通った道すじによらず、はじめと終わりの位置だけで決まります。位置エネルギーを考えられるのは、このような力だけです。

保存力とは？物理基礎で扱う例を 2 つ挙げよ。

力のする仕事が、途中の道すじによらず、はじめと終わりの位置だけで決まる力。重力と弾性力

位置だけで仕事が決まるので、「その位置にあることでもつエネルギー」として位置エネルギーを決められる。

動摩擦力や空気抵抗に、位置エネルギーを考えられないのはなぜか？

する仕事が道すじによって変わる（保存力ではない）から

同じ 2 点の間でも、遠回りするほど動摩擦力がする負の仕事は大きくなる。位置だけでは仕事が決まらない。

保存力がした仕事と、位置エネルギーの変化の関係は？

保存力がした仕事のぶんだけ、位置エネルギーが減る（保存力がした仕事 = 前の位置エネルギー − 後の位置エネルギー）

物体が $h$ 下がると重力は $m g h$ の仕事をし、位置エネルギーは $m g h$ 減る。上がるときは重力の仕事が負で、位置エネルギーは増える。

練習問題

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(ウ)-㋐

問 1　地面からの高さが $10 m$ の屋上がある。質量 $2.0 kg$ の物体が、屋上からさらに $3.0 m$ 高いところにある。重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ として、この物体の重力による位置エネルギーを、(1) 屋上を基準面にした場合、(2) 地面を基準面にした場合について求めよ。

(1) $59 J$ 　(2) $2.5 \times 1 0^{2} J$

方針　 $U = m g h$ の $h$ は基準面からの高さ。基準面を変えると $h$ が変わるので、それぞれの基準面から物体までの高さを先に出す。

(1) 屋上からの高さは $3.0 m$ なので、 $2.0 \times 9.8 \times 3.0 = 58.8 ≒ 59 J$
(2) 地面からの高さは $10 + 3.0 = 13 m$
$2.0 \times 9.8 \times 13 = 254.8 ≒ 2.5 \times 1 0^{2} J$

ここで間違えやすい　基準面が変わると値が変わること自体は誤りではない。2 つの値の差 $254.8 - 58.8 = 196 J$ は、屋上と地面の高さの差 $10 m$ のぶん（ $2.0 \times 9.8 \times 10 = 196 J$ ）になっている。

問 2　ばね定数 $50 N/m$ のばねを、自然の長さから $0.20 m$ 伸ばした。弾性力による位置エネルギーを求めよ。また、伸びを $0.40 m$ にすると何倍になるか。

$1.0 J$ 。伸びが $0.40 m$ のときは 4 倍（ $4.0 J$ ）

方針　 $U = \frac{1}{2} k x^{2}$ に入れる。伸びの 2 乗に比例するので、伸びが 2 倍になれば 4 倍になるはずである。

伸び $0.20 m$ のとき、 $\frac{1}{2} \times 50 \times 0.2 0^{2} = 1.0 J$
伸び $0.40 m$ のとき、 $\frac{1}{2} \times 50 \times 0.4 0^{2} = 4.0 J$
比べると $\frac{4.0}{1.0} = 4$ で、4 倍

問 3　軽いばねの上端を天井に固定し、下端に質量 $0.50 kg$ のおもりをつるしたところ、ばねが自然の長さから $0.10 m$ 伸びて静止した。重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ として、ばね定数と、このときの弾性力による位置エネルギーを求めよ。

ばね定数は $49 N/m$ 、弾性力による位置エネルギーは $0.25 J$

方針　静止しているので、おもりにはたらく重力と弾性力がつり合っている。つり合いからばね定数を出し、 $U = \frac{1}{2} k x^{2}$ に入れる。

おもりにはたらく重力の大きさは $0.50 \times 9.8 = 4.9 N$
弾性力の大きさは $k \times 0.10$ で、これが重力とつり合うので、 $k \times 0.10 = 4.9$
$k = \frac{4.9}{0.10} = 49 N/m$
弾性力による位置エネルギーは $\frac{1}{2} \times 49 \times 0.1 0^{2} = 0.245 ≒ 0.25 J$

ここで間違えやすい　重力と弾性力のつり合い（ $m g = k x$ ）と、位置エネルギー（ $\frac{1}{2} k x^{2}$ ）を混ぜない。 $m g \times x$ としてしまうと $0.49 J$ になり、2 倍ずれる。

問 4　質量 $5.0 kg$ の物体が、床からの高さ $4.0 m$ の位置から高さ $2.0 m$ の位置まで下がった。重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ として、この間に重力がした仕事と、重力による位置エネルギーの変化を求めよ。

重力がした仕事は $98 J$ 、位置エネルギーの変化は $- 98 J$ （ $98 J$ 減った）

方針　重力の仕事は、下がった高さで決まる。位置エネルギーの変化は「後 − 前」で求め、重力がした仕事のぶんだけ減っていることを確かめる。

下がった高さは $4.0 - 2.0 = 2.0 m$
重力は下向きで、物体も下向きに動くので、重力の仕事は正。 $5.0 \times 9.8 \times 2.0 = 98 J$
床を基準面とすると、前の位置エネルギーは $5.0 \times 9.8 \times 4.0 = 196 J$ 、後は $5.0 \times 9.8 \times 2.0 = 98 J$
変化は「後 − 前」で $98 - 196 = - 98 J$ 。重力がした仕事 $98 J$ のぶんだけ減っている

問 5　ばね定数 $200 N/m$ のばねが、自然の長さから $0.10 m$ 伸びている。この状態から、さらに引いて伸びを $0.30 m$ にするために、引く力がしなければならない仕事を求めよ。ばねはゆっくり伸ばすものとする。

$8.0 J$

方針　ゆっくり伸ばすとき、引く力がした仕事はそのまま弾性力による位置エネルギーの増加になる。前と後の位置エネルギーをそれぞれ出して、差をとる。

前（伸び $0.10 m$ ）の位置エネルギーは $\frac{1}{2} \times 200 \times 0.1 0^{2} = 1.0 J$
後（伸び $0.30 m$ ）の位置エネルギーは $\frac{1}{2} \times 200 \times 0.3 0^{2} = 9.0 J$
増加は $9.0 - 1.0 = 8.0 J$ 。これが引く力のした仕事

ここで間違えやすい　伸ばした長さ $0.20 m$ を式に入れて $\frac{1}{2} \times 200 \times 0.2 0^{2} = 4.0 J$ としない。 $x$ はいつも自然の長さから測る。