力学的エネルギーの保存｜高校物理基礎

学習指導要領物理基礎 (1) ア (ｳ) ㋑「力学的エネルギーに関する実験などを行い，力学的エネルギー保存の法則を仕事と関連付けて理解すること。」。

0. どういうまとまりか

運動エネルギーと位置エネルギーの和を力学的エネルギーといいます。
物体が落ちるとき、位置エネルギーが減ったぶんだけ運動エネルギーが増えます。振り子やばねにつけた物体でも、2 つのエネルギーは互いに移り変わります。
このとき、仕事をするのが重力や弾性力（保存力）だけなら、力学的エネルギーの合計は変わりません。これが力学的エネルギー保存の法則です。
摩擦や空気抵抗があるときは、その力がした仕事のぶんだけ力学的エネルギーが変わります。

場面	立てる式	条件
落下・なめらかな斜面・振り子	$\frac{1}{2} m v_{1}^{2} + m g h_{1} = \frac{1}{2} m v_{2}^{2} + m g h_{2}$	仕事をするのが重力だけ
なめらかな水平面上のばね	$\frac{1}{2} m v_{1}^{2} + \frac{1}{2} k x_{1}^{2} = \frac{1}{2} m v_{2}^{2} + \frac{1}{2} k x_{2}^{2}$	仕事をするのが弾性力だけ
摩擦や空気抵抗があるとき	（後の力学的エネルギー）−（前の力学的エネルギー）=（保存力以外の力がした仕事）	いつでも使える

分かれ目は次の 3 つ。

保存されるかどうかは、保存力以外の力が「仕事をするか」で決まる。はたらいているかどうかではない
垂直抗力や糸の張力は、動く向きに垂直なら仕事が 0。なめらかな斜面や振り子で保存の法則が使えるのはこのため
摩擦や空気抵抗があると力学的エネルギーは減る。減ったぶんは熱などになり、エネルギーが消えるわけではない

1. 力学的エネルギー保存の法則

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(ウ)-㋑

仕事と運動エネルギーの関係に、重力がする仕事を入れて整理すると、保存の法則が出てきます。法則が使えるかどうかは、どの力が仕事をしているかを見て判断します。

力学的エネルギーとは？

運動エネルギーと位置エネルギーの和

重力だけなら $\frac{1}{2} m v^{2} + m g h$ 、ばねなら $\frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} k x^{2}$ 。両方あるときは 3 つとも足す。

力学的エネルギー保存の法則とは？成り立つ条件は？

物体に仕事をする力が保存力（重力・弾性力）だけのとき、力学的エネルギーは一定に保たれる

摩擦や空気抵抗が無い場合がこれにあたる。運動エネルギーと位置エネルギーは互いに移り変わるが、和は変わらない。

なめらかな斜面をすべる物体は、重力のほかに垂直抗力も受けている。それでも力学的エネルギーが保存されるのはなぜか？

垂直抗力は、いつも物体が動く向きに垂直で、仕事をしないから

保存力以外の力がはたらいていても、その力の仕事が 0 なら保存の法則は成り立つ。

振り子のおもりは糸の張力を受けている。それでも力学的エネルギーが保存されるのはなぜか？

糸の張力は、いつもおもりが動く向きに垂直で、仕事をしないから

おもりは糸の長さを半径とする円の弧の上を動き、張力は糸に沿って円の中心を向く。動く向きとはいつも垂直になる。

重力だけが仕事をするとき、力学的エネルギー保存の法則は、仕事と運動エネルギーの関係からどう導けるか？

運動エネルギーの変化 = 重力がした仕事 $m g h_{1} - m g h_{2}$ と書き、位置エネルギーの項を左辺と右辺に振り分ける

$\frac{1}{2} m v_{2}^{2} - \frac{1}{2} m v_{1}^{2} = m g h_{1} - m g h_{2}$ を移項すると $\frac{1}{2} m v_{1}^{2} + m g h_{1} = \frac{1}{2} m v_{2}^{2} + m g h_{2}$ になる。

力学的エネルギー保存の法則で式を立てるとき、どんな順で進めるか？

①仕事をする力が保存力だけかを確かめる ②基準面を決める ③比べる 2 つの点を選ぶ ④それぞれの点で運動エネルギーと位置エネルギーを書き、和を等号で結ぶ

2 つの点は、「速さか高さが分かっている点」と「求めたい量がある点」を選ぶ。基準面は低いほうの点にとると式が短くなる。

2. 重力だけが仕事をする運動

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(ウ)-㋑

落下、なめらかな斜面、振り子は、どれも「高さの差」だけで速さが決まります。道すじの形や質量は答えに出てきません。

静止していた物体が、摩擦や空気抵抗を受けずに高さ $h$ だけ下がったときの速さ $v$ は？

$v = 2 g h$

$m g h = \frac{1}{2} m v^{2}$ から。質量によらず、まっすぐ落ちても、なめらかな斜面をすべっても、高さの差が同じなら速さは同じ。

初速度の大きさ $v_{0}$ で真上に投げ上げた物体が達する最高点の高さ $h$ を、力学的エネルギー保存の法則から求めると？

$h = \frac{v _{0}^{2}}{2 g}$

投げた点を基準面にとる。最高点では速さが 0 なので $\frac{1}{2} m v_{0}^{2} = m g h$ 。

振り子のおもりの速さが最大になるのはどこか？ 0 になるのはどこか？

最大になるのは最下点、0 になるのは両端の最高点

最下点では位置エネルギーが最も小さく、そのぶん運動エネルギーが最も大きい。最下点から高さ $h$ の点で静かに放せば、最下点での速さは $2 g h$ 。

物体が落下するとき、また投げ上げられて上昇するとき、エネルギーはそれぞれどう移り変わるか？

落下するときは位置エネルギーが運動エネルギーに、上昇するときは運動エネルギーが位置エネルギーに移り変わる

どちらの場合も、減ったぶんと増えたぶんが等しく、和は変わらない。

3. 弾性力が仕事をする運動

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(ウ)-㋑

ばねにつけた物体では、弾性力による位置エネルギーと運動エネルギーが移り変わります。

なめらかな水平面の上で、ばねにつけた物体が往復している。速さが最大になるのはどこか？ 0 になるのはどこか？

最大になるのはばねが自然の長さのとき、0 になるのはばねの伸び（縮み）が最大のとき

$\frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} k x^{2}$ が一定なので、 $x$ が 0 のとき $v$ が最大、 $x$ が最大のとき $v$ が 0 になる。

ばね定数 $k$ のばねを $x$ だけ縮めて、質量 $m$ の物体をなめらかな水平面の上で打ち出す。物体がばねから離れるときの速さ $v$ を求める式は？

$\frac{1}{2} k x^{2} = \frac{1}{2} m v^{2}$ （ $v = x \frac{k}{m}$ ）

はじめは速さ 0 で弾性力による位置エネルギーだけ、ばねが自然の長さに戻ったときは運動エネルギーだけになる。

4. 摩擦や空気抵抗があるとき

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(ウ)-㋑

動摩擦力や空気抵抗は保存力ではなく、負の仕事をします。そのぶんだけ力学的エネルギーは減ります。

動摩擦力や空気抵抗が仕事をするとき、力学的エネルギーの変化と仕事の関係は？

力学的エネルギーの変化（後 − 前）= 保存力以外の力がした仕事

動摩擦力の仕事は負なので、力学的エネルギーは減る。大きさ $F^{'}$ の動摩擦力を受けて距離 $x$ すべれば、 $F^{'} x$ だけ減る。

摩擦によって失われた力学的エネルギーは、どうなったのか？

熱（物体や面の温度を上げるエネルギー）などに変わった

力学的エネルギーは保存されないが、熱なども含めたエネルギー全体の量は変わらない。

練習問題

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(ウ)-㋑

問 1　高さ $10 m$ のところから、物体を静かに落とした。重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ とし、空気抵抗は無視できるものとして、地面に達する直前の速さを求めよ。

$14 m/s$

方針　仕事をするのは重力だけなので、力学的エネルギー保存の法則が使える。地面を基準面にとり、落とした点と地面の直前とで力学的エネルギーを等しいとおく。

物体の質量を $m$ 、地面の直前の速さを $v$ とする。落とした点では速さが 0 なので、力学的エネルギーは $m \times 9.8 \times 10$
地面の直前では高さが 0 なので、力学的エネルギーは $\frac{1}{2} m v^{2}$
2 つを等しいとおくと $m \times 9.8 \times 10 = \frac{1}{2} m v^{2}$ 。両辺を $m$ で割って 2 倍すると $v^{2} = 2 \times 9.8 \times 10 = 196$
$v = 196 = 14 m/s$

ここで間違えやすい　質量が与えられていなくても解ける。 $m$ は両辺にあるので消える。

問 2　地面から、小球を速さ $14 m/s$ で真上に投げ上げた。重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ とし、空気抵抗は無視できるものとして、(1) 最高点の高さ、(2) 高さ $5.0 m$ の点を通るときの速さを求めよ。

(1) $10 m$ 　(2) $9.9 m/s$

方針　地面を基準面にとる。投げた点の力学的エネルギーは運動エネルギーだけなので、これを最高点（速さ 0）と、高さ $5.0 m$ の点のそれぞれと等しいとおく。

小球の質量を $m$ とする。投げた点の力学的エネルギーは $\frac{1}{2} m \times 1 4^{2}$ で、 $1 4^{2} = 196$ なので $98 m$
(1) 最高点の高さを $h$ とすると、最高点の力学的エネルギーは $m \times 9.8 \times h$ 。等しいとおいて $m$ で割ると $9.8 h = 98$
$h = \frac{98}{9.8} = 10 m$
(2) 求める速さを $v$ とすると、高さ $5.0 m$ の点の力学的エネルギーは $\frac{1}{2} m v^{2} + m \times 9.8 \times 5.0$ で、 $9.8 \times 5.0 = 49$ なので $\frac{1}{2} m v^{2} + 49 m$
等しいとおいて $m$ で割ると $\frac{1}{2} v^{2} + 49 = 98$ なので、 $\frac{1}{2} v^{2} = 49$
$v^{2} = 98$ から、 $v = 98 ≒ 9.9 m/s$

ここで間違えやすい　(2) で速さを半分の $7.0 m/s$ としない。高さが半分でも、半分になるのは運動エネルギーであって速さではない。

問 3　糸におもりをつけた振り子がある。糸をたるませずに、おもりを最下点より $0.40 m$ 高い位置まで持ち上げて、静かに放した。重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ とし、空気抵抗は無視できるものとして、おもりが最下点を通るときの速さを求めよ。

$2.8 m/s$

方針　おもりは重力と糸の張力を受けるが、張力は動く向きにいつも垂直なので仕事をしない。重力だけが仕事をするので、力学的エネルギー保存の法則が使える。最下点を基準面にとる。

おもりの質量を $m$ 、最下点での速さを $v$ とする。放した点は速さ 0、高さ $0.40 m$ なので、力学的エネルギーは $m \times 9.8 \times 0.40$
最下点は高さ 0 なので、力学的エネルギーは $\frac{1}{2} m v^{2}$
等しいとおいて $m$ で割り、2 倍すると $v^{2} = 2 \times 9.8 \times 0.40 = 7.84$
$v = 7.84 = 2.8 m/s$

ここで間違えやすい　糸の長さは答えに関係しない。速さを決めるのは、放した点と最下点の高さの差だけである。

問 4　なめらかな水平面の上で、ばね定数 $100 N/m$ のばねの一端を壁に固定し、他端に質量 $0.25 kg$ の物体を押しあてて、ばねを自然の長さから $0.10 m$ 縮めた。静かに手を放すと、物体はばねに押されて動きだし、ばねが自然の長さに戻ったところでばねから離れた。離れたときの物体の速さを求めよ。

$2.0 m/s$

方針　水平面がなめらかなので、仕事をするのは弾性力だけ。はじめの弾性力による位置エネルギーが、離れるときにはすべて運動エネルギーになっている。

はじめは速さ 0 で、力学的エネルギーは弾性力による位置エネルギーだけ。 $\frac{1}{2} \times 100 \times 0.1 0^{2} = 0.50 J$
離れるとき、ばねは自然の長さなので弾性力による位置エネルギーは 0。速さを $v$ とすると、力学的エネルギーは $\frac{1}{2} \times 0.25 \times v^{2}$
等しいとおくと $\frac{1}{2} \times 0.25 \times v^{2} = 0.50$ なので、 $v^{2} = \frac{0.50}{0.125} = 4.0$
$v = 4.0 = 2.0 m/s$

ここで間違えやすい　重力による位置エネルギーは、水平面の上では高さが変わらないので、はじめと後で同じ値になる。式に入れても両辺で消える。

問 5　質量 $2.0 kg$ の物体が、あらい斜面の上の高さ $5.0 m$ の点から静かにすべりだし、斜面の下端（高さ 0）に達したときの速さは $7.0 m/s$ であった。重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ として、この間に動摩擦力がした仕事を求めよ。

$- 49 J$

方針　動摩擦力が仕事をするので、力学的エネルギーは保存されない。「力学的エネルギーの変化（後 − 前）= 保存力以外の力がした仕事」を使う。垂直抗力は動く向きに垂直で、仕事をしない。

斜面の下端を基準面にとる。前（すべりだす点）は速さ 0 なので、力学的エネルギーは $2.0 \times 9.8 \times 5.0 = 98 J$
後（下端）は高さ 0 なので、力学的エネルギーは $\frac{1}{2} \times 2.0 \times 7. 0^{2} = 49 J$
動摩擦力がした仕事は「後 − 前」で $49 - 98 = - 49 J$

ここで間違えやすい　斜面の傾きや長さ、動摩擦係数が分からなくても求められる。力学的エネルギーがどれだけ減ったかを見ればよい。失われた $49 J$ は熱などに変わっている。