波の表し方｜高校物理基礎 — みならいノート

学習指導要領物理基礎 (2) ア (ｱ) ㋐「波の性質について，直線状に伝わる場合を中心に理解すること。」。

0. どういうまとまりか

ある場所で起きた振動が、次々と隣へ伝わっていく現象を波（波動）といいます。
波を伝えるもの（ひも、ばね、水、空気）を媒質、最初に振動を始めたところを波源といいます。
伝わっていくのは振動であって、媒質そのものは波と一緒に進みません。媒質の各点は、その場で行ったり来たりしているだけです。

波は次の 5 つの量で表します。

量	記号	単位	意味
振幅	$A$	$m$	振動の中心から山の頂上（谷の底）までの高さ
波長	$λ$	$m$	山から次の山までの長さ（波 1 つぶんの長さ）
周期	$T$	$s$	媒質の 1 点が 1 回振動するのにかかる時間
振動数	$f$	$Hz$	媒質の 1 点が 1 秒間に振動する回数
波の速さ	$v$	$m/s$	山や谷（波形）が進む速さ

分かれ目は次の 3 つ。

進むのは波形で、媒質は進まない。「波の速さ」と「媒質が振動する速さ」は別のもの
$y$ - $x$ グラフは横軸が位置で波長が読め、 $y$ - $t$ グラフは横軸が時刻で周期が読める。形が同じなので、先に横軸を見る
媒質の動く向きは、少し後の波形を描いて比べる。波形を見ただけで決めない

1. 波と媒質

根拠: 学習指導要領物基-(2)-ア-(ア)-㋐

波では、振動が隣へ隣へと遅れて伝わります。媒質の各点がしているのは、その場での振動だけです。

波（波動）とは？媒質・波源とは？

振動が次々と周りへ伝わっていく現象。波を伝える物質が媒質、振動を始めたところが波源

ひもを伝わる波ならひもが媒質、手で揺らしている端が波源。音なら空気が媒質になる。

波が伝わるとき、媒質は波と一緒に進んでいくか？

進まない。媒質の各点はその場で振動するだけで、伝わるのは振動（とエネルギー）

水面に浮いた葉は、波が通っても上下に揺れるだけで岸まで運ばれない。

波の「変位」「山」「谷」とは？

変位は、媒質の各点が振動の中心（つり合いの位置）からずれた量。変位が正の向きに最大のところが山、負の向きに最大のところが谷

変位は向きをもつので符号つきで扱う。上を正とすれば、山の変位は正、谷の変位は負。

2. 波を表す量

根拠: 学習指導要領物基-(2)-ア-(ア)-㋐

波長は空間の中での 1 つぶん、周期は時間の中での 1 つぶんです。この 2 つを結ぶのが波の速さです。

波の振幅とは？波長とは？

振幅 $A$ は、振動の中心から山の頂上までの高さ。波長 $λ$ は、山から次の山までの長さ

振幅は山の頂上から谷の底までの高さの半分。波長は谷から次の谷までで測っても同じ。

波の周期 $T$ と振動数 $f$ とは？ 2 つの関係は？

周期は媒質の 1 点が 1 回振動する時間、振動数は 1 秒間に振動する回数。 $f = \frac{1}{T}$

振動数の単位はヘルツ（ $Hz$ ）。周期が $0.25 s$ なら、1 秒間に 4 回振動するので $4.0 Hz$ 。

波の速さ $v$ を、振動数 $f$ と波長 $λ$ で表すと？周期 $T$ を使うと？

$v = f λ$ 。周期を使うと $v = \frac{λ}{T}$

$f = \frac{1}{T}$ なので 2 つは同じ式。この式は横波にも縦波にも、音にも使える。

$v = \frac{λ}{T}$ は、どう考えれば出てくるか？

媒質が 1 回振動する間（1 周期 $T$ ）に、波形はちょうど 1 波長 $λ$ だけ進む。速さは「進んだ距離 ÷ かかった時間」

波源が 1 回振動するごとに、波が 1 つ送り出される。1 秒間には $f$ 個送り出されるので、1 秒間に進む距離は $f λ$ 。

同じ媒質のまま、波源の振動数を 2 倍にすると、波の速さと波長はどうなるか？

速さは変わらず、波長が半分になる

波の速さは媒質で決まり、振動数は波源で決まる。 $v = f λ$ で $v$ が同じなら、 $f$ が 2 倍のとき $λ$ は $\frac{1}{2}$ 倍。

3. 2 つのグラフの読み分け

根拠: 学習指導要領物基-(2)-ア-(ア)-㋐

波を表すグラフは 2 種類あります。どちらも同じ波の形をしているので、横軸が位置か時刻かを先に確かめます。

$y$ - $x$ グラフ（横軸が位置 $x$ ）は何を表し、何が読めるか？

ある時刻の波形（その瞬間に撮った写真）。振幅と波長が読める

横軸が位置なので、山から次の山までの長さがそのまま波長になる。周期はこのグラフだけでは読めない。

$y$ - $t$ グラフ（横軸が時刻 $t$ ）は何を表し、何が読めるか？

ある 1 点の媒質の振動のようす（その点の変位の時間変化）。振幅と周期が読める

横軸が時刻なので、山から次の山までの時間がそのまま周期になる。波長はこのグラフだけでは読めない。

$y$ - $x$ グラフから波長 $λ$ を読んだ。周期を知るには、あと何が要るか？

波の速さ $v$ （または振動数 $f$ ）。 $T = \frac{λ}{v}$ で求める

逆に $y$ - $t$ グラフから周期を読んだときは、 $λ = v T$ で波長が出る。どちらのグラフでも、速さが橋渡しになる。

4. 媒質の動く向き

根拠: 学習指導要領物基-(2)-ア-(ア)-㋐

波形のグラフには媒質の速度が描かれていません。少し時間がたった後の波形を描き足して、各点がどちらへ動いたかを見ます。

ある時刻の波形から、少し後の波形を描くには？

波形の形を変えずに、波の進む向きへ少しだけ平行にずらして描く

波形は速さ $v$ で進むので、時間 $t$ の後には $v t$ だけ進んだ位置にある。

波形のグラフから、媒質の各点が動く向きを知る手順は？

① 少し後の波形を描く。② 調べたい点の真上・真下を見て、新しい波形が上にあれば上向き、下にあれば下向き

媒質は左右には動かないので、同じ位置 $x$ で上下を比べる。山の、波が進む側の斜面にある点は上向きに動き、反対側の斜面にある点は下向きに動く。

波が通っているとき、媒質の速さが 0 の点と、最も速い点は、波形のどこか？

速さ 0 は山と谷の点。最も速いのは変位が 0 の点

山と谷は振動の折り返し点なので一瞬止まる。振動の中心を通る瞬間がいちばん速い。

練習問題

根拠: 学習指導要領物基-(2)-ア-(ア)-㋐

問 1　波源が $10 s$ 間に 25 回振動して、波長 $0.80 m$ の波を送り出している。この波の振動数、周期、速さを求めよ。

振動数 $2.5 Hz$ 、周期 $0.40 s$ 、速さ $2.0 m/s$

方針　振動数は 1 秒あたりの振動の回数なので、回数を時間で割る。周期はその逆数。速さは $v = f λ$ 。

振動数は $f = \frac{25}{10} = 2.5 Hz$
周期は $T = \frac{1}{f} = \frac{1}{2.5} = 0.40 s$
速さは $v = f λ = 2.5 \times 0.80 = 2.0 m/s$

ここで間違えやすい　周期を $\frac{25}{10}$ としない。周期は「1 回あたりの時間」なので $\frac{10}{25} = 0.40 s$ 。

問 2　 $x$ 軸の正の向きに速さ $2.0 m/s$ で進む波がある。時刻 0 の波形（ $y$ - $x$ グラフ）は、 $x = 0$ で $y = 0$ 、 $x = 1.0 m$ で山（ $y = 0.20 m$ ）、 $x = 2.0 m$ で $y = 0$ 、 $x = 3.0 m$ で谷（ $y = - 0.20 m$ ）、 $x = 4.0 m$ で $y = 0$ となり、以後これをくり返す。この波の振幅、波長、周期、振動数を求めよ。

振幅 $0.20 m$ 、波長 $4.0 m$ 、周期 $2.0 s$ 、振動数 $0.50 Hz$

方針　横軸が位置なので、グラフから読めるのは振幅と波長まで。周期と振動数は、与えられた速さを使って $T = \frac{λ}{v}$ から出す。

山の高さから、振幅は $A = 0.20 m$
$x = 0$ から山・谷を 1 つずつ通って元の形に戻るのが $x = 4.0 m$ なので、波長は $λ = 4.0 m$
周期は $T = \frac{λ}{v} = \frac{4.0}{2.0} = 2.0 s$
振動数は $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2.0} = 0.50 Hz$

ここで間違えやすい　 $x = 0$ から $x = 2.0 m$ まで（山 1 つぶん）を波長としない。波長は山と谷を合わせた 1 組の長さ。

問 3　速さ $5.0 m/s$ で進む波が通っている。位置 $x = 0$ の媒質の変位（ $y$ - $t$ グラフ）は、 $t = 0$ で $y = 0$ 、 $t = 0.10 s$ で $y = 0.030 m$ （最大）、 $t = 0.20 s$ で $y = 0$ 、 $t = 0.30 s$ で $y = - 0.030 m$ （最小）、 $t = 0.40 s$ で $y = 0$ となり、以後これをくり返す。この波の周期、振動数、波長を求めよ。

周期 $0.40 s$ 、振動数 $2.5 Hz$ 、波長 $2.0 m$

方針　横軸が時刻なので、グラフから読めるのは振幅と周期。波長はグラフからは読めないので、 $λ = v T$ で出す。

$t = 0$ から 1 回振動して元に戻るのが $t = 0.40 s$ なので、周期は $T = 0.40 s$
振動数は $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0.40} = 2.5 Hz$
波長は $λ = v T = 5.0 \times 0.40 = 2.0 m$

ここで間違えやすい　グラフの $0.40$ を波長（ $0.40 m$ ）と読まない。横軸は時刻なので、読めるのは周期。

問 4　問 2 の波について、時刻 0 に $x = 0$ 、 $x = 1.0 m$ 、 $x = 2.0 m$ にある媒質の速度の向きを、それぞれ答えよ。 $y$ 軸の正の向きを上向きとする。

$x = 0$ は下向き、 $x = 1.0 m$ は速度 0、 $x = 2.0 m$ は上向き

方針　波形を、進む向き（ $x$ 軸の正の向き）へ少しだけずらした波形を描き、同じ $x$ の位置で新しい波形が上にあるか下にあるかを見る。

波形を右へ少しずらす。山は $x = 1.0 m$ の少し右へ、谷は $x = 3.0 m$ の少し右へ移る。
$x = 0$ には、もとの波形で $x = 0$ の少し左にあった部分が来る。そこは谷（ $x = - 1.0 m$ ）から上がってくる途中で変位が負なので、 $x = 0$ の媒質は下へ動く。
$x = 1.0 m$ は山の頂上で、振動の折り返し点。速度は 0。
$x = 2.0 m$ には、もとの波形で少し左にあった部分が来る。そこは山から下りてくる途中で変位が正なので、 $x = 2.0 m$ の媒質は上へ動く。

ここで間違えやすい　波が右へ進むからといって、媒質が右へ動くと答えない。媒質は上下にしか動かない。

問 5　問 2 の波について、時刻 0 に $x = 1.0 m$ にあった山は、 $1.5 s$ 後にはどの位置にあるか。また、 $1.5 s$ 後の $x = 1.0 m$ の媒質の変位を求めよ。

山は $x = 4.0 m$ にある。 $x = 1.0 m$ の媒質の変位は 0

方針　波形は形を変えずに速さ $v$ で進む。 $t$ 秒後に位置 $x$ に来ているのは、時刻 0 に $v t$ だけ手前にあった部分である。

$1.5 s$ の間に波形が進む距離は $2.0 \times 1.5 = 3.0 m$
山の位置は $1.0 + 3.0 = 4.0$ なので、山は $x = 4.0 m$ にある。
$1.5 s$ 後に $x = 1.0 m$ に来ているのは、時刻 0 に $3.0 m$ 手前にあった部分。その位置は $1.0 - 3.0 = - 2.0$ なので、 $x = - 2.0 m$ 。
波形は波長 $4.0 m$ ごとに同じ形をくり返すので、 $x = - 2.0 m$ の変位は $x = 2.0 m$ の変位と同じで、0。
よって、 $1.5 s$ 後の $x = 1.0 m$ の媒質の変位は 0。

ここで間違えやすい　山が $x = 4.0 m$ へ進んでも、 $x = 1.0 m$ にあった媒質がそこへ移るわけではない。媒質は $x = 1.0 m$ にとどまり、変位だけが変わる。