速度の合成と相対速度｜高校物理基礎

学習指導要領物理基礎 (1) ア (ｱ) ㋑「物体の運動の表し方について，直線運動を中心に理解すること。」。

0. どういうまとまりか

速度は「誰から見たか」で変わります。流れる川を進む船は、水に対する速度と岸に対する速度が違います。走る電車から見た隣の車は、地面から見たときとは違う速度で動いて見えます。
動くものの上で動く物体の、地面に対する速度を求めるのが速度の合成、動いている観測者から見た相手の速度を求めるのが相対速度です。
物理基礎で扱うのは、どちらも同じ一直線上の場合です。向きが斜めに交わる平面内の場合は、発展科目の「物理」で学びます。

	何を求めるか	式（符号つきの速度で）	計算
速度の合成	動くものの上で動く物体の、地面に対する速度	$v = v_{1} + v_{2}$	足す
相対速度	動いている A から見た、B の速度	$v_{A B} = v_{B} - v_{A}$	相手から自分を引く

分かれ目は次の 3 つ。

合成は足し算、相対速度は引き算。どちらも、正の向きを決めて符号つきの速度で計算する
相対速度は「相手 − 自分」。見ている側（観測者）の速度を引く。順番を逆にすると向きが逆になる
「何に対する速度か」を先に確かめる。水に対する速度か岸に対する速度か、地面に対する速度か電車に対する速度か

1. 速度の合成

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(ア)-㋑

動いているものの上でさらに動く物体は、地面から見ると 2 つの速度を合わせた速度で動きます。

速度の合成とは？一直線上での合成速度の式は？

2 つの速度を合わせて 1 つの速度にすること。速度 $v_{1}$ で動くものの上を、それに対して速度 $v_{2}$ で動く物体の、地面に対する速度は $v = v_{1} + v_{2}$

合わせてできた速度を合成速度という。 $v_{1}$ 、 $v_{2}$ は正の向きを決めた符号つきの値で、逆向きなら負の数を足すことになる。

流れの速さが $u$ の川を、静水上での速さが $v$ の船が進む。岸から見た船の速さは、下るときと上るときでそれぞれいくらか？

下るときは $v + u$ 、上るときは $v - u$

下りは流れと同じ向きなので足し、上りは流れと逆向きなので引く。 $v$ が $u$ より小さいと、上ろうとしても下流へ流される。

「静水上での船の速さ」とは、何に対する速さか？

水に対する速さ（流れのない水の上で船が進む速さ）

川では水そのものが岸に対して動いているので、岸に対する船の速度は「水に対する船の速度 + 岸に対する水の速度」になる。

速さ $u$ で動く歩道の上を、歩道に対して速さ $w$ で、歩道の進む向きと逆向きに歩く。地面から見た人の速度は？（歩道の進む向きを正とする）

$u - w$ （ $u + (- w)$ と考える）

正なら歩道の向きにゆっくり進み、0 なら地面から見て止まって見え、負なら歩道と逆向きに進む。

2. 相対速度

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(ア)-㋑

自分も動いているとき、相手の動きは地面から見たときと違って見えます。動いている観測者から見た相手の速度が相対速度です。

相対速度とは？

動いている観測者から見た、相手の物体の速度

「A に対する B の相対速度」は、A が自分は止まっていると考えたときに B が動いて見える速度。観測者は A。

一直線上を A が速度 $v_{A}$ 、B が速度 $v_{B}$ で動いている。A に対する B の相対速度 $v_{A B}$ は？

$v_{A B} = v_{B} - v_{A}$

相手（見られる側）の速度から、自分（見る側）の速度を引く。 $v_{A}$ 、 $v_{B}$ は符号つきの値。

A に対する B の相対速度と、B に対する A の相対速度は、どういう関係か？

大きさが同じで、向きが逆（ $v_{B A} = - v_{A B}$ ）

A から B が東向きに遠ざかって見えるなら、B からは A が西向きに遠ざかって見える。

2 つの物体が同じ向きに進むときと、逆向きに進むときで、相対速度の大きさはどうなるか？

同じ向きなら速さの差、逆向きなら速さの和

追い越すときは相手がゆっくり動いて見え、すれ違うときは相手が速く動いて見える。式 $v_{B} - v_{A}$ に符号つきの値を入れれば、自動的にこうなる。

A に対する B の相対速度が 0 になるのは、どんなときか？

A と B が同じ速度（同じ速さで同じ向き）で動いているとき

並んで走る電車から隣の電車が止まって見えるのがこの場合。2 つの間の距離は変わらない。

3. 合成と相対速度の使い分け

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(ア)-㋑

合成と相対速度は、同じ関係を逆向きに使っているだけです。分かっている速度が「何に対する速度か」を整理すれば、どちらを使うかが決まります。

A の速度 $v_{A}$ と、A に対する B の相対速度 $v_{A B}$ が分かっているとき、地面に対する B の速度 $v_{B}$ は？

$v_{B} = v_{A} + v_{A B}$

$v_{A B} = v_{B} - v_{A}$ を移項したもので、速度の合成の式と同じ形。「A の速度」に「A から見た B の速度」を足す。

速度の合成と相対速度は、それぞれどんなときに使うか？

合成は、動くものに対する速度から地面に対する速度を求めるとき。相対速度は、地面に対する 2 つの速度から、一方から見たもう一方の速度を求めるとき

問題文の速度に「何に対する速度か」を書き添えてから式にすると、足すか引くかを取り違えない。

同じ直線上を動く 2 つの物体が、はじめ距離 $L$ だけ離れている。追いつく（または出会う）までの時間を、相対速度で求めるには？

$L$ を、近づく向きの相対速度の大きさで割る

一方から見れば、相手が相対速度で距離 $L$ を近づいてくるだけの運動になる。追いかけるときは速さの差、向かい合うときは速さの和で割る。

練習問題

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(ア)-㋑

問 1　流れの速さが $2.0 m/s$ のまっすぐな川を、静水上での速さが $5.0 m/s$ の船が進む。(1) 岸から見た船の速さを、下るときと上るときについて求めよ。(2) 川に沿って $84 m$ 離れた 2 地点の間を往復するのにかかる時間を求めよ。

(1) 下り $7.0 m/s$ 、上り $3.0 m/s$ 　(2) $40 s$

方針　岸に対する船の速度は、水に対する船の速度と流れの速度の合成。下りは同じ向きなので足し、上りは逆向きなので引く。往復の時間は、下りと上りを別々に求めて足す。

(1) 下りは、船の向きと流れの向きが同じ。 $5.0 + 2.0 = 7.0 m/s$
上りは、船の向きと流れの向きが逆。 $5.0 - 2.0 = 3.0 m/s$
(2) 下りにかかる時間は $84 \div 7.0 = 12 s$
上りにかかる時間は $84 \div 3.0 = 28 s$
往復の時間は $12 + 28 = 40 s$

ここで間違えやすい　往復 $168 m$ を静水上での速さ $5.0 m/s$ で割って $33.6 s$ とすること。流れがあると、遅い上りに時間がかかるぶん、往復の時間は長くなる。

問 2　速さ $0.50 m/s$ で動く、長さ $60 m$ の動く歩道がある。(1) 歩道の上を、歩道に対して速さ $1.5 m/s$ で歩道の進む向きに歩くとき、端から端まで何秒かかるか。(2) 歩道の上を、歩道に対して速さ $1.5 m/s$ で歩道の進む向きと逆向きに歩くとき、地面から見た人の速度を求めよ。

(1) $30 s$ 　(2) 歩道の進む向きと逆向きに $1.0 m/s$

方針　歩道の進む向きを正とし、歩道の速度と、歩道に対する人の速度を符号つきで足して、地面に対する人の速度を求める。

(1) 歩道の速度は $+ 0.50 m/s$ 、歩道に対する人の速度は $+ 1.5 m/s$
地面に対する人の速度は $0.50 + 1.5 = 2.0 m/s$
地面から見て $60 m$ 進めばよいので、時間は $60 \div 2.0 = 30 s$
(2) 逆向きに歩くので、歩道に対する人の速度は $- 1.5 m/s$
地面に対する人の速度は $0.50 + (- 1.5) = - 1.0 m/s$
負なので、歩道の進む向きと逆向きに $1.0 m/s$

ここで間違えやすい　(1) で $60 \div 1.5 = 40 s$ とすること。 $1.5 m/s$ は歩道に対する速さで、地面に対する速さではない。

問 3　東西にのびるまっすぐな道路を、自動車 A が東向きに $25 m/s$ 、自動車 B が東向きに $12 m/s$ 、自動車 C が西向きに $10 m/s$ で走っている。(1) A に対する B の相対速度、(2) A に対する C の相対速度、(3) B に対する A の相対速度を求めよ。

(1) 西向きに $13 m/s$ 　(2) 西向きに $35 m/s$ 　(3) 東向きに $13 m/s$

方針　東向きを正として 3 台の速度を符号つきで書き、「相手の速度 − 自分（見る側）の速度」を計算する。答えの符号を向きに直す。

東向きを正とすると、 $v_{A} = + 25 m/s$ 、 $v_{B} = + 12 m/s$ 、 $v_{C} = - 10 m/s$
(1) 見る側は A、相手は B。 $12 - 25 = - 13 m/s$ で、負なので西向きに $13 m/s$
(2) 見る側は A、相手は C。 $(- 10) - 25 = - 35 m/s$ で、負なので西向きに $35 m/s$
(3) 見る側は B、相手は A。 $25 - 12 = 13 m/s$ で、正なので東向きに $13 m/s$

ここで間違えやすい　(1) を「B は東向きに走っているから東向き」と答えること。A のほうが速いので、A から見ると B は後ろ（西）へ下がっていく。(2) は逆向きどうしなので、速さの和になる。

問 4　まっすぐな道路を、自動車 A が速さ $9.0 m/s$ で走っている。その前方 $90 m$ のところを、自動車 B が同じ向きに速さ $6.0 m/s$ で走っている。A が B に追いつくまでの時間と、その間に A が進む距離を求めよ。

時間 $30 s$ 、距離 $2.7 \times 1 0^{2} m$

方針　B から見ると、A は相対速度で $90 m$ の距離を近づいてくる。距離を相対速度の大きさで割ると、追いつくまでの時間が出る。

進む向きを正とする。B に対する A の相対速度は $9.0 - 6.0 = 3.0 m/s$
B から見ると、A は $90 m$ 後ろから $3.0 m/s$ で近づいてくる
追いつくまでの時間は $90 \div 3.0 = 30 s$
その間に A が地面に対して進む距離は $9.0 \times 30 = 270 m$ で、 $2.7 \times 1 0^{2} m$
確かめ: B が進む距離は $6.0 \times 30 = 180 m$ 。はじめの差を足すと $180 + 90 = 270 m$ で、A の進む距離と合う

ここで間違えやすい　A が進む距離を、相対速度を使って $3.0 \times 30 = 90 m$ とすること。これは B から見て近づいた距離。地面に対して進む距離は、地面に対する速さ $9.0 m/s$ で計算する。

問 5　東向きに $25 m/s$ で走る電車の中から、線路と平行な道路を走る自動車を見たところ、自動車は西向きに $5.0 m/s$ で動いて見えた。地面に対する自動車の速度を求めよ。

東向きに $20 m/s$

方針　見えた速度は、電車に対する自動車の相対速度。 $v_{A B} = v_{B} - v_{A}$ を $v_{B}$ について解いた $v_{B} = v_{A} + v_{A B}$ を使う。

東向きを正とする。電車の速度は $v_{A} = + 25 m/s$
電車に対する自動車の相対速度は、西向きなので $v_{A B} = - 5.0 m/s$
地面に対する自動車の速度は $25 + (- 5.0) = 20 m/s$
正なので、東向きに $20 m/s$

ここで間違えやすい　「西向きに見えたから、自動車は西向きに走っている」と考えること。自動車も東向きに走っているが、電車より遅いので、電車からは後ろへ下がって見える。