等速直線運動｜高校物理基礎

学習指導要領物理基礎 (1) ア (ｱ) ㋑「物体の運動の表し方について，直線運動を中心に理解すること。」。

0. どういうまとまりか

一直線上を、一定の速度で進む運動を等速直線運動といいます。速さも向きも変わらない、いちばん単純な運動です。
この運動を、式と 2 種類のグラフ（ $x$ - $t$ グラフと $v$ - $t$ グラフ）で表します。
ここで身につける「グラフの傾きと面積の読み方」は、速度が変わる運動でもそのまま使います。

表し方	等速直線運動での形	読み取れるもの
式	$x = v t$ （はじめの位置が $x_{0}$ なら $x = x_{0} + v t$ ）	時刻 $t$ での位置
$x$ - $t$ グラフ	傾きが一定の直線	傾きが速度
$v$ - $t$ グラフ	$t$ 軸に平行な直線	$t$ 軸との間の面積が変位

分かれ目は次の 3 つ。

$x$ - $t$ グラフは傾きを読み、 $v$ - $t$ グラフは面積を読む。見た目が似ているので、まず縦軸が何かを確かめる
$v$ - $t$ グラフの面積は変位。 $t$ 軸より下の部分は負の変位として数える
2 つの物体が出会う・追いつくのは、同じ時刻に同じ位置にいるとき。それぞれの位置を $t$ の式で書いて、等しいとおく

1. 等速直線運動の式

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(ア)-㋑

速度が一定なので、変位は時間に比例します。時刻 0 にどこにいたかで、位置の式が少し変わります。

等速直線運動とは？

一直線上を一定の速度で進む運動。速さも向きも変わらない

等速度運動ともいう。速さが一定でも、向きが変わる運動（曲がる運動）は等速直線運動ではない。

速度 $v$ の等速直線運動で、時刻 0 に原点を通過した物体の、時刻 $t$ での位置 $x$ は？

$x = v t$

位置（変位）は経過時間に比例する。 $v$ が負なら $x$ も負になり、負の向きに進んだことを表す。

速度 $v$ の等速直線運動で、時刻 0 での位置が $x_{0}$ のとき、時刻 $t$ での位置 $x$ は？

$x = x_{0} + v t$

$v t$ は時刻 0 からの変位。位置は「はじめの位置 + 変位」になる。 $x = v t$ は $x_{0} = 0$ の場合。

等速直線運動では、平均の速度と瞬間の速度はどういう関係か？

どの区間の平均の速度も、どの時刻の瞬間の速度も、すべて等しい

だから、どの 2 つの時刻の位置を使って「変位 ÷ 時間」を計算しても、同じ速度が出る。

2. 位置と時間のグラフ

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(ア)-㋑

等速直線運動では位置が時間に比例して変わるので、 $x$ - $t$ グラフは直線になります。

等速直線運動の $x$ - $t$ グラフは、どんな形か？速度はどこに表れるか？

傾きが一定の直線。傾きが速度 $v$ を表す

時刻 0 に原点にいれば原点を通る直線。はじめの位置が $x_{0}$ なら、縦軸との交点が $x_{0}$ になる。

2 つの物体の $x$ - $t$ グラフを同じ図に描いたとき、2 本の直線の交点は何を表すか？

2 つの物体が、その時刻に同じ位置にいること（出会う・追いつく）

傾きが急なほうが速い。右上がりと右下がりの直線なら、互いに逆向きに進んでいてすれ違う。

3. 速度と時間のグラフ

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(ア)-㋑

横軸に時刻 $t$ 、縦軸に速度 $v$ をとったグラフを $v$ - $t$ グラフといいます。このグラフからは、面積として変位が読み取れます。

等速直線運動の $v$ - $t$ グラフは、どんな形か？

$t$ 軸に平行な直線（速度が一定なので、高さが変わらない）

$x$ - $t$ グラフで $t$ 軸に平行な直線は「静止」を表す。同じ形でも、縦軸が何かで意味が変わる。

$v$ - $t$ グラフと $t$ 軸で囲まれた部分の面積は、何を表すか？

変位（その時間に位置が変わった量）

等速直線運動なら、高さ $v$ 、横 $t$ の長方形の面積 $v t$ になる。これは $x = v t$ と同じ。

$v$ - $t$ グラフが $t$ 軸より下にある部分の面積は、どう扱うか？

負の変位として数える。変位は「上の面積 − 下の面積」、道のりは「上の面積 + 下の面積」

速度が負のあいだは負の向きに進んでいるので、位置は戻っていく。

4. 式の立て方と運動の記録

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(ア)-㋑

2 つの物体が出てくる問題は、同じ座標軸と同じ時刻の基準で式を書くところから始めます。運動の記録には、一定の時間ごとに点を打つ記録タイマーを使います。

2 つの物体が「出会う」「追いつく」時刻を求める式の立て方は？

同じ座標軸の上で、それぞれの位置を時刻 $t$ の式で表し、2 つの位置が等しいとおく

出発の時刻が違うときは、遅れて出た物体の経過時間を $t - t_{0}$ と書く。出発の位置が違うときは $x_{0}$ を足す。

1 秒間に 50 回点を打つ記録タイマーで記録したテープを、5 打点ごとに区切った。1 区間の時間は何秒か？

$0.10 s$

1 打点の間隔が $\frac{1}{50} s$ なので、5 打点ぶんで $\frac{1}{50} \times 5 = 0.10 s$ 。1 秒間に 60 回打つものなら、6 打点ごとに区切ると $0.10 s$ になる。

記録タイマーのテープで、等速直線運動であることはどこから分かるか？速さはどう求めるか？

打点の間隔がどこも等しければ等速直線運動。速さは「区間の長さ ÷ その区間の時間」

打点の間隔が広いほど速い。間隔がだんだん広がっていれば、速くなっている。

練習問題

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(ア)-㋑

問 1　一定の速さ $4.0 m/s$ でまっすぐ進む自転車がある。(1) $15 s$ 間に進む距離を求めよ。(2) $180 m$ 進むのにかかる時間を求めよ。

(1) $60 m$ 　(2) $45 s$

方針　等速直線運動なので $x = v t$ を使う。(2) は同じ式を $t$ について解く。

(1) $v = 4.0 m/s$ 、 $t = 15 s$ を $x = v t$ に入れると、 $4.0 \times 15 = 60 m$
(2) $x = v t$ を $t$ について解くと $t = \frac{x}{v}$
$x = 180 m$ 、 $v = 4.0 m/s$ を入れると、 $180 \div 4.0 = 45 s$

問 2　 $x$ 軸上を等速直線運動する物体が、時刻 $0$ に位置 $2.0 m$ 、時刻 $5.0 s$ に位置 $17 m$ を通過した。(1) 速度を求めよ。(2) 時刻 $8.0 s$ での位置を求めよ。

(1) $x$ 軸の正の向きに $3.0 m/s$ 　(2) $26 m$

方針　速度は「変位 ÷ 時間」で求める。はじめの位置が 0 ではないので、位置の式は $x = x_{0} + v t$ を使う。

(1) 変位は $17 - 2.0 = 15 m$ 、かかった時間は $5.0 s$
速度は $15 \div 5.0 = 3.0 m/s$ 。正なので $x$ 軸の正の向き
(2) はじめの位置は $x_{0} = 2.0 m$ 。 $x = x_{0} + v t$ に $t = 8.0 s$ を入れる
$2.0 + 3.0 \times 8.0 = 2.0 + 24 = 26 m$

ここで間違えやすい　(1) で $17 \div 5.0$ としたり、(2) で $3.0 \times 8.0 = 24 m$ と答えたりすること。 $v t$ は変位であって、位置ではない。はじめの位置を足す。

問 3　 $x$ 軸上を動く物体の $v$ - $t$ グラフが、次の 2 本の線分でできている。時刻 $0$ から $6.0 s$ までは速度 $5.0 m/s$ で一定、 $6.0 s$ から $9.0 s$ までは速度 $- 2.0 m/s$ で一定。 $9.0 s$ 間の変位と道のりを求めよ。

変位は正の向きに $24 m$ 、道のりは $36 m$

方針　 $v$ - $t$ グラフと $t$ 軸の間の面積が変位。 $t$ 軸より上の長方形は正、下の長方形は負として足す。道のりは、どちらも正として足す。

前半の長方形は高さ $5.0$ 、横 $6.0$ 。面積は $5.0 \times 6.0 = 30 m$ で、正の向きに $30 m$ 進んだ
後半の長方形は $t$ 軸の下にあり、高さ $2.0$ 、横は $9.0 - 6.0 = 3.0$ 。面積は $2.0 \times 3.0 = 6.0 m$ で、負の向きに $6.0 m$ 進んだ
変位は、上の面積から下の面積を引いて $30 - 6.0 = 24 m$
道のりは、2 つの面積を足して $30 + 6.0 = 36 m$

ここで間違えやすい　後半の横の長さを $9.0$ とすること。区間の時間は、終わりの時刻から始まりの時刻を引いた $3.0 s$ 。

問 4　まっすぐな道で、A さんが地点 O を速さ $2.0 m/s$ で出発した。その $10 s$ 後に、B さんが同じ地点 O を同じ向きに速さ $6.0 m/s$ で出発した。2 人とも等速直線運動をするものとして、B さんが A さんに追いつくのは A さんが出発してから何秒後か。また、それは O から何 $m$ の地点か。

A さんが出発してから $15 s$ 後、O から $30 m$ の地点

方針　O を原点、進む向きを正とし、A さんが出発した時刻を $t = 0$ とする。2 人の位置をそれぞれ $t$ の式で書き、等しいとおく。

A さんの位置は $x_{A} = 2.0 t$
B さんは $10 s$ 遅れて出発するので、進んだ時間は $t - 10$ 。位置は $x_{B} = 6.0 (t - 10)$
追いつくのは $x_{A} = x_{B}$ のとき。 $2.0 t = 6.0 (t - 10)$
右辺を展開して $2.0 t = 6.0 t - 60$ 。移項して $4.0 t = 60$ なので、 $t = 15 s$
そのときの位置は、A さんの式から $2.0 \times 15 = 30 m$
確かめ: B さんが進んだ時間は $15 - 10 = 5 s$ で、位置は $6.0 \times 5 = 30 m$ 。A さんと同じ

ここで間違えやすい　B さんの位置を $6.0 t$ と書くこと。 $t$ は A さんが出発してからの時間なので、B さんが動いた時間は $10 s$ 短い。

問 5　1 秒間に 50 回点を打つ記録タイマーで、台車の運動を記録した。テープを 5 打点ごとに区切ると、どの区間の長さも $6.0 cm$ だった。台車はどんな運動をしているか。また、その速さは何 $m/s$ か。

等速直線運動。速さは $0.60 m/s$

方針　同じ時間ごとの区間の長さが等しければ、速さは一定。速さは「区間の長さ ÷ 区間の時間」で求め、長さの単位を $m$ に直す。

1 打点の間隔は $\frac{1}{50} s$ なので、5 打点ぶんの時間は $\frac{1}{50} \times 5 = 0.10 s$
$0.10 s$ ごとに進む長さがどこも同じなので、台車は等速直線運動をしている
区間の長さを $m$ に直す。 $6.0 cm$ は $6.0 \div 100 = 0.060 m$
速さは $0.060 \div 0.10 = 0.60 m/s$

ここで間違えやすい　1 区間の時間を $\frac{1}{50} s$ としたり、 $cm$ のまま $60$ と答えたりすること。区切った打点の数と、答えの単位を確かめる。