速さと速度｜高校物理基礎 — みならいノート

学習指導要領物理基礎 (1) ア (ｱ) ㋑「物体の運動の表し方について，直線運動を中心に理解すること。」。

0. どういうまとまりか

物体の運動は、「いつ・どこにいるか」で表します。一直線上の運動では、直線に沿って座標軸（ $x$ 軸）をとり、物体の位置を座標 $x$ で表します。
日常では同じ意味で使う「速さ」と「速度」を、物理では区別します。速さは大きさだけの量、速度は速さに向きを合わせた量です。
同じように、進んだ長さを表す道のりと、位置がどちら向きにどれだけ変わったかを表す変位も区別します。

向きを考えない量	向きを含む量	直線上での向きの表し方
道のり（実際に通った長さ）	変位 $Δ x = x_{2} - x_{1}$	正の向きを決め、符号で表す
速さ（道のり ÷ 時間）	速度（変位 ÷ 時間）	正の向きに進めば正、逆なら負

分かれ目は次の 3 つ。

速度には向きがある。一直線上では、先に正の向きを決めて、向きを符号で表す
平均の速度は「変位 ÷ 時間」、平均の速さは「道のり ÷ 時間」。行って戻ると、この 2 つは違う値になる
$x$ - $t$ グラフの傾きが速度。2 点を結ぶ直線の傾きが平均の速度、接線の傾きが瞬間の速度

1. 速さ

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(ア)-㋑

速さは、単位時間あたりに進む距離です。単位の換算は、このあとの計算で何度も使います。

速さとは？式と単位は？

単位時間あたりの移動距離。距離 $x$ を時間 $t$ で進むとき $v = \frac{x}{t}$ 。単位はメートル毎秒（ $m/s$ ）

変形すると $x = v t$ 、 $t = \frac{x}{v}$ 。 $m/s$ は「1 秒あたりに何 $m$ 進むか」を表す。

$km/h$ で表した速さを $m/s$ に直すには？逆は？

$km/h$ の数値を $3.6$ で割ると $m/s$ 。 $m/s$ の数値に $3.6$ を掛けると $km/h$

1 時間は $3600 s$ 、 $1 km$ は $1000 m$ なので、 $3600 \div 1000 = 3.6$ が換算の数になる。例えば $72 km/h$ は $72 \div 3.6 = 20 m/s$ 。

2. 変位と速度

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(ア)-㋑

位置の変化を、向きを含めて表したものが変位です。速度は、速さに向きを合わせた量で、変位から決まります。

変位とは？道のりとの違いは？

位置の変化を、向きを含めて表した量。位置が $x_{1}$ から $x_{2}$ に変わったとき $Δ x = x_{2} - x_{1}$ 。道のりは実際に通った長さで、向きを含まない

変位は最初と最後の位置だけで決まり、途中の道すじによらない。行って戻れば、道のりは増えるが変位は小さくなる。

速度と速さの違いは？

速度は、速さ（大きさ）に運動の向きを合わせた量。速さは速度の大きさで、向きを含まない

同じ $10 m/s$ でも、東向きと西向きでは速度が違う。速度のように大きさと向きをもつ量をベクトルという。

一直線上の運動で、速度や変位の向きはどう表すか？

先にどちらか一方を正の向きと決め、正の向きなら正、逆向きなら負の符号で表す

東向きを正とすれば、西向きに $5 m/s$ の速度は $- 5 m/s$ 。どちらを正にしてもよいが、1 つの問題の中では変えない。

3. 平均の速度と瞬間の速度

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(ア)-㋑

速度が変わる運動では、「ある時間の間をならした速度」と「ある時刻での速度」を区別します。

時刻 $t_{1}$ に位置 $x_{1}$ 、時刻 $t_{2}$ に位置 $x_{2}$ にいた物体の、平均の速度は？

$v = \frac{x _{2} - x _{1}}{t _{2} - t _{1}} = \frac{Δ x}{Δ t}$ （変位 ÷ かかった時間）

途中で速くなったり遅くなったりしても、最初と最後の位置と時刻だけで決まる。

瞬間の速度とは？

平均の速度を求める時間 $Δ t$ を、きわめて短くとったときの速度。その時刻での速度を表す

単に「速度」といえば瞬間の速度を指す。自動車の速度計が示すのは、瞬間の速さ。

ある点から出発して同じ点に戻ってきたとき、平均の速度と平均の速さはどうなるか？

平均の速度は 0（変位が 0 だから）。平均の速さは「往復の道のり ÷ 時間」で、0 にならない

「平均の速さ」は道のりから、「平均の速度」は変位から求める。問題文がどちらを聞いているかを先に確かめる。

同じ道のりを、行きは速さ $v_{1}$ 、帰りは速さ $v_{2}$ で往復したとき、往復の平均の速さの求め方は？

「往復の道のり ÷ 往復にかかった時間」で求める。 $\frac{v _{1} + v _{2}}{2}$ ではない

遅いほうの区間に長い時間がかかるので、平均の速さは 2 つの速さの真ん中より小さくなる。

4. 位置と時間のグラフ

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(ア)-㋑

横軸に時刻 $t$ 、縦軸に位置 $x$ をとったグラフを $x$ - $t$ グラフといいます。速度は、このグラフの傾きとして読み取れます。

$x$ - $t$ グラフの傾きは、何を表すか？

速度

傾きは「縦軸の変化 ÷ 横軸の変化」で、 $\frac{Δ x}{Δ t}$ になる。傾きが急なほど速い。

$x$ - $t$ グラフが曲線のとき、平均の速度と瞬間の速度は、それぞれグラフのどこに表れるか？

平均の速度は、グラフ上の 2 点を結ぶ直線の傾き。瞬間の速度は、その時刻の点で引いた接線の傾き

2 点の間隔を縮めていくと、2 点を結ぶ直線は接線に近づく。

$x$ - $t$ グラフの傾きが 0 のとき、負のとき、物体はそれぞれどういう運動をしているか？

傾きが 0 なら静止している。傾きが負（右下がり）なら、負の向きに進んでいる

右下がりは「遅くなっている」ではない。位置 $x$ が減っている、つまり逆向きに進んでいることを表す。

練習問題

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(ア)-㋑

問 1　(1) $90 km/h$ は何 $m/s$ か。　(2) $15 m/s$ は何 $km/h$ か。

(1) $25 m/s$ 　(2) $54 km/h$

方針　 $1 km$ は $1000 m$ 、1 時間は $3600 s$ 。 $km/h$ から $m/s$ へは $3.6$ で割り、逆は $3.6$ を掛ける。

(1) 1 時間に $90 km$ 、つまり $3600 s$ に $90000 m$ 進む速さなので、 $90000 \div 3600 = 25 m/s$
換算の数を使っても同じ。 $90 \div 3.6 = 25 m/s$
(2) $1 s$ に $15 m$ 進むので、 $3600 s$ では $15 \times 3600 = 54000 m$ 、つまり $54 km$ 進む
換算の数を使っても同じ。 $15 \times 3.6 = 54 km/h$

ここで間違えやすい　掛けるか割るかを逆にすること。同じ速さなら $m/s$ の数値のほうが小さい、と覚えておくと確かめられる。

問 2　東西にのびるまっすぐな道で、A さんが東へ $80 m$ 進んだあと、向きを変えて西へ $30 m$ 戻った。かかった時間は全部で $50 s$ だった。東向きを正として、(1) 道のりと変位、(2) 平均の速さと平均の速度を求めよ。

(1) 道のり $110 m$ 、変位は東向きに $50 m$ 　(2) 平均の速さ $2.2 m/s$ 、平均の速度は東向きに $1.0 m/s$

方針　道のりは通った長さをそのまま足す。変位は向きに符号を付けて足す。平均の速さは道のりから、平均の速度は変位から求める。

道のりは、向きに関係なく足して $80 + 30 = 110 m$
東向きが正なので、東へ $80 m$ は $+ 80$ 、西へ $30 m$ は $- 30$ 。変位は $80 + (- 30) = 50 m$ で、正なので東向き
平均の速さは「道のり ÷ 時間」で、 $110 \div 50 = 2.2 m/s$
平均の速度は「変位 ÷ 時間」で、 $50 \div 50 = 1.0 m/s$ 。正なので東向き

ここで間違えやすい　平均の速度を道のりの $110 m$ から求めること。速度は向きを含むので、向きを含む変位から求める。

問 3　 $x$ 軸上を進む物体が、時刻 $2.0 s$ に位置 $3.0 m$ 、時刻 $6.0 s$ に位置 $15 m$ を通過した。この間の平均の速度を求めよ。

$x$ 軸の正の向きに $3.0 m/s$

方針　平均の速度は「変位 ÷ かかった時間」。位置も時刻も、あとの値から前の値を引く。

変位は $Δ x = 15 - 3.0 = 12 m$
かかった時間は $Δ t = 6.0 - 2.0 = 4.0 s$
平均の速度は $12 \div 4.0 = 3.0 m/s$
値が正なので、向きは $x$ 軸の正の向き

ここで間違えやすい　位置 $15 m$ を時刻 $6.0 s$ で割って $2.5 m/s$ としないこと。割るのは位置や時刻そのものではなく、その変化。

問 4　家と駅は $600 m$ 離れている。B さんは、行きは速さ $3.0 m/s$ 、帰りは速さ $2.0 m/s$ で、家と駅の間を往復した。駅で止まっていた時間は考えないものとして、往復の平均の速さと平均の速度を求めよ。

平均の速さ $2.4 m/s$ 、平均の速度 $0 m/s$

方針　平均の速さは「往復の道のり ÷ 往復の時間」。行きと帰りの時間を別々に出して足す。平均の速度は変位から求める。

行きにかかる時間は $600 \div 3.0 = 200 s$
帰りにかかる時間は $600 \div 2.0 = 300 s$
往復の時間は $200 + 300 = 500 s$ 、往復の道のりは $600 + 600 = 1200 m$
平均の速さは $1200 \div 500 = 2.4 m/s$
家に戻ったので変位は 0。平均の速度は $0 \div 500 = 0 m/s$

ここで間違えやすい　2 つの速さを足して 2 で割り、 $2.5 m/s$ とすること。遅い帰りのほうに長い時間がかかるので、平均は $2.5$ より小さくなる。

問 5　 $x$ 軸上を動く物体の $x$ - $t$ グラフが、次の 3 本の線分でできている。時刻 $0$ から $4.0 s$ までは、位置 $0$ から $8.0 m$ まで一定の割合で増える。 $4.0 s$ から $6.0 s$ までは、位置 $8.0 m$ のまま変わらない。 $6.0 s$ から $8.0 s$ までは、位置 $8.0 m$ から $0$ まで一定の割合で減る。(1) 3 つの区間の速度をそれぞれ求めよ。(2) $8.0 s$ 間の道のりと平均の速度を求めよ。

(1) 順に $2.0 m/s$ 、 $0 m/s$ 、 $- 4.0 m/s$ 　(2) 道のり $16 m$ 、平均の速度 $0 m/s$

方針　 $x$ - $t$ グラフの傾きが速度。区間ごとに「位置の変化 ÷ 時間の変化」を計算する。道のりは、進んだ長さを向きに関係なく足す。

1 つ目の区間の傾きは $(8.0 - 0) \div (4.0 - 0) = 2.0 m/s$
2 つ目の区間は位置が変わらないので、傾きは 0。物体は止まっている
3 つ目の区間の傾きは $(0 - 8.0) \div (8.0 - 6.0) = - 4.0 m/s$ 。負なので、 $x$ 軸の負の向きに進んでいる
道のりは、正の向きに $8.0 m$ 、負の向きに $8.0 m$ 進んだので $8.0 + 8.0 = 16 m$
最初と最後の位置がどちらも 0 なので変位は 0。平均の速度は 0

ここで間違えやすい　3 つ目の区間を「減速している」と読むこと。右下がりの直線は、一定の速さで逆向きに進んでいることを表す。