物理量と有効数字｜高校物理基礎

学習指導要領物理基礎 (1) ア (ｱ) ㋐「身近な物理現象について，物理量の測定と表し方，分析の手法を理解すること。」。

0. どういうまとまりか

長さ・質量・時間のように、測って数値で表せる量を物理量といいます。物理量は「数値 × 単位」で書き、単位を落とした数だけでは意味が決まりません。
測定値には必ず誤差があるので、「どの桁まで信用できるか」を数字の書き方で示します。これが有効数字です。
ここで学ぶ書き方と計算の決まりは、このあとのすべてのノートで使います。

場面	決まり	例
桁数を数える	0 でない最初の数字から数える。末尾の 0 も数える	$0.0250$ は 3 桁
桁数をはっきり書く	$a \times 1 0^{n}$ の形にする（ $1 ≦ a < 10$ ）	$2.50 \times 1 0^{- 2}$
掛け算・割り算	桁数が最も少ない測定値に合わせる	$2.4 \times 3.15$ は 2 桁で $7.6$
足し算・引き算	末位が最も高い測定値に合わせる	$12.3 + 4.56$ は小数第 1 位までで $16.9$

分かれ目は次の 3 つ。

位取りの 0 は数えず、末尾の 0 は数える。 $0.0250$ の左の 2 つの 0 は桁数に入らないが、右端の 0 は入る
掛け算・割り算は「桁数」、足し算・引き算は「末位」でそろえる。2 つの決まりを混ぜない
丸めるのは最後に 1 回だけ。途中の値は 1 桁多く残しておく

1. 物理量と単位

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(ア)-㋐

物理量は数値と単位の組で表します。単位は世界共通の国際単位系（SI）を使い、基本単位を組み合わせてほかの単位を作ります。

物理量とは？どう書き表すか？

測定して数値で表せる量。数値と単位の積で書く

長さ $1.5 m$ 、時間 $20 s$ のように書く。単位が違えば同じ量でも数値が変わるので、単位を落とさない。

国際単位系（SI）で、長さ・質量・時間の基本単位は？

長さはメートル（ $m$ ）、質量はキログラム（ $kg$ ）、時間は秒（ $s$ ）

SI の基本単位は全部で 7 つあり、ほかに電流のアンペア（ $A$ ）、温度のケルビン（ $K$ ）などがある。

組立単位とは？速さと密度の組立単位は？

基本単位を掛けたり割ったりして作る単位。速さは $m/s$ 、密度は $kg/ m^{3}$

単位は物理量の定義の式と同じ形になる。速さは「距離 ÷ 時間」なので $m$ を $s$ で割る。

単位の前に付ける接頭語 $k$ （キロ）、 $c$ （センチ）、 $m$ （ミリ）は、それぞれ何倍を表すか？

$k$ は $1 0^{3}$ 倍、 $c$ は $1 0^{- 2}$ 倍、 $m$ は $1 0^{- 3}$ 倍

計算の前に基本単位にそろえる。ほかに $M$ （メガ）は $1 0^{6}$ 倍、 $μ$ （マイクロ）は $1 0^{- 6}$ 倍。

2. 測定値と誤差

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(ア)-㋐

どんなに注意して測っても、測定値は真の値とぴったりには一致しません。だから測定値は「どの桁まで読んだか」が分かるように書きます。

測定の誤差とは？

測定値と真の値との差

測定器の精度や目盛りの読み取り方によって必ず生じる。同じ測定を繰り返して平均をとると、ばらつきの影響を小さくできる。

目盛りのある測定器は、どの桁まで読み取るか？

最小目盛りの $\frac{1}{10}$ まで、目分量で読み取る

最小目盛りが $1 mm$ のものさしなら、 $52.3 mm$ のように $0.1 mm$ の位まで読む。最後の桁には誤差が含まれる。

3. 有効数字の桁数と書き方

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(ア)-㋐

測定で読み取った意味のある数字が有効数字です。桁数は、数字の書き方だけで読み手に伝わるようにします。

有効数字とは？桁数はどう数えるか？

測定で得られた意味のある数字。0 でない最初の数字から、最後の数字までを数える

$0.0250$ は 2、5、0 の 3 桁。左側の 0 は位取りを示すだけなので数えず、末尾の 0 は読み取った数字なので数える。

有効数字の桁数をはっきり示す書き方は？

$a \times 1 0^{n}$ の形で書く。 $a$ は 1 以上 10 未満の数で、 $a$ の桁数が有効数字の桁数

$0.0250$ は $2.50 \times 1 0^{- 2}$ 、光の速さは $3.0 \times 1 0^{8} m/s$ のように書く。大きい数・小さい数も短く書ける。

測定値を「 $1200 m$ 」と書くと、何が困るか？どう書けばよいか？

末尾の 0 が読み取った数字か位取りかが分からず、有効数字の桁数が決まらない。 $1.2 \times 1 0^{3} m$ （2 桁）や $1.20 \times 1 0^{3} m$ （3 桁）と書く

$2.0 m$ と $2 m$ も同じではない。 $2.0$ は小数第 1 位まで読み取ったことを表す。

4. 計算での有効数字

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(ア)-㋐

測定値どうしを計算した結果は、もとの測定値より細かくは信用できません。掛け算・割り算と、足し算・引き算とで、そろえ方が違います。

測定値どうしの掛け算・割り算では、結果の有効数字をどうするか？

有効数字の桁数が最も少ない測定値に、桁数を合わせる

縦 $2.4 m$ （2 桁）、横 $3.15 m$ （3 桁）の面積は、 $2.4 \times 3.15 = 7.56$ を 2 桁に丸めて $7.6 m^{2}$ 。

測定値どうしの足し算・引き算では、結果の有効数字をどうするか？

末位が最も高い測定値に、末位を合わせる（桁数ではなく、位でそろえる）

$12.3 + 4.56 = 16.86$ は、 $12.3$ の末位である小数第 1 位までに丸めて $16.9$ 。桁数は 3 桁と 3 桁なのに、結果も 3 桁になる。

計算の途中の値と、式に出てくる「2 倍」「 $\frac{1}{2}$ 」のような数は、有効数字でどう扱うか？

途中の値は 1 桁多く残し、最後に 1 回だけ丸める。「2 倍」や $\frac{1}{2}$ は測定値ではないので、桁数を数えるときに含めない

途中で丸めると、丸めの誤差が積み重なる。式の係数や個数は誤差のない数として扱う。

5. 表とグラフ

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(ア)-㋐

測定した値は表にまとめ、グラフにして 2 つの物理量の関係を読み取ります。グラフは、点をつなぐのではなく、点の並び方の傾向を線にします。

測定値をグラフにするときの描き方は？

横軸に変化させた量、縦軸に測定した量をとり、軸に物理量と単位を書く。測定点を打ち、点のばらつきの真ん中を通るように、なめらかな直線か曲線を引く

測定点には誤差があるので、点を折れ線でつながない。線の上下に点が同じくらい散らばるように引く。

グラフが原点を通る直線になったとき、2 つの量の関係は？傾きはどこから読むか？

縦軸の量は横軸の量に比例する。傾きは、測定点そのものではなく、引いた直線の上の離れた 2 点から読む

傾きは比例定数で、単位は「縦軸の単位 ÷ 横軸の単位」。横軸が時間、縦軸が位置なら、傾きは速さを表す。

練習問題

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(ア)-㋐

問 1　次の測定値の有効数字は、それぞれ何桁か。
(1) $0.0250 m$ 　(2) $6.0 \times 1 0^{3} kg$ 　(3) $100.0 g$ 　(4) $0.4 s$

(1) 3 桁　(2) 2 桁　(3) 4 桁　(4) 1 桁

方針　0 でない最初の数字から最後の数字までを数える。左側の 0 は位取りなので数えず、末尾の 0 は数える。 $a \times 1 0^{n}$ の形は $a$ の桁数を見る。

(1) 左の「0.0」は位取り。数えるのは 2、5、0 の 3 つなので 3 桁
(2) $a$ にあたる $6.0$ は 6、0 の 2 つなので 2 桁
(3) 最初の 1 から末尾の 0 まで、1、0、0、0 の 4 つなので 4 桁
(4) 左の「0.」は位取り。数えるのは 4 だけなので 1 桁

ここで間違えやすい　(1) を 2 桁、(3) を 1 桁としてしまうこと。小数点より右の末尾の 0 は、そこまで読み取ったという意味なので消せない。

問 2　次の値を、 $a \times 1 0^{n}$ （ $1 ≦ a < 10$ ）の形で表せ。
(1) $0.00830 m$ 　(2) $45200 s$ を有効数字 3 桁で　(3) $299800 km/s$ を有効数字 2 桁で

(1) $8.30 \times 1 0^{- 3} m$ 　(2) $4.52 \times 1 0^{4} s$ 　(3) $3.0 \times 1 0^{5} km/s$

方針　小数点を、最初の 0 でない数字のすぐ右まで動かす。左に動かした回数が $n$ 、右に動かしたら $n$ は負。そのあとで $a$ を指定の桁数に丸める。

(1) 小数点を右へ 3 回動かすと $8.30$ 。 $0.00830 = 8.30 \times 1 0^{- 3}$ で、末尾の 0 は残す
(2) 小数点を左へ 4 回動かすと $4.5200$ 。 $45200 = 4.52 \times 1 0^{4}$ で、3 桁なので $4.52$ まで書く
(3) 小数点を左へ 5 回動かすと $2.998$ 。 $299800 = 2.998 \times 1 0^{5}$
$2.998$ を 2 桁に丸める。3 桁目の 9 を四捨五入すると繰り上がって $3.0$ になるので、 $3.0 \times 1 0^{5}$

ここで間違えやすい　(3) を $3 \times 1 0^{5}$ と書くこと。これは有効数字 1 桁の意味になる。2 桁なら $3.0$ の 0 を書く。

問 3　ある金属のかたまりの質量を測ると $18.5 g$ 、体積を測ると $6.8 c m^{3}$ だった。この金属の密度は何 $g/c m^{3}$ か。

$2.7 g/c m^{3}$

方針　密度は「質量 ÷ 体積」。割り算なので、有効数字の桁数が少ないほうの測定値に合わせる。

有効数字は、質量 $18.5$ が 3 桁、体積 $6.8$ が 2 桁。答えは 2 桁にする
1 桁多い 3 桁まで計算する。 $18.5 \div 6.8 ≒ 2.72$
3 桁目の 2 を四捨五入して、 $2.7 g/c m^{3}$

ここで間違えやすい　電卓の表示どおりに $2.7205 \dots$ と細かく書くこと。体積が 2 桁しか分かっていないので、3 桁目より先に意味はない。

問 4　次の測定値の計算をせよ。
(1) $12.3 cm + 4.56 cm$ 　(2) $25.0 g - 3.42 g$ 　(3) $5.28 s - 5.1 s$

(1) $16.9 cm$ 　(2) $21.6 g$ 　(3) $0.2 s$

方針　足し算・引き算は、桁数ではなく末位でそろえる。2 つの測定値のうち、末位が高いほう（粗いほう）の位までに丸める。

(1) そのまま計算すると $12.3 + 4.56 = 16.86$
$12.3$ の末位は小数第 1 位、 $4.56$ は小数第 2 位。高いほうの小数第 1 位までに丸めて $16.9$
(2) そのまま計算すると $25.0 - 3.42 = 21.58$ 。 $25.0$ の末位である小数第 1 位までに丸めて $21.6$
(3) そのまま計算すると $5.28 - 5.1 = 0.18$ 。 $5.1$ の末位である小数第 1 位までに丸めて $0.2$

ここで間違えやすい　(3) は 3 桁と 2 桁の引き算なのに、答えは 1 桁になる。近い値どうしを引くと有効数字の桁数が減るので、掛け算の決まり（少ないほうの桁数に合わせる）を当てはめて $0.18$ としない。

問 5　まっすぐな道を進む台車の位置を $1.0 s$ ごとに測ったところ、時刻 $0$ 、 $1.0$ 、 $2.0$ 、 $3.0$ 、 $4.0 s$ での位置は、順に $0$ 、 $0.52$ 、 $0.98$ 、 $1.51$ 、 $2.02 m$ だった。横軸に時刻、縦軸に位置をとって点を打つと、原点を通る直線のまわりに並んだ。点のばらつきの真ん中を通るように引いた直線は、時刻 $4.0 s$ で位置 $2.0 m$ の点を通った。この直線の傾きを求め、それが何を表すかを答えよ。

傾きは $0.50 m/s$ 。台車の速さを表す

方針　傾きは「縦軸の変化 ÷ 横軸の変化」。測定点ではなく、引いた直線の上の離れた 2 点（ここでは原点と、時刻 $4.0 s$ の点）から読む。

直線の上の 2 点は、時刻 $0$ で位置 $0$ の点と、時刻 $4.0 s$ で位置 $2.0 m$ の点
縦軸の変化は $2.0 m$ 、横軸の変化は $4.0 s$
傾きは $2.0 \div 4.0 = 0.50 m/s$
単位が「位置の単位 ÷ 時間の単位」なので、傾きは 1 秒あたりに進む距離、つまり速さを表す

ここで間違えやすい　測定点 1 つだけを使って $0.52 \div 1.0$ としないこと。1 つの点には誤差がそのまま入る。直線を引くのは、全部の点を使って誤差をならすため。