加速度｜高校物理基礎 — みならいノート

学習指導要領物理基礎 (1) ア (ｱ) ㋒「速度が変化する物体の直線運動に関する実験などを行い，速度と時間との関係を見いだして理解するとともに，物体が直線運動する場合の加速度を理解すること。」。

0. どういうまとまりか

発進する電車は速くなり、ブレーキをかけた自転車は遅くなります。このように速度が変わる運動で、速度が 1 秒あたりにどれだけ変わるかを表す量が加速度です。
位置の変わり方を表すのが速度、速度の変わり方を表すのが加速度、という同じ形の関係になっています。
加速度も速度と同じく向きをもつ量で、一直線上では符号で向きを表します。

量	定義	単位	グラフでの読み方
速度	位置の変化 ÷ 時間	$m/s$	$x$ - $t$ グラフの傾き
加速度	速度の変化 ÷ 時間	$m/ s^{2}$	$v$ - $t$ グラフの傾き

分かれ目は次の 3 つ。

加速度の符号は「速くなるか遅くなるか」ではなく「向き」を表す。速度と同じ向きなら速くなり、逆向きなら遅くなる
速度の変化は「あとの速度 − はじめの速度」。符号つきの速度で引き算する
速度が 0 でも、加速度が 0 とは限らない。折り返す瞬間は速度が 0 だが、速度は変わり続けている

1. 加速度の定義

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(ア)-㋒

加速度は、速度の変化をかかった時間で割ったものです。速度の定義の「位置」を「速度」に置きかえた形をしています。

加速度とは？

単位時間あたりの速度の変化

速度がどれだけ速く変わるかを表す。速度そのものの大きさとは関係がなく、速くても速度が一定なら加速度は 0。

時刻 $t_{1}$ に速度 $v_{1}$ 、時刻 $t_{2}$ に速度 $v_{2}$ だった物体の、平均の加速度は？

$a = \frac{v _{2} - v _{1}}{t _{2} - t _{1}} = \frac{Δ v}{Δ t}$ （速度の変化 ÷ かかった時間）

速度の変化は「あとの速度 − はじめの速度」。逆に引くと符号が逆になる。

加速度の単位は？ $2 m/ s^{2}$ はどういう意味か？

メートル毎秒毎秒（ $m/ s^{2}$ ）。 $2 m/ s^{2}$ は、1 秒ごとに速度が $2 m/s$ ずつ変わること

速度の単位 $m/s$ を時間の単位 $s$ で割るので $m/ s^{2}$ になる。

平均の加速度と瞬間の加速度の違いは？

平均の加速度は、ある時間の間の速度の変化をその時間で割ったもの。瞬間の加速度は、その時間をきわめて短くとったときの値

単に「加速度」といえば瞬間の加速度を指す。加速度が一定の運動では、2 つはいつも等しい。

2. 加速度の向きと符号

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(ア)-㋒

加速度は向きをもつ量です。符号が表すのは向きであって、速くなるか遅くなるかは、速度の向きと比べて初めて決まります。

加速度の向きは、何の向きか？一直線上ではどう表すか？

速度の変化 $Δ v$ の向き。一直線上では、正の向きを決めて符号で表す

加速度の向きは、運動の向き（速度の向き）と同じとは限らない。

物体が速くなるのは、速度と加速度の向きがどういうときか？遅くなるのは？

速度と加速度が同じ向きなら速くなり、逆向きなら遅くなる

符号でいえば、速度と加速度の符号が同じなら速さが増え、符号が違えば速さが減る。

「加速度が負なら、物体は減速している」は正しいか？

正しくない。負の向きに進んでいる物体（速度が負）に負の加速度がかかると、速さは増える

加速度の符号は、決めた正の向きに対する向きを表すだけ。減速かどうかは、速度の符号と比べて判断する。

加速度が 0 の物体は、どんな運動をしているか？

速度が変わらない運動。静止しているか、等速直線運動をしている

加速度が 0 でも、止まっているとは限らない。

速度が 0 になった瞬間、加速度も 0 か？

0 とは限らない。坂を上って折り返す台車は、最高点で速度が 0 になるが、加速度は坂の下向きのまま変わらない

その瞬間も速度は変わり続けている。加速度まで 0 なら、物体はそこで止まったままになる。

3. 速度と時間のグラフ

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(ア)-㋒

横軸に時刻、縦軸に速度をとった $v$ - $t$ グラフからは、加速度が傾きとして読み取れます。

$v$ - $t$ グラフの傾きは、何を表すか？

加速度

傾きは $\frac{Δ v}{Δ t}$ 。右上がりなら加速度は正、右下がりなら負、 $t$ 軸に平行なら 0。

$v$ - $t$ グラフが直線のとき、曲線のとき、加速度はそれぞれどうなっているか？

直線なら加速度は一定。曲線なら加速度が変化していて、各時刻の接線の傾きがその瞬間の加速度

2 点を結ぶ直線の傾きは、その間の平均の加速度を表す。

$x$ - $t$ グラフと $v$ - $t$ グラフで、傾きと面積が表すものをまとめると？

$x$ - $t$ グラフの傾きは速度。 $v$ - $t$ グラフの傾きは加速度、 $v$ - $t$ グラフと $t$ 軸の間の面積は変位

傾きは「1 秒あたりの変化」、面積は「積み重ねた量」と読む。

4. 実験から加速度を求める

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(ア)-㋒

斜面を下る台車の運動を記録タイマーで記録すると、速度が時間とともにどう変わるかを調べられます。

記録タイマーのテープから、加速度を求める手順は？

テープを一定の時間ごとに区切り、各区間の「長さ ÷ 時間」で平均の速さを出す。隣り合う区間の平均の速さの差を、区間の時間で割る

各区間の平均の速さは、その区間の真ん中の時刻での瞬間の速さとみなせる。隣の区間どうしは、真ん中の時刻が 1 区間ぶんずれている。

斜面を下る台車のテープを一定の時間ごとに区切ると、区間の長さが毎回同じだけ増えていた。台車の運動について何がいえるか？

速度が一定の割合で増えている。つまり加速度が一定

各区間の平均の速さを順に並べて $v$ - $t$ グラフにすると、右上がりの直線になる。

練習問題

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(ア)-㋒

問 1　静止していた電車が発進し、一定の割合で速度を増して、 $5.0 s$ 後に速さが $15 m/s$ になった。この間の加速度を求めよ。

進む向きに $3.0 m/ s^{2}$

方針　加速度は「速度の変化 ÷ かかった時間」。進む向きを正として、あとの速度からはじめの速度を引く。

進む向きを正とする。はじめの速度は $0 m/s$ 、あとの速度は $15 m/s$
速度の変化は $15 - 0 = 15 m/s$
加速度は $15 \div 5.0 = 3.0 m/ s^{2}$
正なので、向きは進む向き

問 2　速さ $20 m/s$ で走っていた自動車がブレーキをかけ、一定の割合で速度を減らして、 $4.0 s$ 後に止まった。進む向きを正として、この間の加速度を求めよ。

$- 5.0 m/ s^{2}$ （進む向きと逆向きに $5.0 m/ s^{2}$ ）

方針　「止まった」はあとの速度が 0 ということ。速度の変化を「あと − はじめ」で求めると負になり、加速度が進む向きと逆向きであることが符号に表れる。

はじめの速度は $20 m/s$ 、あとの速度は $0 m/s$
速度の変化は $0 - 20 = - 20 m/s$
加速度は $(- 20) \div 4.0 = - 5.0 m/ s^{2}$
負なので、加速度は進む向きと逆向き

ここで間違えやすい　「はじめ − あと」で計算して $+ 5.0 m/ s^{2}$ とすること。大きさだけを答える問題でなければ、符号（向き）まで答える。

問 3　東西にのびるまっすぐな道で、西向きに速さ $4.0 m/s$ で進んでいた物体が、 $3.0 s$ 後に西向きに速さ $8.5 m/s$ になった。東向きを正として、この間の平均の加速度を求めよ。また、物体は速くなっているか、遅くなっているか。

$- 1.5 m/ s^{2}$ （西向きに $1.5 m/ s^{2}$ ）。速くなっている

方針　西向きの速度は負の数で書く。符号つきの速度で「あと − はじめ」を計算し、速度と加速度の符号を比べて、速くなるか遅くなるかを判断する。

東向きが正なので、はじめの速度は $- 4.0 m/s$ 、あとの速度は $- 8.5 m/s$
速度の変化は $(- 8.5) - (- 4.0) = - 4.5 m/s$
平均の加速度は $(- 4.5) \div 3.0 = - 1.5 m/ s^{2}$
負なので、加速度は西向き
速度も加速度も負（どちらも西向き）で同じ向きなので、物体は速くなっている

ここで間違えやすい　加速度が負だから減速、と決めつけること。速さは $4.0 m/s$ から $8.5 m/s$ に増えている。

問 4　 $x$ 軸上を動く物体の $v$ - $t$ グラフが、次の 3 本の線分でできている。時刻 $0$ から $4.0 s$ までは、速度が $2.0 m/s$ から $8.0 m/s$ まで一定の割合で増える。 $4.0 s$ から $7.0 s$ までは、速度 $8.0 m/s$ のまま変わらない。 $7.0 s$ から $9.0 s$ までは、速度が $8.0 m/s$ から $0$ まで一定の割合で減る。3 つの区間の加速度をそれぞれ求めよ。

順に $1.5 m/ s^{2}$ 、 $0 m/ s^{2}$ 、 $- 4.0 m/ s^{2}$

方針　 $v$ - $t$ グラフの傾きが加速度。区間ごとに「速度の変化 ÷ 時間の変化」を計算する。

1 つ目の区間の傾きは $(8.0 - 2.0) \div (4.0 - 0) = 1.5 m/ s^{2}$
2 つ目の区間は速度が変わらないので、傾きは 0。加速度は $0 m/ s^{2}$ で、等速直線運動をしている
3 つ目の区間の傾きは $(0 - 8.0) \div (9.0 - 7.0) = - 4.0 m/ s^{2}$

ここで間違えやすい　1 つ目の区間で、 $8.0 \div 4.0 = 2.0$ とすること。はじめの速度が 0 ではないので、速度の変化は $8.0 - 2.0 = 6.0 m/s$ 。

問 5　斜面を下る台車の運動を、1 秒間に 50 回点を打つ記録タイマーで記録した。テープを 5 打点ごとに区切ると、区間の長さは順に $2.0 cm$ 、 $3.5 cm$ 、 $5.0 cm$ 、 $6.5 cm$ だった。台車の加速度は何 $m/ s^{2}$ か。

$1.5 m/ s^{2}$

方針　1 区間の時間は $0.10 s$ 。各区間の平均の速さを出し、隣り合う区間の速さの差を $0.10 s$ で割る。

1 打点の間隔は $\frac{1}{50} s$ なので、5 打点ぶんの時間は $\frac{1}{50} \times 5 = 0.10 s$
1 つ目の区間の平均の速さは $2.0 \div 0.10 = 20 cm/s$
同じように、2 つ目は $3.5 \div 0.10 = 35 cm/s$ 、3 つ目は $5.0 \div 0.10 = 50 cm/s$ 、4 つ目は $6.5 \div 0.10 = 65 cm/s$
隣り合う区間の速さの差は、 $35 - 20 = 15$ 、 $50 - 35 = 15$ 、 $65 - 50 = 15$ で、どこも $15 cm/s$ 。加速度は一定
$0.10 s$ ごとに $15 cm/s$ 増えるので、加速度は $15 \div 0.10 = 150 cm/ s^{2}$
単位を直す。 $150 \div 100 = 1.5 m/ s^{2}$

ここで間違えやすい　区間の長さの差 $1.5 cm$ をそのまま加速度と考えること。たまたま数字が同じになっているだけで、長さの差を時間で 2 回割って初めて加速度になる。