等加速度直線運動｜高校物理基礎

学習指導要領物理基礎 (1) ア (ｱ) ㋒「速度が変化する物体の直線運動に関する実験などを行い，速度と時間との関係を見いだして理解するとともに，物体が直線運動する場合の加速度を理解すること。」。

0. どういうまとまりか

一直線上を、一定の加速度で進む運動を等加速度直線運動といいます。斜面を下る台車や、一定の割合でブレーキをかける自動車がこれにあたります。
時刻 0 での速度を初速度 $v_{0}$ 、加速度を $a$ 、時刻 $t$ での速度を $v$ 、時刻 0 の位置からの変位を $x$ として、この 5 つの量の関係を 3 つの式で表します。
3 つの式は、それぞれ 5 つの量のうち 1 つを含みません。「問題に出てこない量」を見れば、使う式が決まります。

式	含まない量	使う場面
$v = v_{0} + a t$	変位 $x$	時間と速度の関係を使う
$x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$	あとの速度 $v$	時間と変位の関係を使う
$v^{2} - v_{0}^{2} = 2 a x$	時間 $t$	時間が分からず、聞かれてもいない

分かれ目は次の 3 つ。

式を立てる前に、正の向きを決める。 $v_{0}$ 、 $a$ 、 $v$ 、 $x$ はすべて符号つきで入れる。減速なら $a$ は $v_{0}$ と逆の符号
時間が出てこない問題は $v^{2} - v_{0}^{2} = 2 a x$ 。時間を求めてから代入する遠回りをしなくてよい
$x$ は変位であって、道のりではない。折り返す運動では、折り返し点（ $v = 0$ ）の前と後に分けて道のりを足す

1. 3 つの式

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(ア)-㋒

加速度が一定なので、速度は時間に比例して変わります。そこから、変位の式と、時間を含まない式が導けます。

等加速度直線運動とは？

一直線上を、一定の加速度で進む運動

速度が毎秒同じだけ変わる。加速度が 0 の場合が等速直線運動にあたる。

初速度 $v_{0}$ 、加速度 $a$ の等加速度直線運動で、時刻 $t$ での速度 $v$ は？

$v = v_{0} + a t$

加速度 $a$ は 1 秒あたりの速度の変化なので、 $t$ 秒間の速度の変化は $a t$ 。これをはじめの速度に足す。

初速度 $v_{0}$ 、加速度 $a$ の等加速度直線運動で、時刻 $t$ までの変位 $x$ は？

$x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$

$v_{0} t$ は速度が変わらなかった場合の変位、 $\frac{1}{2} a t^{2}$ は速度が変わったぶんの変位。 $\frac{1}{2}$ と $t$ の 2 乗を落としやすい。

等加速度直線運動で、時間 $t$ を含まない、速度と変位の関係式は？

$v^{2} - v_{0}^{2} = 2 a x$

$v = v_{0} + a t$ から $t = \frac{v - v _{0}}{a}$ として、変位の式に代入して $t$ を消すと得られる。

2. 式の選び方と立て方

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(ア)-㋒

式に数値を入れる前に、向きと符号を決めます。そのうえで、分かっている量と求める量から、使う式を選びます。

等加速度直線運動の式を立てる前に、まず何をするか？

正の向きを決め、初速度 $v_{0}$ と加速度 $a$ を符号つきで書き出す

ふつうは初速度の向きを正にする。そのとき、速くなる運動なら $a$ は正、遅くなる運動なら $a$ は負。

等加速度直線運動の 3 つの式は、どう使い分けるか？

問題に出てこない量を含まない式を選ぶ。変位が出てこなければ $v = v_{0} + a t$ 、あとの速度が出てこなければ $x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ 、時間が出てこなければ $v^{2} - v_{0}^{2} = 2 a x$

$v_{0}$ と $a$ はどの式にも入っている。残りの $t$ 、 $v$ 、 $x$ のうち、どれが要らないかで決まる。

等加速度直線運動の式の $x$ は、何を表すか？

時刻 0 にいた位置からの変位。道のりではない

折り返さない運動では、変位の大きさと道のりは同じ。折り返したあとは、 $x$ は道のりより小さくなり、負になることもある。

3. 負の加速度と折り返し

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(ア)-㋒

初速度と逆向きの加速度が続くと、物体はだんだん遅くなり、いったん止まって、逆向きに進みはじめます。同じ 3 つの式が、折り返したあともそのまま使えます。

初速度と逆向きの一定の加速度で運動する物体が、折り返す瞬間の条件は？

速度が 0（ $v = 0$ ）

出発点から最も遠ざかった点で、速度の符号が正から負に変わる。加速度は 0 にならず、一定のまま。

折り返すまでの時間と、折り返し点までの変位は、どの式で求めるか？

時間は $v = v_{0} + a t$ で $v = 0$ とおく。変位は $v^{2} - v_{0}^{2} = 2 a x$ で $v = 0$ とおく

それぞれ $t = - \frac{v _{0}}{a}$ 、 $x = - \frac{v _{0}^{2}}{2 a}$ になる。 $a$ が負なので、どちらも正の値。ブレーキで止まるまでの時間と距離も同じ計算。

折り返して出発点に戻ってきたとき、時間と速度はどうなっているか？

かかった時間は、折り返すまでの時間の 2 倍。速度は、初速度と大きさが同じで向きが逆（ $- v_{0}$ ）

戻ってきた条件は $x = 0$ 。行きと帰りは、時間を逆にたどった同じ運動になっている。

折り返したあとの時刻までの道のりは、どう求めるか？

折り返し点までの距離と、折り返し点から戻った距離を別々に求めて足す

戻った距離は「折り返し点の位置 − その時刻の位置」。式の $x$ にそのまま時間を入れて出るのは変位で、道のりではない。

4. グラフ

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(ア)-㋒

等加速度直線運動を $v$ - $t$ グラフに描くと直線になります。3 つの式は、このグラフの傾きと面積を式にしたものです。

等加速度直線運動の $v$ - $t$ グラフは、どんな形か？

傾きが加速度 $a$ 、縦軸との交点が初速度 $v_{0}$ の直線

$v = v_{0} + a t$ をそのままグラフにしたもの。 $a$ が負なら右下がりで、 $t$ 軸と交わる時刻が折り返しの瞬間。

等加速度直線運動の変位の式 $x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ は、 $v$ - $t$ グラフのどこに表れるか？

グラフと $t$ 軸の間の台形の面積。下の長方形が $v_{0} t$ 、上の三角形が $\frac{1}{2} a t^{2}$

三角形は底辺 $t$ 、高さ $a t$ 。台形の面積として $x = \frac{1}{2} (v_{0} + v) t$ と書くこともできる。

等加速度直線運動の $x$ - $t$ グラフは、どんな形か？

放物線（ $x$ が $t$ の二次式になるから）

速くなる運動では、時間とともに傾きが急になっていく。折り返す運動では、放物線の頂点が折り返し点にあたる。

練習問題

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(ア)-㋒

問 1　静止していた自動車が、一定の加速度 $1.5 m/ s^{2}$ で一直線上を走りはじめた。 $8.0 s$ 後の速さと、その間に進んだ距離を求めよ。

速さ $12 m/s$ 、距離 $48 m$

方針　初速度 0 の等加速度直線運動。時間が分かっているので、速さは $v = v_{0} + a t$ 、距離は $x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ を使う。

進む向きを正とする。 $v_{0} = 0$ 、 $a = 1.5 m/ s^{2}$ 、 $t = 8.0 s$
速さは $0 + 1.5 \times 8.0 = 12 m/s$
距離は $0 \times 8.0 + \frac{1}{2} \times 1.5 \times 8. 0^{2} = 48 m$

ここで間違えやすい　 $t^{2}$ の 2 乗を落として $\frac{1}{2} \times 1.5 \times 8.0 = 6.0$ としないこと。

問 2　速さ $10 m/s$ で進んでいた自動車が、一定の加速度 $2.0 m/ s^{2}$ で加速して、速さが $20 m/s$ になった。加速している間に進んだ距離を求めよ。

$75 m$

方針　時間が与えられておらず、聞かれてもいない。時間を含まない $v^{2} - v_{0}^{2} = 2 a x$ を使う。

進む向きを正とする。 $v_{0} = 10 m/s$ 、 $v = 20 m/s$ 、 $a = 2.0 m/ s^{2}$
$v^{2} - v_{0}^{2} = 2 a x$ に入れると、 $2 0^{2} - 1 0^{2} = 2 \times 2.0 \times x$
左辺は $2 0^{2} - 1 0^{2} = 400 - 100 = 300$ 、右辺の係数は $2 \times 2.0 = 4.0$
$300 = 4.0 x$ なので、 $x$ は $300 \div 4.0 = 75 m$
確かめ: 加速にかかる時間は $(20 - 10) \div 2.0 = 5.0 s$ 。変位の式でも $10 \times 5.0 + \frac{1}{2} \times 2.0 \times 5. 0^{2} = 75 m$ になる

ここで間違えやすい　左辺を $(20 - 10)^{2} = 100$ と計算すること。2 乗してから引く。

問 3　速さ $24 m/s$ で走っていた電車が、一定の割合でブレーキをかけて止まった。加速度の大きさは $6.0 m/ s^{2}$ だった。ブレーキをかけてから止まるまでの時間と、その間に進んだ距離を求めよ。

時間 $4.0 s$ 、距離 $48 m$

方針　進む向きを正とすると、減速なので加速度は負。「止まる」は $v = 0$ 。時間は $v = v_{0} + a t$ 、距離は $v^{2} - v_{0}^{2} = 2 a x$ で求める。

進む向きを正とする。 $v_{0} = 24 m/s$ 、 $a = - 6.0 m/ s^{2}$ 、止まるので $v = 0$
$v = v_{0} + a t$ に入れると、 $0 = 24 - 6.0 t$
$6.0 t = 24$ なので、 $t$ は $24 \div 6.0 = 4.0 s$
$v^{2} - v_{0}^{2} = 2 a x$ に入れると、 $0^{2} - 2 4^{2} = 2 \times (- 6.0) \times x$
左辺は $0 - 576 = - 576$ 、右辺の係数は $2 \times (- 6.0) = - 12$
$- 576 = - 12 x$ なので、 $x$ は $(- 576) \div (- 12) = 48 m$
確かめ: 変位の式でも $24 \times 4.0 + \frac{1}{2} \times (- 6.0) \times 4. 0^{2} = 48 m$ になる

ここで間違えやすい　加速度を $+ 6.0$ のまま入れること。 $0 = 24 + 6.0 t$ となって時間が負になる。「加速度の大きさ」と書かれていたら、向きは自分で符号にする。

問 4　なめらかな斜面の下から、台車を斜面に沿って上向きに速さ $6.0 m/s$ で押し出した。台車の加速度は、斜面に沿って下向きに $2.0 m/ s^{2}$ で一定だった。斜面は十分に長いものとする。(1) 台車が最も高い点に達するまでの時間と、そこまでに進む距離を求めよ。(2) 押し出してから $5.0 s$ 後の速度と、出発点からの変位を求めよ。(3) $5.0 s$ 間に台車が動いた道のりを求めよ。

(1) $3.0 s$ 、 $9.0 m$ 　(2) 速度は斜面下向きに $4.0 m/s$ 、変位は斜面上向きに $5.0 m$ 　(3) $13 m$

方針　斜面に沿って上向きを正とすると、加速度は負で一定。最も高い点は折り返し点で、条件は $v = 0$ 。式は折り返したあともそのまま使える。道のりは、上った距離と下った距離を分けて足す。

斜面上向きを正とする。 $v_{0} = 6.0 m/s$ 、 $a = - 2.0 m/ s^{2}$
(1) 最も高い点では $v = 0$ 。 $v = v_{0} + a t$ に入れると $0 = 6.0 - 2.0 t$ なので、 $t$ は $6.0 \div 2.0 = 3.0 s$
そこまでの変位は、 $6.0 \times 3.0 + \frac{1}{2} \times (- 2.0) \times 3. 0^{2} = 18 - 9.0 = 9.0 m$
(2) $t = 5.0 s$ での速度は、 $6.0 + (- 2.0) \times 5.0 = - 4.0 m/s$ 。負なので斜面下向き
$t = 5.0 s$ までの変位は、 $6.0 \times 5.0 + \frac{1}{2} \times (- 2.0) \times 5. 0^{2} = 30 - 25 = 5.0 m$ 。正なので出発点より上
(3) 上った距離は $9.0 m$ 。そのあと、位置 $9.0 m$ から $5.0 m$ まで下ったので、下った距離は $9.0 - 5.0 = 4.0 m$
道のりは $9.0 + 4.0 = 13 m$

ここで間違えやすい　(3) を (2) の変位と同じ $5.0 m$ と答えること。式から出る $x$ は変位。 $5.0 s$ は折り返しの時刻 $3.0 s$ より後なので、道のりは分けて足す。

問 5　駅 P を発車した電車が、次の駅 Q に止まるまでの $v$ - $t$ グラフは、次の 3 本の線分でできている。時刻 $0$ から $20 s$ までは、速度が $0$ から $16 m/s$ まで一定の割合で増える。 $20 s$ から $50 s$ までは、速度 $16 m/s$ のまま変わらない。 $50 s$ から $90 s$ までは、速度が $16 m/s$ から $0$ まで一定の割合で減る。(1) 3 つの区間の加速度をそれぞれ求めよ。(2) 駅 P から駅 Q までの距離を求めよ。

(1) 順に $0.80 m/ s^{2}$ 、 $0 m/ s^{2}$ 、 $- 0.40 m/ s^{2}$ 　(2) $9.6 \times 1 0^{2} m$

方針　 $v$ - $t$ グラフの傾きが加速度、グラフと $t$ 軸の間の面積が変位。面積は、三角形・長方形・三角形の 3 つに分けて求める。

(1) 1 つ目の区間の傾きは $(16 - 0) \div (20 - 0) = 0.80 m/ s^{2}$
2 つ目の区間は速度が変わらないので、加速度は $0 m/ s^{2}$
3 つ目の区間の傾きは $(0 - 16) \div (90 - 50) = - 0.40 m/ s^{2}$
(2) 1 つ目の区間は底辺 $20$ 、高さ $16$ の三角形。面積は $\frac{1}{2} \times 20 \times 16 = 160 m$
2 つ目の区間は横 $50 - 20 = 30$ 、高さ $16$ の長方形。面積は $30 \times 16 = 480 m$
3 つ目の区間は底辺 $90 - 50 = 40$ 、高さ $16$ の三角形。面積は $\frac{1}{2} \times 40 \times 16 = 320 m$
合計は $160 + 480 + 320 = 960 m$ で、 $9.6 \times 1 0^{2} m$

ここで間違えやすい　3 つ目の区間の面積を負として引くこと。速度は減っているが正のままなので、電車は前に進み続けている。面積が負になるのは、グラフが $t$ 軸より下にあるときだけ。