熱量と比熱｜高校物理基礎 — みならいノート

学習指導要領物理基礎 (2) ア (ｲ) ㋑「熱に関する実験などを行い，熱の移動及び熱と仕事の変換について理解すること。」。このノートは前半の「熱の移動」を扱います。

0. どういうまとまりか

同じ熱量を与えても、温度の上がり方は物体によって違います。その「温まりにくさ」を表すのが熱容量と比熱です。
熱容量は物体 1 個についての量、比熱は物質 $1 g$ についての量で、質量をかけると比熱から熱容量になります。
温度の違う物体をふれ合わせたときは、高温の物体が失った熱量と低温の物体が得た熱量が等しい（熱量の保存）ことから式を立てます。

知りたいもの	式	文字の意味
温度を変えるのに必要な熱量（熱容量から）	$Q = C Δ T$	$C$ は熱容量 $[J/K]$ 、 $Δ T$ は温度変化 $[K]$
温度を変えるのに必要な熱量（比熱から）	$Q = m c Δ T$	$m$ は質量 $[g]$ 、 $c$ は比熱 $[J/ (g \cdot K)]$
熱容量と比熱の関係	$C = m c$	比熱に質量をかけると熱容量
熱量の保存	失った熱量＝得た熱量	外部との熱の出入りがないとき
状態を変えるのに必要な熱量	$Q = m L$	$L$ は融解熱や蒸発熱 $[J/g]$

分かれ目は次の 3 つ。

熱容量は「物体」の量、比熱は「物質」の量。同じ鉄でも、大きい鉄球のほうが熱容量は大きいが、比熱は同じ
熱量の保存の式は、両辺とも正の量にして立てる。温度変化は「高いほう − 低いほう」で書く
状態変化があるときは、温度を上げる熱量 $m c Δ T$ と状態を変える熱量 $m L$ を別々に計算して足す

1. 熱容量と比熱

根拠: 学習指導要領物基-(2)-ア-(イ)-㋑

熱量は移動した熱運動のエネルギーの量なので、単位は仕事やエネルギーと同じジュール（ $J$ ）です。

熱容量とは？単位は？熱容量 $C$ の物体の温度を $Δ T$ だけ変えるのに必要な熱量は？

物体の温度を $1 K$ 上げるのに必要な熱量。単位は $J/K$ 。必要な熱量は $Q = C Δ T$

熱容量が大きい物体ほど、温まりにくく冷めにくい。熱容量は物体ごとに決まる量で、同じ物質でも質量が大きいほど大きい。

比熱（比熱容量）とは？単位は？

物質 $1 g$ の温度を $1 K$ 上げるのに必要な熱量。単位は $J/ (g \cdot K)$

比熱は物質の種類で決まる量。 $1 kg$ あたりで表して $J/ (kg \cdot K)$ を使うこともあるので、問題文の単位を先に確かめる。

質量 $m$ 、比熱 $c$ の物体の温度を $Δ T$ だけ変えるのに必要な熱量は？

$Q = m c Δ T$

$1 g$ を $1 K$ 上げるのに $c$ が要るので、 $m$ 倍・ $Δ T$ 倍する。鉄（比熱 $0.45 J/ (g \cdot K)$ ） $100 g$ を $10 K$ 上げるには $100 \times 0.45 \times 10 = 450 J$ 。

熱容量 $C$ と比熱 $c$ の関係は？ 2 つは何が違うか？

$C = m c$ 。熱容量は物体 1 個についての量、比熱は物質 $1 g$ についての量

同じ物質でできていれば比熱は同じだが、質量が 2 倍なら熱容量は 2 倍になる。 $Q = m c Δ T$ の $m c$ をまとめたものが $Q = C Δ T$ の $C$ 。

水の比熱はおよそいくらか？

約 $4.2 J/ (g \cdot K)$

水 $1 g$ の温度を $1 K$ 上げるのに約 $4.2 J$ が要る。鉄や銅などの金属の比熱は 1 より小さく、水の比熱は身近な物質の中でとくに大きい。

比熱が大きい物質は、同じ質量に同じ熱量を与えたとき、温度の変化が大きいか小さいか？

小さい（温まりにくく、冷めにくい）

$Δ T = \frac{Q}{m c}$ なので、 $c$ が大きいほど $Δ T$ は小さい。海の近くで昼夜の気温の差が小さいのは、水の比熱が大きいため。

2. 熱量の保存

根拠: 学習指導要領物基-(2)-ア-(イ)-㋑

高温の物体と低温の物体をふれ合わせると、熱は高温の側から低温の側へ移り、やがて同じ温度（熱平衡）になります。

熱量の保存とは？

外部との熱の出入りがないとき、高温の物体が失った熱量と、低温の物体が得た熱量は等しい

熱は物体の間を移動するだけで、途中で増えたり消えたりしない。まわりの空気や容器へ熱が逃げるときは、その分も数えないと成り立たない。

温度の違う 2 つの物体を混ぜたあとの温度を求めるとき、式はどう立てるか？

混ぜたあとの温度を $t$ とおき、「高温の物体が失った熱量＝低温の物体が得た熱量」を立てる。温度変化は、高温側は（はじめの温度 $- t$ ）、低温側は（ $t -$ はじめの温度）と書く

どちらの温度変化も「高いほう − 低いほう」にして正の量にそろえる。 $m_{1} c_{1} (t_{1} - t) = m_{2} c_{2} (t - t_{2})$ の形になる。

温度の違う 2 つの物体が熱平衡になったときの温度は、はじめの 2 つの温度とどういう関係にあるか？

必ず 2 つの温度の間になる。熱容量の大きい物体の、はじめの温度に近い値になる

求めた温度がはじめの 2 つの温度の間に入っていなければ、計算のどこかが違っている。検算に使える。

水熱量計を使って金属の比熱を求めるとき、容器（熱量計）の扱いはどうするか？

容器も水と同じだけ温度が上がるので、「得た熱量」に容器の分（容器の熱容量 × 温度変化）を加える

失った熱量＝水が得た熱量＋容器が得た熱量。問題文に「容器の熱容量は無視する」とあれば、水の分だけでよい。

3. 状態変化と熱量

根拠: 学習指導要領物基-(2)-ア-(イ)-㋑

状態が変わっている間は温度が変わらないので、 $Q = m c Δ T$ は使えません。状態変化に出入りする熱（潜熱）は、質量に比例します。

質量 $m$ の物質の状態を変えるのに必要な熱量は？（ $1 g$ あたりの融解熱や蒸発熱を $L$ とする）

$Q = m L$

温度変化が無いので $Δ T$ は式に入らない。氷の融解熱は約 $3.3 \times 1 0^{2} J/g$ 、水の蒸発熱は約 $2.3 \times 1 0^{3} J/g$ で、蒸発のほうがずっと大きい。

$0^{\circ} C$ の氷を加熱して、 $0^{\circ} C$ より高い温度の水にするのに必要な熱量は、どう計算するか？

「氷をとかす熱量 $m L$ 」と「とけた水の温度を上げる熱量 $m c Δ T$ 」を別々に計算して足す

状態変化の区間と温度変化の区間に分ける。温度変化の区間で使う比熱は、そのときの状態（水なら水の比熱）のものを使う。

練習問題

根拠: 学習指導要領物基-(2)-ア-(イ)-㋑

以下、水の比熱は $4.2 J/ (g \cdot K)$ とし、断りがなければ外部や容器との熱の出入りは無視します。

問 1　 $20^{\circ} C$ の水 $200 g$ を $50^{\circ} C$ にするのに必要な熱量を求めよ。

$2.5 \times 1 0^{4} J$

方針　質量と比熱が分かっていて温度が変わるので、 $Q = m c Δ T$ を使う。先に温度変化 $Δ T$ を出す。

温度変化は $50 - 20 = 30$ なので、 $Δ T = 30 K$
$Q = m c Δ T$ に $m = 200 g$ 、 $c = 4.2 J/ (g \cdot K)$ 、 $Δ T = 30 K$ を入れる
$Q = 200 \times 4.2 \times 30 = 25200 ≒ 2.5 \times 1 0^{4} J$

ここで間違えやすい　 $Δ T$ に、あとの温度の 50 をそのまま入れてしまうこと。 $Δ T$ は温度の変化分。

問 2　質量 $100 g$ の銅製の容器がある。銅の比熱を $0.38 J/ (g \cdot K)$ として、(1) この容器の熱容量、(2) この容器の温度を $10 K$ 上げるのに必要な熱量を求めよ。

(1) $38 J/K$ 　(2) $3.8 \times 1 0^{2} J$

方針　熱容量は比熱に質量をかけたもの（ $C = m c$ ）。熱容量が分かれば、必要な熱量は $Q = C Δ T$ で出せる。

(1) $C = m c$ に $m = 100 g$ 、 $c = 0.38 J/ (g \cdot K)$ を入れる
$C = 100 \times 0.38 = 38 J/K$
(2) $Q = C Δ T$ に $C = 38 J/K$ 、 $Δ T = 10 K$ を入れる
$Q = 38 \times 10 = 380 = 3.8 \times 1 0^{2} J$

問 3　 $60^{\circ} C$ の水 $100 g$ と、 $20^{\circ} C$ の水 $300 g$ を混ぜた。全体の温度は何 $^{\circ} C$ になるか。

$30^{\circ} C$

方針　熱量の保存を使う。混ぜたあとの温度を $t$ とおき、「 $60^{\circ} C$ の水が失った熱量＝ $20^{\circ} C$ の水が得た熱量」を立てる。

混ぜたあとの温度を $t [^{\circ} C]$ とおく。高温の水の温度変化は $60 - t$ 、低温の水の温度変化は $t - 20$
高温の水が失った熱量は $100 \times 4.2 \times (60 - t)$ 、低温の水が得た熱量は $300 \times 4.2 \times (t - 20)$
熱量の保存から、 $100 \times 4.2 \times (60 - t) = 300 \times 4.2 \times (t - 20)$
両辺を $100 \times 4.2$ で割ると、 $60 - t = 3 (t - 20)$
右辺を展開すると $60 - t = 3 t - 60$ 。移項して $4 t = 120$ なので、 $t = 30$
確かめ: 失った熱量は $100 \times 4.2 \times 30 = 12600 J$ 、得た熱量は $300 \times 4.2 \times 10 = 12600 J$ で等しい

ここで間違えやすい　2 つの温度の平均の $40^{\circ} C$ と答えてしまうこと。質量が違うので平均にはならず、量の多い $20^{\circ} C$ の水の側に寄る。

問 4　 $100^{\circ} C$ に熱した質量 $200 g$ の金属球を、 $20^{\circ} C$ の水 $150 g$ の中に入れたところ、全体の温度が $25^{\circ} C$ になった。この金属の比熱を求めよ。

$0.21 J/ (g \cdot K)$

方針　熱量の保存を使う。金属球が失った熱量と水が得た熱量が等しい。水が得た熱量は数値で出せるので、そこから金属の比熱 $c$ を求める。

金属球の温度変化は $100 - 25 = 75$ なので $75 K$ 、水の温度変化は $25 - 20 = 5$ なので $5 K$
水が得た熱量は、 $150 \times 4.2 \times 5 = 3150 J$
金属の比熱を $c [J/ (g \cdot K)]$ とすると、金属球が失った熱量は $200 \times c \times 75 = 15000 c$
熱量の保存から、 $15000 c = 3150$
両辺を 15000 で割ると、 $c = \frac{3150}{15000} = 0.21 J/ (g \cdot K)$

ここで間違えやすい　金属球の温度変化を、水と同じ $5 K$ や、はじめの温度の 100 としてしまうこと。温度変化は物体ごとに「はじめの温度と熱平衡の温度の差」で出す。

問 5　 $0^{\circ} C$ の氷 $50 g$ を、すべて $20^{\circ} C$ の水にするのに必要な熱量を求めよ。氷の融解熱は $3.3 \times 1 0^{2} J/g$ とする。

$2.1 \times 1 0^{4} J$

方針　氷がとける区間（温度は $0^{\circ} C$ のまま）と、とけた水の温度が上がる区間に分ける。前の区間は $Q = m L$ 、後の区間は $Q = m c Δ T$ で計算して足す。

氷をとかすのに必要な熱量は、 $50 \times 330 = 16500 J$
とけた $0^{\circ} C$ の水 $50 g$ を $20^{\circ} C$ にするのに必要な熱量は、 $50 \times 4.2 \times 20 = 4200 J$
合計は $16500 + 4200 = 20700 ≒ 2.1 \times 1 0^{4} J$

ここで間違えやすい　2. だけを計算して $4.2 \times 1 0^{3} J$ と答えてしまうこと。この問題では、とかすための熱量のほうが、温度を上げる熱量より大きい。