気柱の共鳴｜高校物理基礎 — みならいノート

学習指導要領物理基礎 (2) ア (ｱ) ㋑「気柱の共鳴に関する実験などを行い，気柱の共鳴と音源の振動数を関連付けて理解すること。また，弦の振動，音波の性質を理解すること。」。内容の取扱いは「波の反射，共振，うなりなどを扱うこと」としています。

0. どういうまとまりか

管の中の空気を気柱といいます。管の口で音を鳴らすと、音波が管の端で反射して戻り、行きの波と重なって定在波ができます。
弦と同じように、端の条件に合う波長の定在波だけが大きく育ちます。これが気柱の固有振動で、音源の振動数が気柱の固有振動数に一致すると、気柱が大きく振動して音が大きく聞こえます（共鳴）。

一端が閉じた管を閉管、両端が開いた管を開管といいます。管の長さを $L$ 、音の速さを $V$ とすると、次のようになります。

	閉管	開管
端の条件	閉じた端が節、開いた端が腹	両端が腹
管の長さと波長	$L$ は $\frac{λ}{4}$ の奇数倍	$L$ は $\frac{λ}{2}$ の整数倍
基本振動の波長	$4 L$	$2 L$
固有振動数	$\frac{mV}{4 L}$ （ $m = 1, 3, 5, \dots$ ）	$\frac{nV}{2 L}$ （ $n = 1, 2, 3, \dots$ ）
倍音	基本音の奇数倍だけ	基本音の整数倍すべて

分かれ目は次の 3 つ。

閉じた端は節、開いた端は腹。空気が動けるかどうかで決まる。弦（両端が節）と混同しない
閉管の固有振動は奇数倍だけ。2 倍振動や 4 倍振動は無い
実際の腹は管口の少し外にある。実験では、2 つの共鳴位置の差から波長を求める

1. 気柱にできる定在波

根拠: 学習指導要領物基-(2)-ア-(ア)-㋑

気柱の定在波は縦波の定在波です。腹と節の意味を、空気の動きで押さえます。

気柱とは？気柱に定在波ができるのはなぜか？

管の中の空気を気柱という。管に入った音波が管の端で反射し、逆向きに進む音波どうしが重なり合うので、定在波ができる

音波は、閉じた端だけでなく、開いた端でも反射する。

閉管とは？開管とは？

閉管は、一端が閉じていて他端が開いている管。開管は、両端が開いている管

水を入れた管や試験管は、水面や底が閉じた端になるので閉管。両端のあいた筒は開管。

気柱の定在波で、管の閉じた端と開いた端は、それぞれ腹か節か？理由は？

閉じた端は節、開いた端は腹。閉じた端では壁にさえぎられて空気が管の長さの方向に動けず、開いた端では空気が自由に動けるから

音は縦波で、空気は管の長さの方向に振動する。閉じた端は固定端、開いた端は自由端と同じ役割をする。

気柱の定在波の腹と節では、空気の動きと密度の変化は、それぞれどうなっているか？

腹では空気が最も大きく振動し、密度はほとんど変化しない。節では空気は振動せず、密度の変化が最も大きい

節には、両側の空気が同時に押し寄せたり遠ざかったりするので、密と疎が大きく入れかわる。

2. 閉管の固有振動

根拠: 学習指導要領物基-(2)-ア-(ア)-㋑

閉管では、一端が節で他端が腹になります。節から隣の腹までは 4 分の 1 波長なので、管の長さは 4 分の 1 波長の奇数倍に限られます。

長さ $L$ の閉管の基本振動で、波長と振動数は？音の速さを $V$ とする。

波長は $4 L$ 、振動数は $\frac{V}{4 L}$

閉じた端の節から、開いた端の腹までが $\frac{λ}{4}$ 。 $\frac{λ}{4} = L$ から $λ = 4 L$ 。

長さ $L$ の閉管の固有振動の波長と振動数を、一般の形で書くと？

$λ_{m} = \frac{4 L}{m}$ 、 $f_{m} = \frac{mV}{4 L}$ （ $m = 1, 3, 5, \dots$ ）

$m = 1$ が基本振動、 $m = 3$ が 3 倍振動、 $m = 5$ が 5 倍振動。 $m$ は奇数だけをとる。

閉管に、2 倍振動や 4 倍振動（偶数倍の振動）が無いのはなぜか？

一端が節、他端が腹になるには、管の長さが $\frac{λ}{4}$ の奇数倍でなければならないから

節から $\frac{λ}{4}$ 進むと腹、 $\frac{2 λ}{4}$ 進むと節、 $\frac{3 λ}{4}$ 進むと腹。腹で終わるのは奇数倍のときだけ。

3. 開管の固有振動

根拠: 学習指導要領物基-(2)-ア-(ア)-㋑

開管では両端が腹になります。腹から隣の腹までは半波長なので、形の上では弦の「節」を「腹」に置きかえたものになります。

長さ $L$ の開管の基本振動で、波長と振動数は？音の速さを $V$ とする。

波長は $2 L$ 、振動数は $\frac{V}{2 L}$

両端が腹で、中央に節が 1 個。腹から腹までが $\frac{λ}{2}$ なので、 $\frac{λ}{2} = L$ から $λ = 2 L$ 。

長さ $L$ の開管の固有振動の波長と振動数を、一般の形で書くと？

$λ_{n} = \frac{2 L}{n}$ 、 $f_{n} = \frac{nV}{2 L}$ （ $n = 1, 2, 3, \dots$ ）

式の形は弦と同じで、整数倍がすべて現れる。違いは、 $V$ が空気中の音の速さであることと、両端が節ではなく腹であること。

同じ長さの閉管と開管では、基本音はどちらが高いか？

開管。基本振動数は閉管の 2 倍になる

閉管は $\frac{V}{4 L}$ 、開管は $\frac{V}{2 L}$ 。開管の一端をふさいで閉管にすると、基本音は 1 オクターブ低くなる。

4. 気柱の共鳴の実験

根拠: 学習指導要領物基-(2)-ア-(ア)-㋑

振動数の分かっているおんさを管口で鳴らし、管の中の水面を上下させて気柱の長さを変えます。共鳴する長さを測ると、音の波長と速さが求められます。

気柱の共鳴とは？どんなときに起こるか？

気柱が大きく振動して、音が大きく聞こえる現象。音源の振動数が、気柱の固有振動数のどれかと一致したときに起こる

共振（共鳴）の 1 つ。振動数が決まった音源を使うときは、気柱の長さのほうを変えて、固有振動数を音源に合わせる。

開口端補正とは？

開いた端の定在波の腹は、管口より少し外側にある。この、管口から腹までのわずかな距離を開口端補正という

このため、閉管の基本振動で、気柱の長さは $\frac{λ}{4}$ よりも少し短い。問題文に「開口端補正は無視する」とあれば、腹は管口にあるとしてよい。

気柱の共鳴の実験で、水面を管口から下げていくと、管口からの距離が $L_{1}$ で 1 回目、 $L_{2}$ で 2 回目の共鳴が起きた。音の波長 $λ$ は？

$λ = 2 (L_{2} - L_{1})$

共鳴するときの水面は節。1 回目と 2 回目の水面の位置は隣り合う節なので、その間隔 $L_{2} - L_{1}$ が半波長になる。差をとるので、開口端補正の影響を受けない。

気柱の共鳴の実験で波長 $λ$ を求めた後、音の速さと開口端補正は、それぞれどう求めるか？

音の速さは、おんさの振動数 $f$ を使って $V = f λ$ 。開口端補正は $\frac{λ}{4} - L_{1}$

1 回目の共鳴では、管口の外の腹から水面の節までが $\frac{λ}{4}$ 。これと、測った $L_{1}$ との差が開口端補正になる。

練習問題

根拠: 学習指導要領物基-(2)-ア-(ア)-㋑

問 1　長さ $0.17 m$ の閉管がある。音の速さを $340 m/s$ とし、開口端補正は無視する。この気柱の基本振動数を求めよ。また、その次に小さい固有振動数を求めよ。

基本振動数は $500 Hz$ 。次の固有振動数は $1500 Hz$

方針　閉管の基本振動は、管の長さが 4 分の 1 波長。波長を求めて $V = f λ$ を使う。閉管の固有振動数は基本振動数の奇数倍なので、次は 3 倍。

基本振動では $L = \frac{λ}{4}$ なので、 $λ = 4 L$ 。計算すると $4 \times 0.17 = 0.68$ で、波長は $0.68 m$
基本振動数は $\frac{340}{0.68} = 500 Hz$
閉管の固有振動数は基本振動数の 1 倍、3 倍、5 倍、…なので、次は 3 倍振動。
その振動数は $3 \times 500 = 1500 Hz$

ここで間違えやすい　次の固有振動数を、2 倍の $1000 Hz$ としない。閉管に偶数倍の振動は無い。

問 2　長さ $0.50 m$ の開管がある。音の速さを $340 m/s$ とし、開口端補正は無視する。この気柱の基本振動数と、2 倍振動の振動数を求めよ。

基本振動数は $340 Hz$ 。2 倍振動は $680 Hz$

方針　開管の基本振動は、管の長さが半波長。波長を求めて $V = f λ$ を使う。開管の固有振動数は基本振動数の整数倍。

基本振動では $L = \frac{λ}{2}$ なので、 $λ = 2 L$ 。計算すると $2 \times 0.50 = 1.0$ で、波長は $1.0 m$
基本振動数は $\frac{340}{1.0} = 340 Hz$
2 倍振動の振動数は $2 \times 340 = 680 Hz$

ここで間違えやすい　閉管の式 $λ = 4 L$ を使わない。両端が開いているので、両端が腹で、管の長さは半波長。

問 3　水を入れたガラス管の管口で、振動数 $500 Hz$ のおんさを鳴らし、水面をゆっくり下げていった。管口から水面までの距離が $0.160 m$ のときに 1 回目、 $0.500 m$ のときに 2 回目の共鳴が起きた。音の波長、音の速さ、開口端補正を求めよ。

波長 $0.680 m$ 、音の速さ $340 m/s$ 、開口端補正 $0.010 m$

方針　共鳴するときの水面は節で、1 回目と 2 回目の水面は隣り合う節。その間隔が半波長になる。開口端補正は、4 分の 1 波長と 1 回目の距離との差。

隣り合う節の間隔は $0.500 - 0.160 = 0.340 m$
これが半波長なので、波長は $2 \times 0.340 = 0.680 m$
音の速さは $V = f λ = 500 \times 0.680 = 340 m/s$
4 分の 1 波長は $\frac{0.680}{4} = 0.170 m$
開口端補正は $0.170 - 0.160 = 0.010 m$

ここで間違えやすい　1 回目の距離だけを使って、波長を $4 \times 0.160 = 0.640$ から $0.640 m$ としない。腹は管口の外にあるので、 $0.160 m$ は 4 分の 1 波長より短い。

問 4　問 3 の実験で、さらに水面を下げていくと、3 回目の共鳴が起こる。そのときの管口から水面までの距離を求めよ。

$0.840 m$

方針　共鳴するときの水面は節で、節は半波長ごとに並ぶ。2 回目の位置から、さらに半波長だけ下がったところが 3 回目。

問 3 から、半波長は $0.340 m$
3 回目の距離は $0.500 + 0.340 = 0.840 m$

ここで間違えやすい　1 回目の $0.160 m$ を 3 倍して $0.480 m$ としない。開口端補正があるので、共鳴する長さは 1 回目の整数倍にならない。

問 5　長さ $0.85 m$ の閉管の管口にスピーカーを置き、音の振動数を 0 から少しずつ大きくしていった。音の速さを $340 m/s$ とし、開口端補正は無視する。1 回目に共鳴する振動数と、2 回目に共鳴する振動数を求めよ。また、2 回目の共鳴のとき、気柱にある節の数を答えよ。

1 回目は $100 Hz$ 、2 回目は $300 Hz$ 。節は 2 個

方針　共鳴するのは、音の振動数が気柱の固有振動数に一致したとき。閉管の固有振動数は、基本振動数の奇数倍の順に並ぶ。

基本振動の波長は $4 L$ 。計算すると $4 \times 0.85 = 3.4$ で、 $3.4 m$
基本振動数は $\frac{340}{3.4} = 100 Hz$ 。これが 1 回目。
閉管の次の固有振動は 3 倍振動なので、2 回目は $3 \times 100 = 300 Hz$
3 倍振動では、管の長さが $\frac{λ}{4}$ の 3 個ぶん。閉じた端から順に、節、腹、節、腹（管口）と並ぶ。
よって、節は 2 個（腹も 2 個）。

ここで間違えやすい　管の長さを変える実験（問 3）では共鳴の位置が半波長ごとに並ぶが、振動数を変える実験では共鳴する振動数が 1 倍、3 倍、5 倍、…と並ぶ。何を変えているかを先に確かめる。